《2022年中考数学专题复习学案：折叠类题目中的动点问题2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学专题复习学案：折叠类题目中的动点问题2.docx（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -专题：折叠类题目中的动点问题折叠问题是中考的热点也是难点问题,通常与动点问题结合起来,这类问题的题设通常是将某个图形按肯定的条件折叠,通过分析折叠前后图形的变换,借助轴对称性质、 勾股定理、 全等三角形性质、 相像三角形性质、 三角函数等学问进行解答；此类问题立意新奇,布满着变化,要解决此类问题,除了能依据轴对称图形的性质作出要求的图形外,仍要能综合利用相关数学模型及方法来解答；类型一、求折叠中动点运动距离或线段长度的最值例 1. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中, AB=3 ,AD=5. 如图例 1-1 所
2、示,折叠纸片,使点A 落在 BC 边上的 A处,折痕为 PQ,当点 A 在 BC 边上移动时, 折痕的端点 P、Q 也随之移动 . 如限定点 P、Q 分别在 AB、AD 边上移动, 就点 A在 BC 边上可移动的最大距离为 . 图例 1-1 【答案】 2. 【解析】此题依据题目要求精确判定出点 A的最左端和最右端位置 .当点 Q 与点 D 重合时, A的位置处于最左端,当点P 与点 B 重合时,点 A的位置处于最右端 . 依据分析结果, 作出图形,利用折叠性质分别求出两种情形下的 BA或 CA的长度,二者之差即为所求 . 当点 Q 与点 D 重合时, A的位置处于最左端,如图例 1-2 所示
3、. 确定点 A的位置方法：由于在折叠过程中,AQ= AQ,所以以点 Q 为圆心,以 AQ 长为半径画弧,与 BC 的交点即为点A. 再作出AQA 的角平分线,与 AB 的交点即为点 P. 图例 1-2 图例 1-3 由折叠性质可知, AD = AD=5 ,在 Rt ACD 中,由勾股定理得,A CA D2CD22 52 34AP 长为半径画弧,与BC 的交点即为点当点 P 与点 B 重合时,点 A 的位置处于最右端,如图例1-3 所示 . 确定点 A 的位置方法：由于在折叠过程中,AP= AP,所以以点P 为圆心,以1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -
4、 - - - 第 1 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A. 再作出APA 的角平分线,与AD 的交点即为点Q. 由折叠性质可知, AB= AB=3 ,所以四边形 AB AQ 为正方形 . 所以 AC= BCAB=5 3=2. 综上所述,点A 移动的最大距离为42=2. 故答案为： 2. 【点睛】此类问题难度较大,主要考察同学的分析才能,作图才能；作图的依据是折叠前后线段长度不变,据此先找到点 A 的落点 A ,再依据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线,确定出折痕 定理及其性质求得相应
5、的线段长度 . 类型二、折叠问题中的类比问题例 2. （1）操作发觉PQ 的位置 . 利用勾股定理、正方形的判定如图例 2-1 ,矩形 ABCD 中, E 是 AD 的中点,将 ABE 沿 BE 折叠后得到 GBE,且点 G 在矩形 ABCD 内部小明将 BG 延长交 DC 于点 F,认为 GF= DF,你同意吗？说明理由（ 2）问题解决保持（ 1）中的条件不变,如DC=2 DF,求AD AB的值；（ 3）类比探求保持（ 1）中条件不变,如DC= nDF,求AD AB的值A E D F G B 图例 2-1 C 图例 2-2 【答案】见解析 . 【解析】（ 1）同意,理由如下：如图例 2-2
6、,连接 EFE是 AD 的中点AE= ED由折叠及矩形性质得：AE= EG,EGF= D=90 所以, EG= DE 在 RtEFG和 RtEFD 中,2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -EF= EF EG= DERt EFGRt EFD （HL）DF= FG（ 2）依据 DC=2 DF,设 DF= FC= x,AE= ED= y由折叠性质及（ 1）知 BF= BG+ GF= AB+ GF=3
7、 x在 RtBCF 中,由勾股定理得：BF2= BC2+ CF23x2=2 y2+ x2即：y22 x2AD ABy2x（ 3）设 AE= ED= y,DF= x,依据 DC= nDF,得 CD= nx,FC= n 1x；由折叠性质及矩形性质知：BF= BG+ GF= AB+ GF= n+1 x在 RtBCF 中,由勾股定理得：BF2= BC2+ CF2n+1 x2=2 y2+ n-1 x2即： y nxAD 2 y 2 nAB nx n【点睛】此题立意新奇,是河南中考首次采纳此类型题目,给人一种耳目一新的感觉 . “ 操作发觉问题解决类比探究” 所呈现的是数学争论的核心,即“ 提出问题解决问
8、题理论扩展及应用”. 同学需要具备完善的学问体系及肯定的观看、运算才能才能完整解答此题 . 此题的意义不仅在于考查同学对折叠、矩形、全等三角形、勾股定理、解方程等学问的本质懂得与把握,在很大程度上是检验同学的学习过程和学习方式,从一个新的数学角度考查了同学的数学思维才能类型三、折叠问题中的直角三角形存在性问题例 3. 如图例 3-1 ,在 RtABC 中,ACB=90 ,B=30 ,BC=3 ,点 D 是 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合）,过点D 作 DEBC 交 AB 边于点 E,将B 沿直线 DE 翻折,点 B 落在射线 BC 上的点 F 处,当 AEF 为直角三角形时, BD 的
9、长为3 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -图例 3-1 图例 3-2 图例 3-3 【答案】 2 或 1. 【解析】从题目所给的“ 当AEF为直角三角形时” 条件动身,以直角顶点所在位置进行分类争论 . 通过观看及分析可知BED= DEF=60 ,所以AEF=180 120 =60 . 即点 E不行能为直角顶点 . 分两种情形考虑：当EAF=90 时,如图例 3-2 所示 . B=30 ,BC=
10、3 ACtan 30BC33= 3,AB2AC=2 33EAF=90 AFC=60 ,CAF=30 在 RtACF 中,有：AFACcosCAF= 3BF3=2,BF2AF42由折叠性质可得： B= DFE=30 ,BDDF122当AFE=90 时,如图例 3-3 所示 . 由折叠性质得： B= DFE=30 ,BDDF1BF22AFC=60 ,FAC=30 CFtanFACAC13313所以, BF=2 ,BDDFBF12综上所述, BD 的长为 2 或 1. 【点睛】此题难度适中,要求同学具备分类争论思想及数形结合解决问题的才能,另外仍需要娴熟运用勾股定理及相像 三角形学问 . 通过此题,
11、可总结出：遇到直角三角形存在性问题时,分类争论的动身点在于直角顶点的位置；解决直角 三角形存在性问题的方法是数形结合,先作出符合题意的图形,再用勾股定理或相像三角形、三角函数性质解题 . 4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 4. 如图例 4-1 ,矩形 ABCD 中, AB=3 ,BC=4 ,点 E是 BC 边上一点,连接AE,把B 沿 AE 折叠,使点 B 落在点B 处当CEB 为直角三
12、角形时,BE 的长为图例 4-3 图例 4-2 图例 4-1 【答案】 3 或 1.5. 【解析】此题以“ 当CEB 为直角三角形时” 为突破口,分析可能是直角顶点的点,得出存在两种情形,即点 B 及点E分别为直角顶点 .分两种情形考虑：当CEB=90 时,如图例 4-2 所示 . 由折叠性质得： AB= AB ,四边形ABE B 是矩形. 所以四边形 ABE B 是正方形. 此时, BE= AB=3. 当CBE=90 时,如图例 4-3 所示 . 由折叠性质知, ABC=90 ,所以ABC+CBE=180 . 点A、B 、C 共线在 RtABC 中,由勾股定理得 AC=5 由折叠得： AB=
13、 AB=3 所以 BC=2 设 BE= x,就 BE= x,EC=4 x在 RtABC 中,由勾股定理得：EC2= BE2+ BC2即：（ 4- x）2= x2+22解得： x=1.5. 综上所述, BE 的值为 3 或 1.5. 【点睛】此题解题关键在精确对问题进行分类争论且作出相应图形,要求同学把握三点共线的理由,折叠的性质及勾股定理的应用 . 例 5. 如图例 5-1 ,在 Rt ABC 中,A 90, AB AC ,BC 2 1,点 M , N 分别是边 BC , AB上的动点,沿 MN 所在的直线折叠 B ,使点 B 的对应点 B 始终落在边 AC 上 .如 MB C 为直角三角形,
14、就 BM 的长5 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -为图例 5-1 图例 5-2 图例 5-3 【答案】21或 1. C 点不行能为直角顶点,分两种情形争论. 2【解析】通过观看及分析可知,当CM B =90 时,如图例 5-2 所示 . 由折叠知： BMN = BMB =45 ,又由于B=45 ,所以BNM =90 ,MNB =90 即BNM + MN B =180 ,所以B、N、B 三点共线
15、,此时 B 与点A 重合 . 所以,BM1BC2122当CBM =90 时,如图例 5-3 所示 . 由折叠知 B= B=45 ,由于C=45 ,可得BMC =45 ,所以BMC 是等腰直角三角形设 BM = BM = x,BC= x,就 MC = 2 x由于 BC= 2 +1 所以 x+ 2 x= 2 +1 解得： x=1 ,即 BM =1. 2 1综上所述, BM 的值为 或 1. 2【点睛】依据题意判定出 C点不行能为直角顶点,分两种情形争论,利用等腰直角三角形的三边关系求解 . 例 6. 如图例 6-1 ,在MAN =90 ,点C 在边 AM 上,AC=4 ,点 B 为边 AN 上一动
16、点,连接 BC,ABC 与ABC 关于 BC 所在直线对称 . D、E 分别为 AC、 BC 的中点,连接 DE 并延长交 AB 所在直线于点 F,连接 AE. 当 AEF 为直角三角形时, AB 的长为 . 6 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -图例 6-1 图例 6-2 图例 6-3 【答案】 4 或 4 3【解析】分两种情形争论 . 当AFE=90 时,如图例 6-2 所示 . D、E 分
17、别为 AC、BC 的中点DE 是三角形 ABC 的中位线即 DE BAABA=90 四边形 AB AC 为矩形由折叠得 AC= AC四边形 AB AC 为正方形即 AB= AC=4. 当AEF=90 时,如图例 6-3 所示 . AEF= CDE=90 AE CDDCE= CEA由折叠知： DCE= ACECEA= ACEAC=A E=4又E 是 BC 中点即 AE 是 RtABC 的中线BC=2 A E= 8 在 RtABC 中,由勾股定理得,AB= 4 37 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 15 页 - - - - -
18、 - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由折叠性质得： AB= AB= 4 3 . 综上所述, AB 的长为 4 或 4 3 . 【点睛】利用中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定,用勾股定理求解 . 类型四、折叠问题中的等腰三角形存在性问题例 7. 如图例 7-1 ,正方形 ABCD 的边长是 16 ,点 E 在边 AB 上, AE=3 ,点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个动点,把 EBF沿 EF折叠,点 B落在 B 处,如CDB 恰为等腰三角形,就 DB 的长为 . 图例 7-1 【答案】 16 或
19、 4 5 .【解析】 依据 CDB 为等腰三角形,以 CD 为腰或底分三种情形争论,DB= DC；CB = CD；CB= DB. 对于 DB= DC,作图方法以 E为圆心 BE长为半径作弧,以 D 为圆心 CD 长为半径作弧,两弧交点即为 B. 对于 CB= CD,作图方法以 E为圆心 BE 长为半径作弧,以 C 为圆心 CD 长为半径作弧,两弧交点即为 B. 对于 CB= DB ,作图方法以 E 为圆心BE 长为半径作弧,弧与 CD 垂直平分线的交点为 B. 图例 7-2 图例 7-3 图例 7-4 详解： DB= DC, 如图例 7-2 所示 . 易知： DB= DC=16. CB= CD
20、,如图例 7-3 所示 . 由折叠性质可知： BF= BF= CD=16 ,此时 F 点与 C 点重合,不符题意 . CB= DB ,如图例7-4 所示 . 由题意得, DN = CN=8 ,由于 AE=3 ,所以 EM =5. BE= BE=13. 在 RtEBM 中,由勾股定理得,BM =12. 8 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以 BN=4. 在 RtDBN 中,由勾股定理得,BD=
21、 4 5 . 综上所述, BD 的长为 16 或 4 5 . 【点睛】以 CD 为腰或底分三种情形争论,排除其中一种,利用勾股定理求解 . 类型五、折叠问题中的落点“ 固定” 问题例 8. 如图例 8-1 ,矩形 ABCD 中, AD=5 ,AB=7 ,点 E 为 DC 上一个动点,把 ADE 沿 AE 折叠,当点 D 的对应点 D落在ABC 的角平分线上时,DE 的长为图例 8-1 图例 8-2 图例 8-3 【答案】5 2或5 3 .点,对不同的位置分别求解. 【解析】如图例8-2. 发觉有两个不同的D如图例 8-3 所示 . 由于 BD 是ABC 的平分线所以DBN =45 ,DN= N
22、B 由折叠知 AD= AD =5. 设 DN= NB= x,就 AN =7 x 在 RtAD N 中,由勾股定理得,AD2= DN2+ AN2 52= x2+7- x2,解得 x=3 或 4. 当 x=3 时, DM =2 ,AN =4. 设 DE= y,就 DE= y,EM =4- y9 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -在 RtEDM 中,由勾股定理得,ED2= DM2+ EM2即 y2=2
23、2+4- y2,解得 y=5 2. 当 x=4 时, DM =1 ,AN =3. 设 DE= y,就 DE= y,EM =3- y在 RtEDM 中,由勾股定理得,ED2= DM2+ EM2y2=12+3- y2,解得 y=5 3. 综上所述, DE 的长为5 2或5 3. 【点睛】 D 落在ABC 的角平分线上,作出 ABC 的角平分线,再以A 为圆心以 AD 长半径画弧,弧与 ABC 的角平分线的交点即为 D点. 依据折叠中,折痕是对应点连线的垂直平分线作出折痕 . 例 9. 如图例 9-1 ,已知 AD BC,ABBC,AB=3 ,点 E为射线 BC 上一个动点,连接 AE,将 ABE
24、沿 AE 折叠,点 B落在点 B处,过点 B作 AD 的垂线,分别交 AD、BC 于点 M 、N,当点 B为线段 MN 的三等分点时, BE的长为. 图例 9-1 【答案】3 5 或3 25 2【解析】取线段 AB 的三等分点 P、G,过点 P、G 作 PQ AD,GH AD以点 A 为圆心,以 AB 长为半径画弧,该弧与 PQ、GH 的交点即为 B. 如图例 9-2. 图例 9-2 图例 9-3 图例 9-4 取弧 BB与 GH 的交点,如图例 9-3 所示由于 BG= BN=1 ,BM = AG=2 ,由折叠得 AB= AB=3. 在 RtAGB中,由勾股定理得：BG= 5 ,所以 AM
25、= 5 .10 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由于MAB = EBN所以 cosMAB = cos EBN2 .即 : AMB NABB E设 BE= BE= x,就513x解得： x=3 5 5,即 BE=3 5 5取弧 BB与 PQ 的交点,如图例9-4 所示由于 BP= BN=2 ,BM = AP=1 ,由折叠得 AB= AB=3. 在 RtAPB中,由勾股定理得：BP= 22 ,所
26、以 AM = 2由于MAB = EBN所以 cosMAB = cos EBN即 : AMB NABB E设 BE= BE= x,就2 2 32x解得： x=3 2 2,即 BE=3 2 2. 综上所述, BE 的长为3 5 5或3 2 2. 【点睛】依据题意画出图形后,利用一线三直角的线段比例相等求解刻意练习第 1 题第 2 题第 3 题1. 如图,在矩形 ABCD 中, AB=3 ,BC=4 ,点 M 在 BC 上,点 N 是 AB 上的动点,将矩形 ABCD 沿 MN 折叠,设点B 的对应点是点 E,如点 E 在对角线 AC 上,就 AE 的取值范畴是11 细心整理归纳 精选学习资料 -
27、- - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2. 如图,在矩形ABCD 中, AB 10 ,AD 5,将矩形 ABCD 折叠,使点 C 落在边 AB 上的 E 处,折痕交DC 边于点M ,点 F 在 DM 上运动,当 AEF是腰长为 5 的等腰三角形时,EF的长为3. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=5 ,AD =2 ,点 P 在线段 AB 上运动,设 AP= x,现将纸片折叠,使点 D 与点 P 重合,得折痕 EF（点 E、F
28、 为折痕与矩形边的交点） ,再将纸片仍原,就四边形第 4 题 第 5 题EPFD为菱形时, x 的取值范畴是4. 如图,矩形 ABCD 中,点 E 为射线 BC 上的一个动点,连接 AE,以 AE 为对称轴折叠 AEB,得到 AEB ,点B 的对称点为点 B ,如AB=5 ,BC=3 ,当点 B 落在射线CD 上时,线段 BE的长为5. 如图,在 RtABC 中,A=90 ,B=30 ,BC= 3+1 ,点 E、F 分别是 BC、AC 边上的动点,沿 E、F 所在直线折叠C,使点 C 的落对应点 C始终落在边 AB 上,如 BEC是直角三角形时,就 BC的长为刻意练习答案及解析1. 【答案】
29、1AE3 【解析】在 RtABC 中, AC =5 ,如图 1,M 点在 C 点处,沿 ACB 的对角线折叠,就CE= CB=4 ,所以 AE= ACBC=1 ；如图 2,N 点在 A 点处,沿CAB 的对角线折叠,就 AE= AB=3. AE 的取值范畴为 1AE3故答案为 1AE32. 【答案】 5 或 5 2 . 【解析】四边形 ABCD 为矩形,CD= AB=10 ,BC= AD=5 ,矩形 ABCD 折叠,使点 C 落在边 AB 上的 E处,折痕交 DC 边于点 M ,12 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 15
30、 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -MEB= C=90 ,BC= BE=5 ,四边形 BCME 为正方形,ME =5 ,AE= AB-BE=5 ,点F 在 DM 上运动,且 AEF 是腰长为 5 的等腰三角形,点F 只能在点 D 或点 M 处,点 F 运动到点 D 时, EF=5 当点 F 运动到点 M 时, EF=5 故答案为 5 或 5 2 .3. 【答案】 2x5 【解析】要使四边形EPFD为菱形,就需DE= EP= FP= DF,如图 1：当点 E 与点 A 重合时, AP= AD=2 ,此时
31、AP 最小；如图 2：当点 P 与 B 重合时, AP= AB=5 ,此时 AP 最大；四边形 EPFD 为菱形的 x 的取值范畴是： 2x5故答案为： 2x54. 【答案】5 3或 15 【解析】如图 1,将ABE 沿 AE 折叠,得到 ABE,13 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -AB= AB=5 ,BE= BE,CE=3 BE,AD=3 ,DB=4 ,BC=1 ,BE2= CE2+ B
32、C2,BE2= （ 3 BE）2+12,BE=5 3,如图 2,将ABE 沿 AE 折叠,得到 ABE,AB= AB=5 ,CD AB,1= 3,1= 2,2= 3,AE 垂直平分 BB ,AB= BF=5 ,CF=4 ,CF AB,CEFABE,CF ABCE,BE即4 5CE3CECE=12 ,BE=15 综上所述： BE 的长为：5 或 15 ,3 5. 【答案】3 3 或 2. 3【解析】如图 1,当BEC=90 时,14 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -图 1 图 2 B=30 ,BE= 3CE,又CE= CE,BC= 3+1 ,BE= 3,CE=1 ,RtBEC中, BC=2 ；如图 2,当BCE=90 时,B=30 ,BE=2 CE=2 CE,又BC=3+1 ,BE=2 1 33,CE=1 1 33BC=333；综上所述, BC的长为333或 215 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 15 页 - - - - - - - - -