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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 七年级下期末复习讲义第六章实数一、学问总结（一）平方根与立方根1、平方根（1）定义：一般地,假如一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做二次方根；（2）表示：非负数 a 的平方根记作a,读作“ 正负根号 a” ,（a 叫做被开方数）（3）性质： 正数的平方根有两个,且互为相反数； 0 的平方根为 0；负数的没有平方根；（4）开平方：求平方根的运算叫做开平方；、平方根是开平方的结果；、2、算术平方根开平方与平方互为逆运算；（ 1） 定义：正数 a 的正的平方根 a 叫做 a 的算术平方根, 0 的算术平方根是 0；（ 2）性质：（1
2、）一个数 a 的算术平方根具有 非负性 ； 即：a 0 恒成立 ；（2）正数的算术平方根只有 1 个,且为正数； 0 的算术平方根是 0；负数的没有算术平方根；3、立方根：（1）定义：一般地,假如一个数的立方等于a,那么这个数叫做a 的立方根,也叫做三次方根；（2）表示： a 的立方根记作 3 a ,读作“ 三次根号 a” （a 叫做被开方数,3 叫根指数）（3）性质：正数的立方根是 1 个正数；负数的立方根是 1 个负数； 0 的立方根是 0；（二）实数1、无理数：无限不循环的小数；（一个无理数与如干有理数之间的运算结果仍是无理数）2、实数： 有理数和无理数统称为实数；3、实数分类：（1）按
3、定义分（略）4、实数与数轴上的点一一对应；（2）按正负性分（略）5、实数的 相反数、肯定值、倒数：（与有理数的相反数、肯定值、倒数意义类似）6、实数的运算 ：实数与有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,正数及零可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算,而且 有理数的运算法就和运算律对于实数仍旧适用；7、实数大小 ：（1） 正数 0 负数；（2）两个负数相比,肯定值大的反而小；肯定值小的反而大； （3）数轴上不同的点表示的数,右边点表示的数总比左边的点表示的数大；实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法 二、解题有用 1、21.4142131.73252.23
4、6- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、a2aa2a3a33a3a 3、abababaab0bb三、典题练习1、 16 的平方根是；-32的算术平方根是；-3 2的立方根是；2、假如一个有理数的算术平方根与立方根相同,那么这个数是；假如一个有理数的平方根与立方根相同,那么这个数是；3、一个自然数的算术平方根是x,就与他相邻的下一个自然数的算术平方根是4、以下各数中肯定为正数的是（填序号） x x1x23x1x15、当 x-1 时,2 x ,-x ,-x3和1 的大小关系 x；6、比较以下各组数的大小12
5、-3 与2-2214与7335 与 2114-1与-15277、7-2的肯定值为,相反数为,倒数为；8、已知x3,y 为 4 的平方根,xy0,求 x+y 的值；9、已知x3y-20,求 x2+y 的平方根；10、 假如一个非负数的平方根为2a-1 和 a-5 ,就这个数是；11、 a 为5 的整数部分, b 为5 的小数部分,就a+2b 的值为；12、 如2022-aa 2022a,试求a-20222的值；（提示：找出题中的隐含条件）第七章一元一次不等式与不等式组一、学问总结（一）不等式及其性质1、不等式：（ 1）定义用“ ” 或“ ” ,“ ”或“ ” 等不等号表示大小关系的式子,叫做不等
6、式 . 用“ ” 表示不等关系的式子也是不等式 . （ 2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解；（ 3）不等式的解集：一般地,一个含有未知数的不等式的全部解,组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程叫做解不等式；- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 不等式的解集与不等式的解的区分： 解集是能使不等式成立的未知数的取值范畴,是全部解的集合 , 而不等式的解是使不等式成立的未知数的值；二者的关系是： 解集包括解 , 全部的解组成明白集；（4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式；2、不等
7、式的基本性质性质 1：不等式的两边都加上 或减去 同一个整式,不等号的方向不变；即：假如 a b,那么 a c b c . 性质 2：不等式的两边都乘上 或除以 同一个正数,不等号的方向不变；即：假如 a b,并且 c 0,那么 ac bc；a b . c c性质 3：不等式的两边都乘上 或除以 同一个负数,不等号的方向 转变 ；即：假如 a b,并且 c 0,那么 ac bc；a b . c c性质 4：假如 a b,那么 b a . （对称性）性质 5：假如 a b , b c , 那么 a c . （传递性）（二）一元一次不等式1、定义：含有 一个未知数 ,未知数的 次数是 1,且不等号
8、两边 都是整式 的不等式,叫做一元一次不等式；2. 一元一次不等式的解法：依据是不等式的基本性质；一般步骤为：1 去分母； 2 去括号； 3 移项； 4 合并同类项； 5 系数化为 1. 解不等式应 留意： 去分母时,每一项都要乘同一个数,特别不要漏乘常数项；移项时不要遗忘变号；去括号时,如括号前面是负号,括号里的每一项都要变号；在不等式两边都乘 或除以 同一个负数时,不等号的方向要转变；3. 不等式的解集在数轴上表示：（ 1）边界：有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈；（三）一元一次不等式组（2） 方向：大向右,小向左 1、定义： 有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组,叫做
9、一元一次不等式组 2、（一元一次） 不等式组的解集：这几个不等式解集的公共部分,叫做这个 （一元一次）不等式组的解集； 3、解不等式组：求不等式组解集的过程,叫做解不等式组； 4、一元一次不等式组的解法 1 ）分别求出不等式组中各个不等式的解集 2 ）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集；由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情形：不等式组ab解集口诀记忆- 3 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - xaxb同大取大xbxaaxab同小取小xbxax大小小大中间找xbxa无
10、解大大小小就无解xb（四）一元一次不等式（组）解决实际问题解题的步骤：审题,找出不等关系设未知数列出不等式（组）求出不等式的解集找出符合题意的值作答；二、解题技巧一、有解无解问题：（1）xa有解：ab（2）xa有解：abxb无解：xb无解：abab（3）xa有解：abxb无解：ab2、特点解问题：解题步骤： 把原式中的要求的量（以下简记为 到原式的解 （含 m 依据解的特点列出式子m 当作已知数,去解原式得（关于 m 的式子 解出 m 的值；例： 已知ax2x1 的解集为x1,求 a 的值；解：解不等式ax2x1 把 a 当作已知数,去解原式得xa1 得到原式的解（含a 就a-11 依据解的特
11、点列出式子 解出 a 的值解得a2三、典题练习x m 11、如关于 x 的不等式 x 2 m 1 有解,就 m 的取值范畴是？如无解呢？2 x y 1 m2、已知关于 x , y 的方程组 x 2 y 2 的解满意 x y 0,求 m 的取值范畴；3、适当挑选 a 的取值范畴,使 1.7xa 的整数解：（1）x 只有一个整数解；4、解不等式（组）（2）x 一个整数解也没有；（1）2x53x,（ 2）24x3x7,（3）3x322x1x,6x35x,412x3x2x21.3x72x3 .x332- 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - -
12、- - - - - - （4）562x3 （ 5）y3y82 10y1.375、如 m、n 为有理数,解关于x 的不等式 m 21x n6、已知关于 x, y 的方程组3x42yp,1的解满意 xy,求 p 的取值范畴；4x3yp17、已知关于 x 的不等式组xb0的整数解共有3 个,求 b 的取值范畴；2x58、已知 A2x23x2,B2x2 4x5,试比较 A 与 B 的大小；3 x 4 a ,9、已知 a 是自然数,关于 x 的不等式组 的解集是 x2,求 a 的值；x 2 010、某种商品进价为 150 元,出售时标价为 225 元,由于销售情形不好,商品预备降价出售,但要保证利润不低
13、于 10,那么商店最多降价多少元出售商品 . 11、 某零件制造车间有 20 名工人,已知每名工人每天可制造甲种零件 6 个或乙种零件 5 个,且每制造一个甲种零件可获利 150 元,每制造一个乙种零件可获利 260 元；在这 20 名工人中,车间每天支配 x 名工人制造甲种零件,其余工人制造乙种零件；（1）如此车间每天所获利润为 y元 ,用 x 的代数式表示 y；（2）如要使每天所获利润不低于 24000 元,至少要派多少名工人去制造乙种零件 . 12、 某学校方案组织 385 名师生租车旅行,现知道出租公司有 42 座和 60 座客车, 42 座客车的租金为每辆 320 元, 60 座客车
14、的租金为每辆 460 元；（1）如学校单独租用这两种客车各需多少钱 . （2）如学校同时租用这两种客车8 辆可以坐不满 ,而且比单独租用一种车辆节约租金,请挑选最节约的租车方案；第八章 整式乘除与因式分解一、学问总结（一）幂的运算：1、同底数幂乘法：同底数幂相乘,底数不变,指数相加；am ananamnn2、同底数幂除法：同底数幂相除,底数不变,指数相减；amam3、幂的乘方 ：幂的乘方,底数不变,指数相乘；amnamna04、积的乘方 ：积的乘方等于各因式乘方的积；abmamm b注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；a01（2）任何一个不等于零的数的-p （p 为正整数）指数幂
15、,- 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 等于这个数的p 指数幂的倒数；ap1a0ap（3）科学记数法：c a 10 n 或 c a 10-n 1 a 10-n肯定值小于 1 的数可记成 a 10 的形式,其中 1 a 10,n 是正整数, n 等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）；（二）整式乘法：1、单项式的乘法法就：单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为积的一个因式；2、单项式与多项式的乘法法就：单项式与多项式相乘
16、,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加；3、多项式与多项式的乘法法就：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加；（三）、完全平方公式与平法差公式1、完全平方公式：ab2a22abb2a-b2a2-2 abb2两个数的和（或差）的平方,等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的两倍；2、平法差公式：2 a-b2aba-b两个数的平方之差等于这两个数的和与这两个数的差之积；（四）、整式除法（1）单项式的除法法就：单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母,就连同它的指数作为商的一个因式；（ 2）多
17、项式除以单项式的除法法就：单项式与多项式相除,先把多项式的每一项除以这个单项式再把所得的商相加；（五）、因式分解 1、定义： 把一个多项式化为几个因式的乘积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项式分解因式；2、分解因式的基本方法：（1）提公因式法（2）公式法： 运用完全平方公式和平法差公式（3）对于二次三项式的因式分解的方法： 1）配方法, 2）十字相乘法：公式x2abx1abxaxb例：将x24x3因式分解；4-43 =x22-=x1 x3方法一： 配方法： 原式 =x24x方法二： 十字相乘法：x24x3=x1 x3（4）分组分解法3、分解因式的技巧：- 6 - 名师归纳总结 - - -
18、- - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 因式分解时,有公因式要先提公因式,然后考虑其他方法；2 ） 因式分解时,有时项数较多时,看看分组分解法是否更简洁 3 变形技巧：符号变形、x-y-y-xx-yn、当 n 为奇数时,x-yn-y-xn、当 n 为偶数时,y-xn增项变形：例：4x414x414x2-4x24x44x21-4x2拆项变形：例x32x2-1x3x2x2-1x3x2x2-1x2x1x-1x1二、典题练习1、运算题1a-2b22 b-a5（22x3x2y3am-23 4x5 aa2m42y32y2535 10213 106x-x-
19、32、快速运算：（1）10397（2）1022n（3）2 993、2m4,4n16,求22m-n的值；4、假如2 mnx2n64成立,那么 m ,；5、在括号内填上指数和底数（1）3 822（2）3 932-3x-3x-1的值；6、化简求值：已知x2-2x3,求x-12x3xb2（2）a-b27、已知2x5y4,再求4x32y的值；8、已知ab3,ab-5,求代数式的值： （1）a29、因式分解： 1）x32x2-5x-6 2 ）x2 -y2axay 3 ）a44b410、 比较99999993 与99962的大小；-m311、 不解不等式组2mn6,求7 nm-3 n2-23 nm-3n1的
20、值；第九章分式- 7 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、学问总结（一）分式及其性质 1 、分式（ 1）定义：一般的,假如a,b 表示两个整式,并且b 中含有字母,那么式子a 叫做分 b式；其中 a 叫做分式的分子,b 叫做分式的分母；（ 2）有理式：整式和分式统称为有理式；（ 3）分式 =0分子 =0,且分母0 （分式有意义,就分母0）（ 4）最简分式：分子和分母没有公因式的分式； 2 、分式的性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变即：aamam（a, b,m 都是整式,且m
21、0）bbmbm分式的性质是分式化简和运算的依据； 3 、约分： 把一个式子的分子分母的公因式约去叫做约分；注：约分的结果应为最简分式或整式；约分的方法 ：1） 如分子、分母均为单项式：先找分子、分母系数的最大公约数,再找相同字母最低次幂；2）如分子、 分母有多项式： 先把多项式因式分解,（二）分式运算 1、分式的乘除再找分子、 分母的公因式；1）分式乘法法就： 两分式相乘, 用分子的积做分子,分母的积做分母； 即：acacbdbd2）分式除法法就：两分式相除,将除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘；即：acadad即：anan,anab1nbdbcbc3）分式乘方法就： 分式的乘方就是分子
22、分母分别乘方；bbnb 2 、分式的加减1）同分母分式加减：分母不变分子相加减；即：acabcb0bb2）异分母分式加减：先通分,变为同分母的分式相加减,即：acadbcadbcbd0bdbdbdbd（三）分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程；2、解法：1）基本思路 ：分式方程转化整式方程2）转化方法： 方程两边都乘以各个分式最简公分母,约去分母；- 8 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3）一般步骤： 分式方程通过转化方法整式方程解整式方程检验注： 检验的是必不行缺的关键步骤,检验的目的是看是
23、否有增根存在；（四）分式应用列分式方程解决实际问题的一般步骤 ：审题设未知数,找等量关系列方程检验（ 是否有增根, 是否符合题意）得出答案二、分式解题中常用的数学思想和技巧1、已知115,求2x-3xy2y的值；（整体思想、构造法）15）xyx2xyy2、已知x4,求3x2-5xy-2y2的值；（整体思想、构造法）y32 x23 xy5y23、已知abc1,求1aab1bbc1cca的值；abc4、已知111,111,111,求ababcac；ab6bc9ca15bc（先得到111的值,然后按第1 题方法做）5、已知abcx2x14,求x21的值；（提示：x2x1x1）x2x6、已知baccb
24、aacb,求ababcac的值；（提示：参数法）bc7、已知x2-x11,求x4x221的值；（倒数求值法）xx8、已知x2-5 x10,求x41的值；（提示：由x2-5x10得xx4x9、已知4x-3y-6z0,x2y-7z0,求5x232y2-2 z2的值；2 x2-y2-10 z（提示：消元代入法,把其中一个未知数看成常数,用它表示其它的未知数）10、 运算： 1）20023-2200221（提示：用字母代替数）x21x11）2002320022-32002-22）1124（提示：局部通分）1-x1x12 x14 x3）x2-x3-x-4x-5 提示：假分式可先变形x1x2x-3x-4x
25、1- 9 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、典题练习1、假如分式 |2 x | 5 的值为 0,那么 x 的值是；x 5 x2、在比例式 9:5=4:3x 中, x=_ ；1 13、运算 : =_ ；1 x 1 x24、当分式 x 2 与分式 x2 3 x 2 的值相等时, x 须满意；x 1 x 15、把分式2 x 2 y 中的 x,y 都扩大 2 倍,就分式的值；（填扩大或缩小的倍数）x y6、以下分式中,最简分式有 个；3 2 2 2 2a x y m n m 1 a 2 ab b2 , 2 2 ,
26、2 2 , 2 , 2 23 x x y m n m 1 a 2 ab b7、分式方程 1 12 4 的解是；x 3 x 3 x 92 28、如 2x+y=0 ,就 x xy2 y 的值为；2 xy x29、当 x 为何值时,分式 2 x 1 有意义？x x 2210、 当 x 为何值时,分式 2 x 1 的值为零？x x 211、已知分式2 x 1:当 x= 时,分式没有意义；当 x= _ 时,分式的值为 0；当x 2x= 2 时,分式的值为 _；12、 当 a=_时,关于 x 的方程2 ax 3 =5 的解是 x=1 ；a x 413、一辆汽车来回于相距 a km 的甲、乙两地,去时每小时
27、行 m km,返回时每小时行 n km,就来回一次所用的时间是 _；14、 某班 a 名同学参与植树活动,其中男生 b 名ba 如只由男生完成,每人需植树 15棵；如只由女生完成,就每人需植树 棵；15、 当 时,分式 6 的值与分式 x x 1的值互为倒数；x 1 x 516、 如方程 x 8 18 有增根,就增根是；x 7 7 x17、 如 a 2,就 2 a b 的值是；b 3 b- 10 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18、 已知a23 a10,求aa21的值；419、 已知 x+1 x=3,就
28、x2+1= _ = ；x220、 已知11=3,就分式2x3 xy2yxyx2xyy21、 化简求值（1）（1+x11） （ 1x11）,其中 x=1 2；（2）x21xxx2x32,其中 x=1 2；222、 解方程 : 10 5 2 3 x 3（ 1）=2；（2）2；2 x 1 1 2 x x 1 x 1 x 123、 已知方程 2 x2 m1 1,是否存在 m的值使得方程无解？如存在,求出满x x x x 1足条件的 m 的值；如不存在,请说明理由；24、 如 x y z,且 3 x 2 y z 14,求 x 、 y 、 z的值；2 3 525、 小亮在购物中心用 12.5 元买了如干盒
29、饼干,但他在一分利超市发觉,同样的饼干,这里要比购物中心每盒廉价 0.5 元因此当他其次次买饼干时,便到一分利超市去买,假如用去 14 元,买的饼干盒数比第一次买的盒数多 2,问他第一次在购物中心买了几盒饼干？5第十章 相交线、平行线与平移一、学问总结（一）相交线1、对顶角： 两条直线相交,有公共顶点且两边互为反向延长线的角叫对顶角；对顶角性质：对顶角相等2、垂直：（1）定义：两条直线相交所成的四个角中,假如有一个角是直角,就说明两条直线相互垂直； 记作 AB CD；垂直的两条直线其中一条直线叫做另一条直线的垂线； 它们的交点叫做 垂足； 连接直线外一点与垂足形成的线段叫做 垂线段 ；注： 1
30、）垂直是相交的一种特别的情形； 2）两条线段垂直,垂足可能在线段上,也可能在延长线上；（2）性质： 在同一平面内,过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度,叫做点到直线的距离；在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短；- 11 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、垂线的画法：略（二）平行线1、定义： 在同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线；记作 AB CD ；在同一平面内,两条直线的关系不是相交就是平行,没有其他；2、相关概念： 同位角,内错角,同
31、旁内角；3、性质：基本性质：经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线；其他性质： 两直线平行,同位角相等； 两直线平行, 内错角相等；两直线位置关系性质角的关系 两直线平行,同旁内角互补；4、平行判定： 同位角相等,两直线平行； 内错角相等,两直线平行；角的关系判定两直线位置关系 同旁内角互补,两直线平行；5、平行线的画法：略（三）平移1、定义： 在平面内, 一个图形沿某个方向移动肯定的距离,2、性质： 1）一个图形和它经过平移后所得到的图形中,（或在同始终线上）且相等；这个图形的变换叫做平移；两组对应点连接的线段平行2）平移只转变图形的位置,不转变图形的大小和外形；3、确定平移的要素：
32、1）方向；2）距离；二、典题练习1、如下列图,以下判定正确选项 1 2 1 2 1 2 1 2 A 、图中 1 和 2 是一组对顶角 C、图中 1 和 2 是一对邻补角 2、以下说法中正确选项（）B、图中 1 和 2 是一组对顶角 D、图中 1 和 2 互为邻补角A 、有且只有一条直线垂直于已知直线；B、直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离；C、相互垂直的两条直线肯定相交；D、直线c 外一点 A 与直线 c 上各点连接而成的全部线段中,最短线段的长是 A 到直线c 的距离是 3cm；3cm,就点3、如图,以下说法错误选项（）A. A 与 C 是同旁内角B.1 与 3 是同位角C.2
33、 与 3 是内错角D.3 与 B 是同旁内角- 12 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第 3 题图第 6 题图第 7 题图4、在如下列图的四个汽车标志图案中, 能用平移变换来分析其形成过程的图案是 A BC D5、一辆汽车在笔直的大路上行驶,两次拐弯后,仍在原先的方向上平行前进,那么两次拐弯的角度是（）A 第一次右拐 50 ,其次次左拐 130B第一次左拐 50 ,其次次右拐 50C第一次左拐 50 ,其次次左拐 130D第一次右拐 50 ,其次次右拐 50 5、6、如图,已知1=60 ,假如 CD BE,
34、那么 B 的度数为；7、如图,直线 a、b 都与直线 c 相交,给出以下条件：1 2； 3 6； 47180 ； 5 8180 .其中能判定 a b 的条件是；（填序号）8、如图,当剪刀口AOB 增大 21 时, COD 增大；9、吸管吸易拉罐的饮料时,如图,1 110,就 2；10、 如图,由三角形 ABC 平移得到的三角形共有 个；A BC第 8 题图第 9 题图第 10 题图第 11 题图11、 如图,一个宽度相等的纸条按如下列图方法折叠一下,就1 _ ；12、 已知：如图,BAP APD 180,1 2；试说明 E F ；A B1EF 2C P D13、 如下列图,一辆汽车在直线形的大路 AB 上由 A 向 B 行驶 ,M,N. 分别是 位于大路 AB两侧的村庄,设汽车行驶到 P 点位置时,离村庄 M 最近,行驶到 Q 点位置时,离村庄 N 最近,请你在 AB 上分别画出 P,Q 两点的位置；- 13 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - MA BN14、 如下列图,已知AB CD,分别探究以下四个图形中P 与 A、 C 之间的关系,请你从所得的四个关系中任选一个加以说明；PADBAPDBAPBAP