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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 信号及其描述习题C n1T 0x t ejn0tdt10A ejn0tdtT 0Aejn0tdt,11.1 求周期方波 （图 1-4）的傅立叶级数 （复指数函数形式） ；画出频谱图 |Cn| ；n2 T 02T 0T 0T 00 图并与表 1-1 对比；22A0ejn0tT 0A解：傅立叶级数的复指数形式表达式：ejn0t0T 0112T 0jAjn0T 0jn00t;nxtC nejn0t;n0,1 ,2 ,3 ,2njAjA1cosn1ejnejnn式中：n2nj2A;n,13 ,5n ;0n2 ,4 ,6nj2Aejn3 ,57,所以：x
2、tn幅值频谱：C nnC2 nRC2 nI2A;n2A1 ,35 ,2;n3,1 5, ,n相位频谱：arctgCnIarctg2;nCnR,1,3,50n傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图；1.2 求正弦信号xt= x0sint 的肯定均值|x |和均方根值x rms解：名师归纳总结 xlim TTx tdt1T 0x 0sintdt2x 0;式中：T 02f第 1 页,共 11 页00T 0x rms1T 002 x tdt1T 0x 0sindt2dtx 02AT 0T 001.3 求指数函数t;的频谱；Ae0 xt;0t解：Xfx tej2ftdt0Aetej2
3、ftdtj2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1.4 求符号函数（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1b）的频谱 . 解:1 符号函数的频谱: etxt;j2ftdt0etej2ftdt令: x 1tlim 0X1fx 1tetj2ftdt0lim 0e1 e1j f2单位阶跃函数的频谱 : tx 2 t lim 0 e x t ;j 2 ft t j 2 ft 1X 2 f x 2 t e dt lim 0 0 e e dtj 2 f1.5 求被截断的余弦函数 cos0t（题图 1-2）的傅立叶变换；cos 0 t ; t Tx t 0 ; t
4、T解：j 2 ft T j 2 ftX f x t e dt T cos 2 f 0 te dtT T 12 e j 2 f 0 te j 2 f 0 te j 2 ftdtsin f f 0 2 T sin f f 0 2 TT f f 0 2 T f f 0 2 TT sin c 1 sin c 2t1.6 求指数衰减振荡信号（见图 1-11b）：x t e sin 0 t ; 0 , t 0 的频谱解：j 2 ftj 2 ft tX f x t e dt 0 e sin 2 f 0 t e dtt j j 2 f 0 t j 2 f 0 t j 2 ft0 e2 e e e dtj 1
5、12 j 2 f f 0 j 2 f f 0 1.7 设有一时间函数 ft及其频谱 题图 1-3 所示 ,现乘以余弦型振荡 cos0t , 0m；在这个关系中,函数 ft叫做调制信号,余弦型振荡 cos0t 叫做载波；试求调幅信号ftcos0t 的傅立叶变换；示意画出调幅信号及其频谱；又问：如 0m时将会显现什么情形？名师归纳总结 解：Xf1xt ej2ftdt0 tf tcos2f0 tej2ftdt第 2 页,共 11 页f t1 2ej2fej2f0tfej2ftdtf01F 2F222f0f22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 0m 时,将
6、会显现频率混叠现象1.8 求正弦信号xt=x0sin（ 0t+）的均值 x和均方值 x2 和概率密度函数px解：将 xt=x0sin（0t+）写成（ 0t+）=arcsinxt/ x0等式两边对 x 求导数：1dt1x011s,2s,5s 的正弦信号,问幅值dx01x t20x 0 2x2 tx0pxlim x 01T limT xlim x 012txTxT2dt1Tdx2 x 0x2t2.2 用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为误差将是多少？解：Hj110. 351j1Y,误差为 59% Hs0 .11XA1121120. 350.77当 T=1s 时,A1.041,即A
7、 Y.0 41 A x当 T=2s 时,A20 . 67,误差为 33% ,通过传递函数为当 T=5s 时,A30 . 90,误差为 8% 2.3 求周期信号xt0 . 5cos 10 t.02cos100 t4505s的装置后所得到的稳态响应；名师归纳总结 解：利用叠加原理及频率保持性解题45arctg0 . 005第 3 页,共 11 页xt0 . 5sin10 t9002.sin100 tA112112,0 . 0 0 5110,A11,12 . 86- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xt1.051sin10 t90.286,2 100,A 2
8、0 . 89,2 26 . 57y t 2 0 . 2 .0 89 sin 100 t 26 . 57 45y t .0 5 sin 10 t 87 . 14 0 . 178 sin 100 t 18 . 4312.7 将信号 cos t 输入一个传递函数为 H s 的一阶装置后,试求其包括瞬态过程2 s 1在内的输出 y t 的表达式；解：x t cos t sin t 90H ss 11,A1 12,arctgy t 12 sin t 90 arctg1= 12 cos t arctg12.8 求 频 率 响 应 函 数 31550722 的 系 统 对 正 弦 输 入1 0 . 01 j
9、 1577536 176 jx t 10 sin 62 . 8 t 的稳态响应的均值显示；解： 写成标准形式名师归纳总结 Hj1ja221256222第 4 页,共 11 页n22nj2n112560 . 011jj221256A1.1117610 .012162 . 862 . 82212561577536690.9917.对正弦波,u xA1 .710 2122- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.9试求传递函数分别为S211.522和S241n222的两个环节串联后组n4.nS.1 4Snn成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）解：HH1H25%以
10、内,就时间H131 .50 5.31,S 135. S7 SH2S24122,S 241n.1 4nSnSS 1S 23411232.10 想用一个一阶系统作100Hz 正弦信号的测量,如要求限制振幅误差在单常数应去多少？如用该系统测试 解：由振幅误差50Hz正弦信号,问此时的振幅误差和相角差是多少？E | A 0 A I | 1 A 0 1 A 5 %A I A IA 95 %即 A 12 95 %,112 0 . 95,5 . 23 10 4 s1 2 100 t当 2 f 2 50 100,且 5 . 23 10 4 s 时1A4 2 98 . 7 %1 5 . 23 10 100 此时
11、振幅误差 E 1 1 98 7. % 1 3. %4arctg .5 23 10 100 .9 32.11 某力传感器可以作为二阶振荡系统处理；已知传感器的固有频率为 800Hz,阻尼比0 . 14,问使用该传感器作频率为 400Hz 的正弦力测试时, 其振幅比 A 和相角差各为多少？如该装置的阻尼比可改为 0 . 7,问 A 和 又将作何种变化？解： 作频率为 400Hz 的正弦力测试时名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - A21221n42n1114002240 . 1424002800800. 312arctgn
12、21 narctg20 . 144002.0 97相位8001400 800210.6当阻尼比改为0 .7时A14002210 . 724004800800同时相位角也变化猛烈,arctg210 7.400438004002800即阻尼比变化时,二阶振荡系统的输出副值变小,差变大；2.12 对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后,测得其响应中产生了数值为 1.5 的第一个超调量峰值；同时测得其振荡周期为 6.28s ；设已知该装置的静态增益为 3,试求 该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应；解： 最大超调量1名师归纳总结 Me121.5第 6 页,共 11 页- - -
13、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即120. 13且Td2ln15. 2816ddn1222121 . 016. 28n111131.0系统的传递函数HsYs2 SkS1Xs22nn31.012S2S120 .131.01该装置在无阻尼固有频率处的频率响应由HjYjn2Kj1X2nKHj122jKn2jn.03jnn1n226d为有阻尼固有频率名师归纳总结 M=0.5,d221ln1210. 215第 7 页,共 11 页TMe1M- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dn12,n1d21 . 02 S=3 H23n时代入得
14、）sS22nS2SAnn1. 04S20.44S1.04n123.6 98（4A1,902ytnarctg26 . 98sin1.02t24.1 解 ： =2 m 时,单臂,U y4RU0U0106*363106 VR 0UySgR4 R2U y21204120双臂,U y2RU0U0610VR 0UySgRU y22 R1202106*32120： =2000 m 时,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 单臂,U y4RU0R 0UySgRU0106*333103 V4 RU y212020004120双臂,U y
15、2RU0610VR 0SgRU0Uy2 RU y21202000106*32120双臂的灵敏度比单臂的提高一倍；4.4 解：U yRU0Bcos 100 tEsin 10000 ttR 0UyS gRU0RUyS gAcos 10 tSgAEcos 10tsin10000 tS gBEcos 100 tsin10000名师归纳总结 1SgAEsin10010 tsin9990 t1SgBEsin10100 tsin9900 t第 9 页,共 11 页22Uyf1jSgAEf10010f10010f9990f9990422221jSgBEf10100f10100f9900f9900422224.
16、5 解：xa 10030cost20cos 3tcosct100cos2000t30cos 1000tcos2000t20cos3000tcos2000t100cos2000t15cos3000tcos1000t10cos5000tcos1000t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - X af50 f10000 f10000 7 . 5f10500 f10500 7 5.f9500 f9500 5f11500 f11500 5f8500 f8500 4.10 解：Hs 111110113s0sRCsH101 3 j1A 112113 10arctanarc
17、tan 103U y10A 1000sin1000t 1000100 .707sin1000t457. 07sin1000t4504.11 解：A 112arctan10 时,A 10 1110 0 . 816.005 10 arctan 0 . 0510 26 . 56100 时,A 10010.11000. 40805 100arctan0. 05100 78.69y t0 5.0 816cos 10 t26 . 560 2.0408 cos 100 t4578 . 690 . 408cos 10 t26 . 56.00816 cos 100 t33 .695.1 名师归纳总结 R xh
18、t0et; t0 ,0 0etetdt第 10 页,共 11 页;0t0 hth t dtee2tdte2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5.2 x tA 1sin1t12A 2sin2t22由同频相关,不同频不相关得：Rx2 A 1cos12 A 2cos24sint2225.3：由图可写出方波的基波为x 1tR xy2cos2TFR xyT5.4: S xyfHfS xfHfS xyf/S xfejS xyfFR xyS xfFR xFR xyHfejT5.5:见图 5-16 5.6:由自相关函数的性质可知: 2Rx 0 Acos 0Axxrms2Ax5.7:由对称性性质 : Fsinc2 t1dff2f2sinc2tdt22名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页