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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载中学数学竞赛专题选讲勾股定理一、内容提要1.勾股定理及逆定理：ABC 中CRta 2b2=c2 a,b,c 叫做2.勾股定理及逆定理的应用2,那么这三个正整数作已知线段a 的2 ,3 ,5 倍3.运算图形的长度,面积,并用运算方法解几何题证明线段的平方关系等；勾股数的定义：假如三个正整数a,b,c 满意等式 a 2b 2=c一组勾股数 .4.勾股数的推算公式5,罗士琳法就（罗士琳是我国清代的数学家1789 1853）任取两个正整数m 和 nmn, 那么 m2-n2,2mn,m2+n2是一组勾股数；假如 k 是大于 1 的奇数,
2、那么k, k221,k221是一组勾股数；假如 k 是大于 2 的偶数,那么k, K21,K21是一组勾股数；5.22假如 a,b,c 是勾股数,那么na,nb,ncn 是正整数 也是勾股数；熟识勾股数可提高运算速度,顺当地判定直角三角形；简洁的勾股数有：3,4,5；12, 13；7,24,25；8,15,17；9, 40,41；二、例题例 1.已知线段 aa 5 a2a3a 5 aD2E求作线段5 aa分析一：5 a5a24 a2a22a 5 a 是以 2a 和 a 为两条直角边的直角三角形的斜边；分析二：5 a9 a24 a25 a 是以 3a 为斜边,以2a 为直角边的直角三角形的另一条
3、直角边；C作图（略）例 2.四边形 ABCD 中 DAB 60 , B DRt, BC1, CD2 A1B求对角线 AC 的长解：延长 BC 和 AD 相交于 E,就 E30名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载CE2CD4,在 Rt ABE 中 设 AB 为 x,就 AE 2x依据勾股定理x2+52=2x2, x2=25ADMC3在 Rt ABC 中, AC x22 125122133例 3.已知 ABC 中, AB AC, B2A 求证： AB2BC2AB BC证明：作 B 的平分线交AC 于 D,
4、就 A ABD ,BDC 2 A C AD BD BC作 BM AC 于 M ,就 CM DMBAB2BC 2（ BM 2AM 2）（ BM 2CM 2）AM2CM2（ AM CM ）（AM CM ）AC AD AB BC 例 4.如图已知ABC 中, AD BC,AB CDAC BD 求证： AB AC 证明：设 AB ,AC ,BD, CD 分别为 b,c,m,n就 c+n=b+m, c-b=m-nBc mAbCAD BC,依据勾股定理,得AD2c2-m2=b2-n2c2-b2=m2-n2, c+bc-b=m+nm-n c+bc-b =m+nc-bDnc+bc-b m+nc-b 0 c-b
5、c+b m+n 0 c+bm+n, c-b=0 即 c=b AB AC 例 5.已知梯形 ABCD 中, AB CD ,AD BC 求证： AC BD 证明：作 DE AC ,DF BC,交 BA 或延长线于点 E、 F ACDE 和 BCDF 都是平行四边形DEAC ,DFBC,AE CD BF作 DH AB 于 H,依据勾股定理2 - DH2D jCAH AD2 - DH2,FHDFAD BC,AD DFAH FH,EHBH, BDEAHFBDEDH2EH2DHBH2DEBD 即 AC BD 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - -
6、 - - - 学习必备 欢迎下载例 6.已知：正方形 ABCD 的边长为1,正方形 EFGH 内接于 ABCD ,AE a,AF b,且 SEFGH2 31aAEGD求：ba的值FH（20XX 年期望杯数学邀请赛,初二）解：依据勾股定理BCa 2+b2=EF2SEFGH2;34S AEF SABCD SEFGH2ab=3得（a-b）2=1b333三、练习1.以以下数字为一边,写出一组勾股数：SABC2.7,8,9,10,11,12,依据勾股数的规律直接写出以下各式的值：3.252242,52122,2 8152,252 15 2 ABC 中, AB 25,BC20,CA 15,CM 和 CH
7、分别是中线和高；那么, CH, MH 4. 梯形两底长分别是 3 和 7,两对角线长分别是 6 和 8,就 S梯形5.已知：ABC 中, AD 是高, BEAB ,BECD ,CFAC ,CF BD 求证： AEAF 6.已知： M 是 ABC 内的一点, MD BC,ME AC,MF AB ,且 BD BF,CD CECFBFAEC求证： AE AFMA5EBDD7.在 ABC 中, C 是钝角, a 2-b 2=bc 求证 A2 B 8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数；（用反证法）9.已知直角三角形三边长均为整数,且周长和面积的数值相等,求各边长10 等腰直角三角形ABC 斜边上一点
8、P,求证： AP2BP 22CP 2 11.已知 ABC 中, ARt, M 是 BC 的中点, E, F 分别在 AB ,AC ME MF 名师归纳总结 求证： EF 2 BE2CF 2 第 3 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载12.Rt ABC 中, ABC 90, C 60 0, BC2,D 是 AC 的中点,从 D 作 DE AC 与CB 的延长线交于点 E,以 AB 、BE 为邻边作矩形 ABEF ,连结 DF,就 DF 的长是；（20XX 年期望杯数学邀请赛,初二试题）A F A11 12EF DBMC E
9、B C13. ABC 中, AB AC2,BC 边上有 100 个不同的点 p1,p2,p3, p100, 记 mi=AP i 2+BP i PiC I=1,2 , 100,就 m1+m 2+ m100=_ 1990 年全国中学数学联赛题 练习题参考答案3.150,12,35CA4.24（作 CE BD 交 AB 延长线 E）5. 利用勾股定理证明AE ,AF 的平方都等于m2+n2+AD26.利用勾股定理 : AE 2 , AF 2 DE7.作 CDAB 于 D,bc=a 2-b 2=BD 2-AD 2=BD+ADBD-AD Bb=BD-AD a 8.（用反证法）设 a,b,c 都是奇数,那么 a 2,b 2,c 2 也都是奇数,b a2 b2是偶数 ,而 c2是奇数,这与 a2b2c2相冲突,故这种假设不能成立, a,b,c 中至少有一个数是偶数9.ab2c1ab正整数解有a12 8, ,. 6 ,. 52b. 5 ,. 6 ,. 8 ,. 12a2bc2c13 , 10 , 10 , 13答：各边长是5,12,13 或 6,8,10 11.延长 EM 到 N,使 MN EM ,连结 CN,明显 MNC MEB ,NC BE, NFEF 名师归纳总结 12.可证 DFDE23 ,第 4 页,共 4 页13.400 mi=4 - - - - - - -