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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载北师大版中学数学定理学问点汇总 九年级 上册 第一章 证明 二 等腰三角形的“ 三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合； 等边三角形是特殊的等腰三角形,作一条等边三角形的三线合一线,将等边三角形分 成两个全等的直角三角形,其中一个锐角等于30o,这它所对的直角边必定等于斜边的一半； 有一个角等于 60o的等腰三角形是等边三角形； 假如知道一个三角形为直角三角形第一要想的定理有：勾股定理：a2b2c2（留意区分斜边与直角边）在直角三角形中,如有一个内角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半在直角三角形中,
2、斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章显现） 垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线；（留意着重号的意义） 线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等； 线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线 上； 三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等；C （如图1所示, AO=BO=COA A D F O O C B 图 1 B 图 2 E 角平分线上的点到角两边的距离相等； 角平分线逆定理：在角内部的,假如一点到角两边的距离相等,就它在该角的平分线 上；角平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合；名师归纳总结 - - -
3、 - - - -第 1 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心； 如图 2 所示, OD=OE=OF 其次章 一元二次方程 只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为 ax 2bx c 0（a、b、c 为常数, a 0）的形式,这样的方程叫一元二次方程 ； 把 ax 2bx c 0（a、b、c 为常数, a 0）称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数； b 为一次项系数； c 为常数项； 解一元二次方程的方法：配方法 2公式法 x b b 4 ac（留意在找 abc 时须
4、先把方程化为一般形式）2 a分解因式法 把方程的一边变成 0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解；（主要包括“ 提公因式” 和“ 十字相乘”） 配方法解一元二次方程的基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式；将二次项系数化成 1；把常数项移到方程的右边；两边加上一次项系数的一半的平方；把方程转化成xm 20的形式；两边开方求其根； 根与系数的关系：当 b 2-4ac0 时,方程有两个不等的实数根；当 b 2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根；当 b 2-4ac0 时,方程无实数根；如 果 一 元 二 次 方 程ax2bxc0的 两 根 分 别 为x1 、 x2 , 就 有 ：x 1x
5、2bx 1x2c；aa 一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根,求另一根；（2）不解方程,求二次方程的根x1、x2 的对称式的值,特殊留意以下公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 x 1x2x 1x222x 1x2学习必备欢迎下载11x 1xx 22x 1x 2x 122 2 x 1 x 2 x 1 x 2 4 x 1 x 2 | x 1 x 2 | x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 2 2| x 1 | | x 2 | x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 | x 1 x 2 |
6、x 1 3x 2 3 x 1 x 2 3 3 x 1 x 2 x 1 x 2 其他能用 x 1 x 2 或 x 1x 2 表达的代数式；（3）已知方程的两根 x1、x2,可以构造一元二次方程：x 2 x 1 x 2 x x 1 x 2 0（4）已知两数 x1、 x2 的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程2x x 1 x 2 x x 1 x 2 0 的根 在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤：设未知数（在设未知数时,大多数情形只要设问题为x；但也有时也须依据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；寻找等量关系（一般地,题目中会含有一表述等量关系的句子,只须找到此句话即可根据其列出方
7、程）；分析 求解 处理问题的过程可以进一步概括为：问题 方程 解答抽象 检验第三章 证明（三） 平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线； 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等, 对角相等 , 对角线相互平分； 平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两条对角线相互平分的四边形是平行四边形； 平行线之间的距离：如两条直线相互平行,就其中一条直线上任意两点到另一条直线 的距离相等；这个距离称为平行线之间的距离；菱形的定义：一组邻边相等
8、的平行四边形叫做菱形；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 菱形的性质：具有平行四边形的性质, 且四条边都相等 , 两条对角线相互垂直平分 , 每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴； 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相互垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形； 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形；矩形是特殊的平行四边形； 矩形的性质：具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角；（矩形是轴对 称图形,有两条对称轴
9、） 矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形 依据定义 ；对角线相等的平行四边形是矩形；四个角都相等的四边形是矩形； 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形； 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；形,有两条对称轴） 正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线相互垂直的矩形是正方形；正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系 如图 3 所示 ： 梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形；（正方形是轴对称图 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形；一组邻
10、边相等菱形一个内角为直角正方形 一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形；（或对角线相等）一组邻边相等且一个内角为直角平行四边形（或对角线相互垂直平分）一内角为直角矩形一邻边相等或对角线垂直鹏翔教图 3 等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等；同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半； 夹在两条平行线间的平行线段相等； 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半 第四章 视图与投影 三视图包括：主视图、
11、俯视图和左视图；三视图之间要保持长对正,高平齐,宽相等；一般地,俯视图要画在主视图的下方,左视图要画在正视图的右边；主视图：基本可认为从物体正面视得的图象 俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象 左视图：基本可认为从物体左面视得的图象 视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面 框肯定不在一个平面上； 平面或曲面 ,而相连的两个闭合线 在一个外形线框内所包括的各个小线框,肯定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各 个小的平面体（或曲面体） ； 在画视图时,看得见的部分的轮廓线通常画成实线,看不见的部分轮廓线通常画成虚 线；物体在光线的照耀下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影 ；太阳光线可以
12、看成平行的光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影；探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点动身的,像这样的光线所形成的投影称 为中心投影； 区分平行投影和中心投影：观看光源；观看影子；眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区； 从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影,是当光线与投影垂直时的投影；点在一个平面上的投影仍是一个点；线段在一个面上的投影可分为三种情形：线段垂直于投影面时,投影为一点；线段平行于投影面时,投影长度等于线段的实际长度；线段倾斜于投影面时,投影长度小于线段的实际长度；平面图形在某一平面上的投影可分为三种情形：平面图形和投影面平行的情形
13、下,其投影为实际外形；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平面图形和投影面垂直的情形下,其投影为一线段；平面图形和投影面倾斜的情形下,其投影小于实际的外形；第五章 反比例函数 反比例函数的概念：一般地,yk（k 为常数, k 0）叫做反比例函数,即y 是 x 的x反比例函数；（x 为自变量, y 为因变量,其中 x 不能为零） 反比例函数的等价形式： y 是 x 的反比例函数ykk0 ykx1 k0xxykk0 变量 y 与 x 成反比例,比例系数为k. 判定两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：
14、依据反比例函数的定义判定；看两个变量的乘积是否为定值；（通常其次种方法更适用） 反比例函数的图象由两条曲线组成,叫做双曲线 反比例函数的画法的留意事项：反比例函数的图象不是直线,所“ 两点法” 是不能 画的；选取的点越多画的图越精确；画图留意其美观性（对称性、延长特点）； 反比例函数性质：y 随 x 的增大而减 当 k0 时,双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内,小；当 k0）或向左（ h0）或向下（ k0,就当 xb时, y 随 x 的2a2a增大而增大；如 a0,就当 xb时, y 随 x 的2a2a增大而减小；最值：如 a0,就当 x=b时,y最小4 acab2；如 a0 抛物线
15、与 x 轴有 2 个交点；2b 4 ac =0 抛物线与 x 轴有 1 个交点；2b 4 ac 0 抛物线与 x 轴有 0 个交点（无交点）； 当 b 2 4 ac 0 时,设抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,就这两个点之间的距离：2 2| AB | | x 1 x 2 | x 2 x 1 x 1 x 2 4 x 1 x 22化简后即为：| AB | b 4 ac b 2 4 ac 0 - 这就是抛物线与 x 轴的两交点之| a |间的距离公式；第三章 圆一. 车轮为什么做成圆形 1. 圆的定义：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 32 页精选学习资料 - - - -
16、 - - - - - 描述性定义：在一个平面内,线段学习必备欢迎下载O旋转一周,另一个端点OA绕它固定的一个端点A 随之旋转所形成的圆形叫做圆 ；固定的端点 O叫做圆心；线段 OA叫 做半径；以点 O为圆心的圆,记作 O,读作“ 圆 O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合；其中定点叫做圆心 ,定 长叫做圆的半径,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确；定的圆叫做定圆 对圆的定义的懂得：圆是一条封闭曲线,不是圆面；圆由两个条件唯独确定： 一是圆心（即定点） ,二是半径（即 定长）； 2. 点与圆的位置关系及其数量特点：假如圆的半径为 r ,点到圆心的距离为 d,就 点在圆上
17、 d=r; 点在圆内 dr; 点在圆外 dr. 其中点在圆上的数量特点是重点,它可用来证明如干个点共圆,方法就是证明这几 个点与一个定点、的距离相等；二. 圆的对称性 : 1. 与圆相关的概念：弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦 ；直径：经过圆心的弦叫做直径；弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“ ” 表示,以CD 为端点的弧记为“”,读作“ 圆弧 CD” 或“ 弧 CD”；半圆：直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧； 为了区分优弧和劣弧,优弧用三个字母表示； 弓形：弦及所对的弧组成的图形
18、叫做弓形；同心圆：圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆；等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆；等弧：在同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫做等弧；圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距 : 从圆心到弦的距离叫做弦心距. 2. 圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有许多条对称轴； 3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；说明：依据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,假如具备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的 劣弧；名师归纳总结 - - - -
19、- - -第 12 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论； 4. 定理：在同圆或等圆中 , 相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等；推论 : 在同圆或等圆中 , 假如两个圆心角、 两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一 组量相等 , 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 . 三. 圆周角和圆心角的关系 : 1. 1 的弧的概念 : 把顶点在圆心的周角等分成360 份时 , 每一份的角都是1 的圆心角, 相应的整个圆也被等分成360 份, 每一份同样的弧叫1 弧. 2. 圆心角的度数和
20、它所对的弧的度数相等. 这里指的是角度数与弧的度数相等 是错误的 . 3. 圆周角的定义 : , 而不是角与弧相等 . 即不能写成 AOB= , 这顶点在圆上 , 并且两边都与圆相交的角 , 叫做圆周角 . 4. 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 . 推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对的弧也相等； 推论 2: 半圆或直径所对的圆周角是直角； 四. 确定圆的条件 : 90 的圆周角所对的弦是直径； 1. 懂得确定一个圆必需的具备两个条件 : 圆心和半径 , 圆心打算圆的位置 , 半径打算圆的大小 . 经过一点可以作许多个圆 ,
21、经过两点也可以作许多个圆 垂直平分线上 . 2. 经过三点作圆要分两种情形 : 1 经过同始终线上的三点不能作圆 . 2 经过不在同始终线上的三点 , 能且仅能作一个圆 . 定理 : 不在同始终线上的三个点确定一个圆 . , 其圆心在这个两点线段的 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念 : 1 三角形的外接圆和圆的内接三角形 : 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角 形的外接圆 , 这个三角形叫做圆的内接三角形 . . 2 三角形的外心 : 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心 3 三角形的外心的性质 : 三角形外心到三顶点的距离相等 . 五. 直线与圆的位置关系 1.
22、 直线和圆相交、相切相离的定义 : 1 相交: 直线与圆有两个公共点时 , 叫做直线和圆相交 , 这时直线叫做圆的割线 . 2 相切: 直线和圆有惟一公共点时 , 叫做直线和圆相切 , 这时直线叫做圆的切线 , 惟一的 公共点做切点 . 3 相离: 直线和圆没有公共点时 , 叫做直线和圆相离 . 2. 直线与圆的位置关系的数量特点 : 设 O的半径为 r ,圆心 O到直线的距离为 d；dr 直线 L 和 O相交 . d=r 直线 L 和 O相切 . dr 直线 L 和 O相离 . 3. 切线的总判定定理 : 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 32 页精选学习资料 - -
23、 - - - - - - - 学习必备欢迎下载. 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线 4. 切线的性质定理 : 圆的切线垂直于过切点的半径 . 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 . 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系 , 可得如下结论 : 假如一条直线具备以下三个条件中的任意两个 垂直于切线 ; 过切点 ; 过圆心 . , 就可推出第三个 . 5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念 . 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 , 内切圆的圆心叫做三角形的内心 , 这个三角形叫做圆的外切三角形
24、. 6. 三角形内心的性质 : 1 三角形的内心到三边的距离相等 . 2 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 . 由此性质引出一条重要的帮助线 : 连接内心和三角形的顶点 , 该线平分三角形的这个内角. 六. 圆和圆的位置关系 . 1. 外离、外切、相交、内切、内含 包括同心圆 这五种位置关系的定义 . 1 外离 : 两个圆没有公共点 , 并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时 , 叫做这两个圆 外离. 2 外切 : 两个圆有惟一的公共点 , 并且除了这个公共点以外 , 每个圆上的点都在另一个 圆的外部时 , 叫做这两个圆外切 . 这个惟一的公共点叫做切点 . 3 相交: 两个圆有两个公共点 , 此时叫做这个两个圆相交 . 4 内切 : 两个圆有惟一的公共点 , 并且除了这个公共点以外 , 一个圆上的都在另一个圆 的内部时 , 叫做这两个圆内切 . 这个惟一的公共点叫做切点 . , 叫做这两个圆 5 内含: 两个圆没有公共点 , 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时 内含 . 两圆同心是两圆内的一个特例 . 2. 两圆位置关系的性质与判定 : 1 两圆外离 dR+r 2 两圆外切 d=R+r 3 两圆相交 R-rdR+r R r 4 两圆内切 d=R-r Rr 5 两圆内含 dr 3. 相切两圆的性质 : 假如两个圆相切 , 那么切点肯定在连心线上 . 4. 相