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1、2022 年湖北省荆荆宜三校高三上学期 10 月联考高三数学试题考试时间:2022 年 10 月 25 日下午 15:00-17:00试卷满分:150 分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上。2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答案卡对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2230,lg(1)1Ax xxBxx,则RABA.-1,3)B
2、.-1,9C.(-1,3D.(-1,9)2.若ab,则下列不等式恒成立的是A.22abB.ln()0abC.1133abD.|ab3.已知等差数列 na中,210aa,公差0d,则使前n项和nS取得最大值的正整数n的值为A.5B.6 或 7C.6D.5 或 64.十一国庆节放假五天,甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者,若甲同学在五天中随机选一天,乙同学在前三天中随机选一天,且两名同学的选择互不影响,则他们在同一天去的概率为A.16B.15C.12D.235.已知随机变量21,N,且(0)()PPa,则19(0)xaxax的最小值为A.9B.8C.92D.66.已知,a b为非零不共线向量,设条
3、件:()Mbab;条件:N对一切xR,不等式|xabab恒成立,则M是N的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.将函数()sin(cossin)1(0)f xxxx的图象上所有的点,横坐标扩大为原来的 2 倍纵坐标保持不变得()yg x的图象,若()g x在,6 3 上单调递减,则的取值范围是A.(0,2B.3 15,24C.3 15,2 8D.15,288.已知函数2()ln2,()lnxxef xxexxg xxxx的最小值分别为,a b,则A.abB.abC.abD.,a b的大小关系不确定二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共
4、 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分。9.甲盒子中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙盒子中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子,分别以12,A A和3A表示由甲盒子取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙盒子中随机取出一球,以B表示由乙盒子取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是A.123,A A A是两两互斥的事件B.2()5P B C.事件B与事件1A相互独立D.1511P B A 10.已知数列 na的前n项和为11,1,23nnnnS aSSa,数列12n
5、nna a的前n项和为nT,则下列选项正确的是A.数列3na 不是等比数列B.12nT C.对于一切正整数n都有na与 3 互质D.数列 na中按从小到大的顺序选出能被 5 整除的项组成新的数列 nb,则5062022ba11.已知函数()sincos()f xaxx xR的图像关于直线6x对称,则下列结论正确的是A.33a B.()f x在,3 12上单调递减C.()f x的最大值为2 33D.把()f x的图象向左平移12个单位长度,得到的图象关于点3,04对称12.已知函数22()1 ln1f xxxm x,则下列结论正确的是A.当0m 时,曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程
6、为2yxB.()f x在定义域内为增函数的充要条件是1m C.当1m 时,()f x既存在极大值又存在极小值D.当1m 时,()f x恰有 3 个零点123,x x x,且1231x x x 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.已知6(1)(1)axx的展开式中3x的系数为-10,则实数a的值为_.14.已知平面向量(1,2),(2,)abm,且/ab,则|23|ab_.15.设()g x是定义在R上的不恒为零的函数,且满足(1)g x为偶函数,(2)g x为奇函数,则20231()kkg k_.16.用IM表示函数sinyx在闭区间I上的最大值,若正数a满足0,
7、2 2aaaMM,则a的值为_.四、解答題:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10 分)记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,已知cos(cos2 2sin)cos0CBBA.(1)求cos A的值;(2)若1bc,求a的取值范围.18.(12 分)已知数列 na的前n项和为nS,满足111,221nnnnaaSSa.(1)证明数列1na是等差数列,并求数列 na的通项公式;(2)若数列 nb满足21(21)nnnbnaa,求数列 nb的前n项和nT.19.(12 分)如图所示(图中数字为相应线段的长度),将两个三棱锥组合得到一个几何体ABCDE,且平面ABC 平面
8、BCD.(1)证明:平面ECD 平面BCD.(2)求直线AE与平面DBE所成角的正弦值.20.(12 分)甲、乙两人进行对抗赛,每场比赛均能分出胜负.已知本次比赛的主办方提供 8000 元奖金,并规定:若其中一人赢的场数先达到 4 场,则比赛终止,同时这个人获得全部奖金;若比赛意外终止时无人先赢 4 场,则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给甲、乙分配奖金.已知每场比赛甲赢的概率为(01)pp,乙赢的概率为1p,且每场比赛相互独立.(1)若在已进行的 5 场比赛中甲赢 2 场、乙赢 3 场,求比赛继续进行且乙赢得全部奖金的概率()f p;(2)若比赛进行了 5 场时比赛终止(含自然终止
9、与意外终止),则这 5 场比赛中甲、乙之间的比赛结果共有多少不同的情况?(3)若比赛进行了 5 场时比赛终止(含自然终止与意外终止),设12p,若主办方按规定颁发奖金,求甲获得奖金数X的分布列;21.(12 分)记以坐标原点为顶点、(1,0)F为焦点的拋物线为C,过点F的直线l与拋物线C交于,A B两点.(1)已知点M的坐标为(-2,0),求AMB最大时直线AB的倾斜角;(2)当l的斜率为12时,若平行l的直线m与C交于,M N两点,且AM与BN相交于点T,证明：点T在定直线上.22.(12 分)函数()sin,()(1)cos2xxf xex g xxxe.(1)求()f x的单调增区间;(
10、2)对120,0,22xx,使12f xg xm成立,求实数m的取值范围;(3)设2()()sin2,sinxh xf xnx nx 为正实数,讨论()h x在0,2的零点个数.湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 4 页）第页12022 年湖北省荆荆宜三校高三上学期 10 月联考高三数学答案一、一、选择题选择题12345678CCDBBCBA二、二、多项选择题多项选择题9101112ADBCDBCBC三、填空题三、填空题13.214.4 515.016.3948或四、解答题四、解答题17.解解：（1）因为cos(cos2 2sin)cos0CBBA，coscos()coscossinsinC
11、ABABAB，所以coscossinsincoscos2 2sincos0ABABABBA，即sinsin2 2sincos0ABBA.又0B，sin0B，0A，所以sin2 2cos0AA，A为锐角，22sin2 2cossincos1AAAA，所以29cos1A，1cos3A 5 分（2）由余弦定理知，222282cos()3abcbcAbcbc.因为22bcbc，所以2211()33abc，所以33a，当且仅当12bc时，等号成立8 分又1abc，所以a的取值范围为3,1310 分18.解解：（1）因为121nnnnaSSa，可得121nnnnaSSa，即121nnnaaa，可得1211
12、12nnnnaaaa，即1112nnaa，又由112a，可得112a，所以数列1na表示首项为2，公差为2的等差数列，所以12(1)22nnna，所以12nan6 分（2）由221111111111()22(21)1)4(1)4(211)nnnbnaannn nnnn ，则数列 nb的前 n 项和：111111(1 11)(1)()()42231nTnn 21145(1)414(1)4(1)nnnnnnnn，即2454(1)nnnTn12 分19.解解：（1）取DC的中点F，连接EF，BF.湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 4 页）第页2因为2DCECDEBDBC，所以EFDC，且3EFB
13、F.又6BE，所以222EFBFBE，则EFBF.因为DCBFF，,DC BF 平面BCD，所以EF 平面BCD，又EF 平面ECD，所以平面ECD 平面BCD5 分（2）取BC的中点G，连接AG，FG，因为13ABAC，所以AGBC.因为平面ABC 平面BCD且交线为BC，AG 平面ABC，所以AG 平面BCD.因为EF 平面BCD，所以EFAG，且2 3AG.过点E作EHFG交AG于点H，则1EH，3AH.以F为原点，FD，FB，FE所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz，则1,0,0D，0,0,3E，0,3,0B，13,2 322A，13,322AE，1,0,3
14、DE ，1,3,0DB .设平面BDE的法向量为,mx y z，则3030 xzxy ，令3x，得3,1,1m.315105c,2osm AEm AEmAE ，所以直线AE与平面DBE所成角的正弦值为151012 分20.解析解析：（1）设比赛继续进行Y场乙赢得全部奖金，则最后一场必然乙赢当1Y 时，乙以4:2贏，11P Yp；当2Y 时，乙以4:3贏，2(1)P Ypp；所以，乙赢得全部奖金的概率为 2(1)(1)(1)11P Apppppp 即 21.fpp 3 分（2）因为进行了 5 场比赛，所以甲、乙之间的输赢情况有以下四种情况：甲赢 4 场，乙嬴 1 场；甲赢 3 场，乙赢 2 场；
15、甲赢 2 场，乙赢 3 场；甲赢 1 场，乙赢 4 场5 场比赛不同的输赢情况有33214554CCCC种，即 28 种6 分（3）若甲赢 4 场，乙赢 1 场；甲获得全部奖金 8000 元；若甲赢 3 场，乙赢 2 场；当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为11132224，所以甲分得 6000 元奖金；湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 4 页）第页3若甲赢 2 场，乙赢 3 场；当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为111224，所以甲分得 2000 元奖金；甲赢 1 场，乙赢 4 场.甲没有获得奖金设甲可能获得的奖金为x元，则甲获得奖金的所有可能取值为 8000,6000,2000,0，
16、8 分3418000)287CP x（；3556000)2814CP x（；2552000)2814CP x（；1410)287CP x（甲获得奖金数x的分布列为：x8000600020000P175145141712 分21 解析解析：（1）设直线的方程为1122121,(,),(,)(0,0)xmyA x yB xyyy记,AMFBMF，则11221122tan,tan2323yyyyxmyxmy 则12212123()tantantantan()1 tantan(1)3()9yyAMBmy ym yy由题设得抛物线方程为24yx4分联立241yxxmy消去x得2440ymy1212044
17、yymy y，21241yym2212+1tan85mAMBm令2+1tm则212121tan3838ttAMBttt 由单调性得当1t 时，tanAMB最大为125，此时0m，直线AB的倾斜角为906分（2）设00(,),(1)T xyTMTA则由/ABMN得TNTB 000000()2(2)()MAMNABNByyyyyyyyyyyyyy又141822ABABABABAByykyyxxyy同理8MNyy0082(82)yy 又0018204yy 点T在定直线4y 上。12 分湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 4 页）第页422 解析解析：（1）()2sin()4xfxex，当kxk24
18、22，即)(432,42Zkkkx时，0)(xf，)(xf单调递增.综上，)(xf的递增区间是)(432,42Zkkkx3分（2）mxgxf)()(21，即)()(21xgmxf，设)()(xgmxt，则问题等价于2,0,)()(maxminxxtxf，由（1）可知，当2,0 x时，0)(xf，故)(xf在2,0递增，0)0()(min fxf，()(1)cos2xt xmxxe，xexxxxt2sin)1(cos)(，02cosxex，0sin)1(xx，当2,0 x，0)(xt，)(xt在2,0递增，22)2()(maxemtxt，故022em，22em，实数m的取值范围是2,(2e；7分
19、（3）)2,0(,2sin2)(xxnxexhx，xnexxhx2cos2)1(2)(，若10 n，则2(1)2,222xxencos x 0)(xh，则)(xh在(0,)2上递增，0)0()(hxh此时()h x无零点，9分若1n时，设xnexxkx2cos2)1(2)(，则xnexxkx2sin4)2(2)(，(0,)2(2)0,sin20()02xxxexk x 故)(xk在(0,)2上递增.022)0(nk，02)12(2)(22nek，故存在)2,0(0 x，使得0)(0 xk，故),0(0 xx时，0)(xk，即0)(xh，)(xh)递减，)2,(0 xx时，0)(xk，即0)(xh，)(xh递增，故),0(0 xx时，0)0()(hxh，当)2,(0 xx时，0)0()(0 hxh，0)2(2eh，此时由零点存在性定理及单调性得()h x存在唯一零点.综上，当10 n时，()h x没有零点；),1(n时，()h x有唯一零点12分