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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载泰勒公式及其应用常用近似公式,将复杂函数用简洁的一次多项式函数近似地表示,这是一个进步；当然这种近似表示式仍较粗糙（特别当 较大时）,从下图可看出；上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：1、提高近似程度,其可能的途径是提高多项式的次数；2、任何一种近似,应告知它的误差,否就,使用者“心中担心” ；将上述两个想法作进一步地数学化：对复杂函数,想找多项式 来近似表示它；自然地,我们期望 尽可能多地反映出函数 所具有的性态 如：在某点处的值与导数值； 我们仍关怀 的形式如何确定；近似 所产生的误差；【问题一】名师归纳总结 于设
2、在含的开区间内具有直到阶的导数, 能否找出一个关第 1 页,共 10 页的次多项式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 近似.学习必备欢迎下载【问题二】如问题一的解存在,其误差一、【求解问题一】的表达式是什么 .问题一的求解就是确定多项式的系数； 上述工整且有规律的求系数过程,不难归纳出：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载于是, 所求的多项式为：2二、【解决问题二】泰勒 Tayler中值定理内具有直到阶导数,如函数在含有的某个开区间就当时,可以表示成这里是与之
3、间的某个值；先用倒推分析法探究证明泰勒中值定理的思路：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载这说明：只要对函数 及 在 与之间反复使用 次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作；【证明】以与为端点的区间或记为,；函数在上具有直至阶的导数,且函数在 上有直至阶的非零导数,且于是,对函数及在上反复使用次柯西中值定理, 有名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、几个概念1、此式称为函数 按 的幂次绽开到 阶的泰
4、勒公式；或者称之为函数 在点 处的 阶泰勒绽开式；当 时, 泰勒公式变为这正是拉格朗日中值定理的形式；因此,我们也称泰勒公式中的余项；为拉格朗日余项 ；2、对固定的,如有名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载此式可用作 误差界的估量 ；故说明： 误差是当时较高阶无穷小,这一余项表达式称之为 皮亚诺余项 ；3、如,就在与之间,它表示成形式,麦克劳林公式泰勒公式有较简洁的形式近似公式误差估量式【例 1】求 的麦克劳林公式；解：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 -
5、 - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载,于是有近似公式其误差的界为我们有函数 的一些近似表达式；1 、2 、3 、在 matlab 中再分别作出这些图象,观看到它们的确在 逐步靠近 指数函数；【例 2】求的阶麦克劳林公式；解：它们的值依次取四个数值；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其中：同样,我们也可给出曲线的近似曲线如下,并用matlab作出它们的图象；【例 3】求 的麦克劳林绽开式的前四项,并给出皮亚诺余项；解：于是：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载利用泰勒绽开式求函数的极限,可以说是求极限方法中的“ 终极武器” ,使用这一方法可求很多其它方法难以处理的极限；【例 4】利用泰勒绽开式再求极限；解：,【注解】现在,我们可以完全地说清晰下述解法的错误之处由于时,从而当,应为【例 5】利用三阶泰勒公式求的近似值,并估量误差；解：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载故：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页