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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1.5 一元二次不等式解法【基础学问精讲】1. 一元二次不等式 1 一元二次不等式经过变形,可以化成如下标准形式：ax2+bx+c 0a 0; ax2+bx+c 0a 0. 2. 一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表图二次函数 情形一元二次方程一元二次不等式y=ax2+bx+ca 0 =ax2+bx+c=0a ax2+bx+c0a ax2+bx+cb 2-4ac 0 0 0a 0 0 b不等式解集为不等式解集 xxx 1或 x为x x1xx1=2ax 2x2 像 =0b不等式解集
2、xx x 0,x R解集为x2=2abx 1=x 2=x 0=2a与 0 方程无解不等式解集为解集为R一切实数 解a 0 的情形自己完成3. 一元 n 次不等式x-a1x-a2 x -an 0, x-a1x-a2 x -a n 0,其中 a1a2 an. 把 a1,a2, an 按大小次序标在数轴上,就不等式的解的区间如下列图：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4. 分式不等式 x a 1 x
3、a 2 x a n 0 x b 1 x b 2 x b m x a 1 x a 2 x a n 0 x b 1 x b 2 x b m a ,b j 互不相等 把 a1,a 2, a n和 b1,b 2, ,bm依据从小到大的次序标在数轴上,该分式不等式的解的区间的情形与 3中所述类似,分 n+m为奇数或偶数在数轴上表示 . 综合可知,一元二次不等式的解法充分运用了“ 函数与方程” ,“ 数形结合” 及“ 化归” 的数学思想,一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的根就是使二次函数 y=ax 2+bx+c 的函数值为零时对应的 x 值,一元二次不等式ax 2+bx+c 0,ax 2+bx+c0
4、 的解就是使二次函数 y=ax 2+bx+c 的函数值大于零或小于零时 x 的取值范畴,因此解一元二次方程 ax 2+bx+c 0, ax 2+bx+c0 一般要画与之对应的二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像 . 【重点难点解析】本小节重点是一元二次不等式的解法,难点是一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系及运用一元二次不等式解决某些应用问题；分析例 1解以下关于x 的不等式：=b2-4ac 的符号； 如 0,12x+3-x20; 2xx+2-1x3 -x; 3x2-23 x+3 0; 4x2+6x+3 3; 解一元二次不等式一般步骤是：化为标准形式； 确定判别式就求出该不等式对应
5、的二次方程的根；如 0,就对应二次方程无根；联系二次函数的图像得出不等 式的解集 . 特殊地,如一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,就可立刻写出不等式的解集 在两根之 内或两根之外 . 解： 1 原不等式可化为 x 2-2x-3 0, x-3x+1 0. 不等式的解集为x-1 x 3. 2 原不等式可化为 2x 2-x- 20, 2x+1x-10.1不等式的解集为xx - 2,或 x1 . 3 原不等式可化为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 -
6、 - - - - - - - - - - - - - -x-3 20. 不等式的解集为xxR 且 x3 . 4 原不等式可化为x 2+6x+150. 0,方程 x 2+6x+15=0 无实根,不等式的解集为 R. 评析 娴熟把握一元二次方程、二次函数、 一元二次不等式三者之间的关系,再加上娴熟地分解因式、配方技能,解一元二次不等式就能得心应手 . 3 x 72例 2 解不等式 x 2 x 32.3 x 72解： 原不等式可化为 x 2 x 3- 20,2 22 x 2x 1 2 x x 1 x 2 x 3 0 ,即为 x 22 x 30,分子、 分母必需同号, 即可化为 x 22 x 3 0
7、, 由2x 2 x 3 0 ,2于-2x 2-x-1 恒为负值,不等式除以 -2x 2-x-1 得 x 2 x 3 0 , 即 x 2+2x-3 0,即 x+3x-10. 解之得 -3 x1. f g原不等式的解集为x -3 x 1. fx遇到分式不等式,一般应化为右边为零的形式,即化为gx0,然后转化为x g x,0 当分式不等式的分母恒为正 或为负 时,可以去分母,如x2x2110x-1x 0 .x0 且x1 例 3如函数 fx=ax2+bx+ca 0 对任意的实数t, 都有 f2+t=f2-t,以下不等式成立的是 A.f1 f2 f4 B.f2f1f4 C.f2 f4 f1 D.f4f2
8、f1 分析由条件知 x=2 为对称轴, f2 最小, f1=f3,函数在 2 ,+上为增函数,应选B. 评析熟记结论：对fx 如恒有 fa+x=fa-x成立,就函数的图像关于直线x=a 对称 . 11例 4已知不等式 ax2+bx+2 0 的解为 - 2x 3,求 a,b 值. 11解： 方法一：明显a 0,由 x+ 2x- 3 0,得 6x2+x-1 0,变形得 -12x2-2x+2 0,故 a=-12,b=-2. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料
9、- - - - - - - - - - - - - - -11是 ax2+bx+2=0 的两根,故有ab20解得a1242ab2093b2方法二： x=- 2与 x= 3评析这里应留意韦达定理的应用. 【难解巧解点拨】1分析例 1如px2+qx+q 0 的解集是 x 2 x4,求实数p、 q 的值 . 在此题中,已知不等式的解集,要求确定其系数,这和解不等式的问题 已知系数求其解集正好是互为逆向的两类问题. 这类问题可以用下面的方法来解. 先作出一个解集符合要求的不等式；依据不等式同解的要求,确定其系数的数值 . 解： 不等式 x-2x-40 的解集为x2 x 4. 即为 x 2-6x+8 0
10、. 即 -x 2+6x-8 0. 1这与题中要求的不等式 p x 2+qx+p0 是同解且同向的二次不等式 . 其对应的系数成比例,且比值为正数 即二次项系数之值同号 . 1p q p 3 21 = 6 = 8 0 解得 p=-2 2 ,q= 2 . 说明 利用上法确定不等式系数时,必需留意： 将两不等式化为同向不等式同向二次不等式的二次项系数同号,否就就会产生错误 . 例 2 设 A=x -2 x-1, 或 x1, B=xx 2+ax+b0,已知 AB= xx -2 ,AB=x-1 x3,试求 a,b 的值 . 分析 在此题求解时要正确利用图形进行分析 . 解： 如下列图,设 B= x x
11、设想集合 B所表示的范畴在数轴上移动,明显当且仅当B“ 掩盖” 住集合 x - 1x3,才能使 AB= x-1 x3“ -1 且 1” ,并且 -1 及 =3. =-1, =3. 细心整理归纳 精选学习资料 因此 B= x - 1x3 ,依据二次不等式与二次方程的关系,可知 -1 与 3 是方程 x 2+ax+b=0 的两根 . 第 4 页,共 11 页 a=-1+3=-2,b=-1 3= -3. 说明类似问题肯定要借助数轴上的区间来考虑. 同时要仔细考查端点情形. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 -
12、- - - - - - - - - - - - - -例 3已知 fx=x2+2a-2x+4. 1 假如对一切 xR, fx 0 恒成立,求实数 a 的取值范畴 . 2 假如对 x -3, 1, fx 0 成立,求实数 a 的取值范畴 . 解： fx 的图像开口向上 . 1 对一切实数 x, fx 0,就 0,即 a-2 2-4 0,0 a 4；2 当 x -3 ,1时, fx 0,对称轴 2-a 可在区间内,也可在区间外,2a3,32a,1f3 0.或f 1 0.a,12或f2a0.1评析函数 fx 在给定区间上解得 - 2 a4 或最大 值大于 或fx 0 或 fx 0fx 在该区间上的最
13、小小于 零 . 只有深刻懂得了二次函数在给定区间上的最值意义,才能正确处理函数的局部性质与整体性质的关系 . 【课本难题解答】课本第 22 页 习题 1.5 第 8 题5 4 解： 原不等式可化为 3x-42x+50 x - 2 或 x 35 4所以解集为 xx - 2 或 x 3 15解： 原不等式可化为 2x-155x+20 或 x= 22 15 15 2 15 - 5x 2 或 x= 2 即- 5x 22 15所以解集为 x- 5x 2 【命题趋势分析】一元一次不等式,一元二次不等式是最简洁的不等式 . 历年高考中,都涉及到解不等式的题目,对解有理不等式、无理不等式,解指数和对数不等式,
14、解肯定值不等式都进行了考查,而解这些类型的不等式最终都要转化成一元一次不等式 组 或一元二次不等式 组 来解 . 平常要求同学娴熟把握一元二次不等式 组 的解,并能敏捷应用 . 【典型热点考题】细心整理归纳 精选学习资料 例 1不等式2x1 1 解集是 . 第 5 页,共 11 页 x3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -分析 解不等式一般将一边变为零再处理解： 将2x12x1x31 变形为x3-1 0,通分得x40 即解： x-4x+3 0 x3
15、解得 x -3 或 x 4 应填： x -3 或 x 4 x a留意 此题属 x b0 型不等式,解此类问题一般是运用等价转化的思想将其转化为一元二次不等式来解或一元一次不等式组来解 . 例 2 设全集为 R, A=x x 2-5x-6 0, B=x x-5 aa 是常数 ,且 11B,就 A.CRAB=R B.AC RB=R C.CRAC RB=R D.AB=R分析 此题考查二次不等式和肯定值不等式的解法,集合间的关系,先需分别解出集合 A、 B,再根据 11B 这一条件确定 a 值范畴,最终在数轴上判定集合间并集结果；解： A= x x 2-5x-6 0 = x x-6x+10= x x-
16、1 或 x6B=xx-5 a=x-a x-5 a = x5-a x5+a . 留意 111B 5+a11 a6 从而 5-a -1. 并集、补集 . 由数轴图可看出, AB=R. 应选D. 此题主要考查一元二次不等式,含肯定值不等式的解法,以及集合关系2 作出数轴图,将抽象的字母和数字在数轴上表示出来,进行比较,由此判定出结果,是我们解此类问题常采纳的方法 . 例 3 不等式 x 2-3x 4 的解集是 . 解： x 2-3x 4 x 2-3x -4 或 x 2-3x 4 即 x 2-3x+4 0 或x 2-3x-4 03 7由可化为 x- 2 2+ 4 0,明显解为 . 由可化为 x+1x-
17、40,得解为 x -1 或 x 4. 应填： x x-1 或 x4 . 留意 1 此题主要考查含有肯定值不等式和一元二次不等式的解法 .2 将含有肯定值不等式转化为一元二次不等式来解,是解好此题的关键 . 例 4 公园要建造一个圆形喷水池 . 在水池中心垂直于水面安装一个花形柱子 OA,O恰在水面中心,OA=1.25 米,安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿外形相同的抛物线路径落下,且在过 OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示 . 为使水流外形较为美丽,设计成水流在到 OA距离为 1 米处达到距水平最大高度为 2.25 米,假如不计其他因素,那么水池半径至少要多少米,才能
18、使喷出的水流不致落到池外 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -分析由题意可知,此题可借助抛物线这一数学模型求解. 关键是要依据题设条件求出所需的详细抛物线方程 . 为此,以 O为原点,以OA所在直线为y 轴,水面中垂直OA的直线为 x 轴建立直角坐标系,如上右图所示,就水流所出现的抛物线方程为y=ax-1 2+2.25. 由题意,点 A 的坐标为 0 , 1.25 ,把 x=0,y=1.25
19、代入方程解得 a=-1 ,于是抛物线方程为y=-x-1 2+2.25. 令 y=0,得 -x-1 2+2.25=0 ,解得 x1=2.5 , x2=-0.5 不合题意,舍去 . 所以水池半径至少要 2.5 米,才能使水流不落到池外 . 说明 本例在已知解题数学模型 抛物线 的前提下, 分析题设的一些数量关系,然后确定解题所需的详细的数学模型 即抛物线方程 【同步达纲练习】一、挑选题1. 已知集合 A=x x 2-2x-3 0 , B= x x a ,如 B A,就实数 a 的取值范畴是 A.0a1；B.a1；C.-1 a3；D.a 1. 2. 集合 A=xx 2-3x- 100,xZ,B=x2
20、x 2-x-6 0,xZ,就 AB 的子集的个数为 A.16 ；B.8；C.15；D.7. x 13. 不等式 3 x0 的解集是 A. x- 1x3B. xx -1 ,或 x 3C. xx -1 ,或 x3D. x- 1x 34. 如对于任何实数,二次函数 y=ax 2-x+c 的值恒为负,那么 a、 c 应满意 1 1A.a0 且 ac 4 B.a 0 且 ac 41细心整理归纳 精选学习资料 C.a 0 且 ac 4D.a 0 且 ac 0 0； 4 x 第 7 页,共 11 页 x25. 考察以下集合： 1 x x-1 1；2 xx2-3x+20； 3 xx1x12x0,其中是集合A=
21、 x1x2的子集的有 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个6. 在以下各不等式 组 中,解集为空集的是 3A.x2+x+1 4；xa0 其中 0 a 1； D.xB. x-1 + x-2 1；C.a1x2 1axa202-a+ ax+10其中a 0. 二、填空题11. 使函数 y= x 22 x 3 + 3 x 有意义的 x 的取值范畴是 . 1 12. 不等式 ax 2+bx+20 的解集是 x - 2x 3
22、 , 就 a+b= . x 13. 不等式 2 x1 的解集是 . 4. 不等式 -4x 2-3x 18 的整数解为 . 5. 已知关于 x 的方程 ax 2+bx+c 0 的解集为 x x-1 或 x 2. 就不等式 ax 2-bx+c 0 的解集为 . 三、解答题1. 求不等式 x2-2x+2m-m 20 的解集 . x2mx12. 求 m,使不等式x2x1 3 恒成立 . 3. 关于 x 的不等式它的解集为 x x1xx2, 且 1 x1-x23, m-2x2-mx- 10,求实数2m的取值范畴 . x2x2axa细心整理归纳 精选学习资料 4. 已知 a 1 解关于 x 的不等式组ax
23、a20 第 8 页,共 11 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -5. 解不等式x417x216【素养优化训练】2. 已知函数y=k2+4k-5x1. 解关于 x 的不等式 x2-x-a2+a 0 k 的取值范畴 . 2+41-kx+3的图像都在 x 轴上方,求实数3. 已知 A= x x2- 3x+20 ,B= x x2-a+1x+a 0 . 1 如 A B,求 a 的取值范畴；2 如 B A,求 a 的取值范畴；3 如 AB 为仅含有一个元素
24、的集合,求 a 的值 . 【生活实际运用】1. 如下图,铁路线上 AB段长 100 千米,工厂 C到铁路的距离 CA为 20 千米 . 现要在 AB上某一点 D处向 C修一条大路,已知铁路每吨千米的运费与大路每吨千米的运费之比为 35. 为了使原料从供应站 B 运到工厂 C的运费最少, D点应选在何处 . 2. 要在墙上开一个上半部为半圆形,下部为矩形的窗户 如下图所示 ,在窗框为定长的条件下,要使细心整理归纳 精选学习资料 窗户能够透过最多的光线,窗户应设计成怎样的尺寸. 第 9 页,共 11 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
25、 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -参考答案：【同步达纲练习】一、 1.B 2.A 3.D 4.C 5.A 6.C 二、 1. x-3 x -1 2.a+b=-14 3. xx-1 或 x0 4. -2 , -1 , 0, 1, 2,3,4,5 5. x -2 x1三、 1. 当 m 1 时,解集为 x x 2-m, 或 xm；当 m=1时,解集为 x Rx 1；当 m1 时,3 5 3解集为 x xm,或 x 2-m. 2.mm-5 m 1. 3.m m 2m2. 4. xx a . 5. x x-4 或-1 x 1 或 x 4. 【素养优
26、化训练】1. 解：方程 1当 a 1-a ,即 a 2x2-x-a2+a=0 的两个根为a 和 1-a ,时,不等式的解集为x x1-a, 或 xa；1当 a 1-a ,即 a 2 时,不等式的解集为x xa 或 x1-a 2. 解： 1 当 k 2+4k-5=0 时,k=-5 或 k=1. 如 k=-5 ,就 y=24x+3 的图像不行能都在 x 轴上方,故 k -5. 如 k=1,就 y=3 的图像都在 x 轴上方 . 2 如 k 2+4k-5 0,就所给函数为二次函数, 应有 k 2+4k-5 0 0,即k+5k-10 k-1k-190 解得 1 k19 由1 、 2 得 1k19. 3
27、. 解： A=x1 x 2, B= x x-1x-a01 如 A B 图甲 ,应有 a2. 2 如 B A 图乙 ,必有 1 a2. 3 如 AB为仅含一个元素的集合 图丙 ,必有 a 1. 【生活实际运用】1. 讲解 据题设知, 单位距离的大路运费大于铁路运费,又知 BD+DC BA+ AC, 因此只有点 D选在线段 BA上某一适当位置,才能使总运费最省 . 如设 D点距 A 点 x 千米,从 B 到 C的总动费为y, 建立 y 与 x 的函数,就通过函数 y=fx 的最小值,可确定点 D的位置 . 设 DA =x 千米 ,铁路吨千米运费 3a,大路吨千米运费 5a,从 B 到 C的总费用为
28、 y,就依题意,得细心整理归纳 精选学习资料 y=3a100-x+5a400x2, x0 ,100 , 第 10 页,共 11 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -即y300a=5400x2-3x. ay 300 a2令 t= a , 就有 t+3x=5 400 x . 平方、整理,得 16x 2-6tx+10000-t 2=0.由36t 2-4 1610000-t 2 0,得 t 80. t 0,t 80. 细心整理归纳 精选学习资料 将 t=80 代入方程,得x=15,这时 t 最小, y 也最小 . . 第 11 页,共 11 页 即当 D 点选在距 A 点 15 千米处时,总运费最省. 2. 当窗户中的半圆直径与矩形的高的比为21 时,窗户透过的光最多 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -