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1、|2014 年考研数学二真题与解析一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的可能取值范围是（ 0x)(lnx21)cos(x）（A） （B） （C） （ D）),(2),(1),(12),(210【详解】 ，是 阶无穷小， 是 阶无穷小，由题意可知x1)(ln 1x)cos(12所以 的可能取值范围是 ，应该选（B） ),(212下列曲线有渐近线的是（A） （B） （C ） （D）xysinxysin2 xy1sinxy12sin【详解】对于 ，可知 且 ，所以有斜渐近线1i1xlim0xxilm)(li y应该选（C）3设函数 具有二阶导数
2、， ，则在 上（ ）)(xf ffg)()(10,0（A）当 时， （B ）当 时，0)xf x)(xgf（C）当 时， （D）当 时，)(f()(f【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解 1】如果对曲线在区间 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断 显然,ba就是联接 两点的直线方程故当 时，曲线是xffxg)()(10 )(,(,10ff 0)(xf凹的，也就是 ，应该选（D ）g【详解 2】如果对曲线在区间 上凹凸的定义不熟悉的话，可令,ba|，则 ，且 ，故当xffxgxfF)()()() 10 01)(F)(“)(xf时，曲线是凹的，从而 ，即 ，也就是0 0F0g
3、xf，应该选（D）)(f4曲线 上对应于 的点处的曲率半径是（ ）1472tyx,1t（） （） ( ） （）500105【详解】 曲线在点 处的曲率公式 ，曲率半径 )(,xf 32)(“yKKR1本题中 ，所以 ， ，42tdytx, ttdxy12432tdx对应于 的点处 ，所以 ，曲率半径 1t 13“, 1032)(“yK10KR应该选（C）5设函数 ，若 ，则 （ ）xfarctn)()()(xf20xlim（） （） （） （） 132131【详解】注意（1） ， （2） 1xf)( )(arctn, 30xox时由于 所以可知 ， ，)()(xfff)()(21 22)(ar
4、ctn31302020 xoxarx )(lim)(ctnlilim6设 在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足 及),yu 02yxu，则（ ） 02x（A） 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上； ),(yu|（B） 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部；),(yxu（C） 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；（D） 的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上),(y【详解】 在平面有界闭区域 D 上连续，所以 在 D 内必然有最大值和最小值并且如果xu ),(yxu在内部存在驻点 ，也就是 ，在这个
5、点处 ，),(0y0yxu xyuByuCA2222,由条件，显然 ，显然 不是极值点，当然也不是最值点，所以 的最大值点和2BAC),( ),(x最小值点必定都在区域 D 的边界上所以应该选（A） 7行列式 等于dcba0（A） （B） （C） （D）2)(2)(bcad22cbda22cbda【详解】 2000 )(bcadcbdacbdcadcba 应该选（B） 8设 是三维向量，则对任意的常数 ，向量 ， 线性无关是向量321, lk,31k32l线性无关的,（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件【详解】若向量 线性无关，则321,（
6、 ， ） ，对任意的常数 ，矩阵 的秩都等31k32l Klk),(),( 3213210 lk,K于 2，所以向量 ， 一定线性无关3132l|而当 时，对任意的常数 ，向量 ， 线性无关，但010321, lk,31k32l线性相关；故选择（A） 321,二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9 125dx【详解】 11 122 8324214 )(|arctn)(xxd10设 为周期为 4 的可导奇函数，且 ，则 )(xf 0,),(f 7f【详解】当 时， ，由 可知 ，即20,Cxdf122)()( )(0C； 为周期为 4 奇函数，故
7、 f2)( 17)(ff11设 是由方程 确定的函数，则 ),(yxz22zyxeyz 21,|dz【详解】设 ， ，当4722zzFyz),( 112yzzyzyx eFeF,时， ， ， ，所以 21yx01zxF2zy 21,|ddx12曲线 的极坐标方程为 ，则 在点 处的切线方程为 LrL,),(r【详解】先把曲线方程化为参数方程 ，于是在 处， ，sini)(coryx220yx,，则 在点 处的切线方程为 ，即22|sincoi|dxyL2, )(y.13一根长为 1 的细棒位于 轴的区间 上，若其线密度 ，则该细棒的质心坐标x10, 12x)(x|【详解】质心坐标 201351
8、210310 dxxdx)()(14设二次型 的负惯性指数是 1，则 的取值范围是 3121321 4af,( a【详解】由配方法可知 232323112321 4xaxaxxf )()()(),( 由于负惯性指数为 1，故必须要求 ，所以 的取值范围是 042,三、解答题15 （本题满分 10 分）求极限 )ln(limxdtetxt121【分析】 先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限【详解】 2121 12 21221 xox xedtetdtetx xxtxt )(lim )(lim)(limln)(li16 （本题满分 10 分）已知函数 满足微分方程 ，且 ，求
9、 的极大值和极小值)(yy20)()(xy【详解】解：把方程化为标准形式得到 ，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积221xdy)(分可得方程通解为： ，由 得 ，Cx3310)(y32C即 2313xy令 ，得 ，且可知 ；02d132221)()(yxxdy|当 时，可解得 ， ，函数取得极大值 ；1x1y0“1y当 时，可解得 ， ，函数取得极小值 2017 （本题满分 10 分）设平面区域 计算0412yxyyxD.,|),( Ddxyx)sin(2【详解】由对称性可得 432112 212102 222 DDDdrdxy dxyyxxyxsin)sin( )si()()i(i
10、18 （本题满分 10 分）设函数 具有二阶连续导数， 满足 若)(uf )cos(yefzx xxeyzyxz22)cos(，求 的表达式00,)(uf【详解】设 ，则 ，yeuxcos)cos()yefzx;yeufufz xxyx cos)(“,)(cs 22；fyefyzeufy xxx )(sin)(,sin)( 22 xxxeyfeufz222 )cos(“)(由条件 ，xxeyzyxz224)cos(可知 uff)()(“4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为：其中 为任意常数uueCf221)( 21,对应非齐次方程特解可求得为 y4*|故非齐次方程通解为 u
11、eCufu41221)(将初始条件 代入，可得 00)(,)(ff 6121,所以 的表达式为 )(uf ueufu46122)(19 （本题满分 10 分）设函数 在区间 上连续，且 单调增加， ，证明：)(,xgfba.)(xf 10)(xg（1） ；xdta,0（2） batg dgffb )()()(【详解】（1）证明：因为 ，所以 10)(x baxdttxaaa ,)(10即 badtgxa,)(0（2）令 ，xadtgxa ufugfF)()(则可知 ，且 ，)( xadtgf )(因为 且 单调增加，,xdtxa0)(所以 从而)()(xfafgf ， 0 )()()( xfg
12、dtgxFa ba,也是 在 单调增加，则 ，即得到ba, 0)(Fbbadtga dxgfxf)(20 （本题满分 11 分）设函数 ，定义函数列10,)(xf， ，)(f1 )(xf12 ),()(,xffnn1设 是曲线 ，直线 所围图形的面积求极限 nS)(xfyn01y, Slim【详解】|， ，xxffxf 21112 )()(,)( ,)(xf313利用数学归纳法可得 .)(nfn，)ln()()( dxdxdxfSn 1110010nnn)l(limli21 （本题满分 11 分）已知函数 满足 ，且 ，求曲线 所成的),(yxf)(12yf yyfln)()(),210),(
13、yxf图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积1【详解】由于函数 满足 ，所以 ，其中 为待定的连续函),(yxf)(12yf )(),(xCyxf2)(数又因为 ，从而可知 ，fln)()(),2 ln)()(1得到 xyxCyx l( 212令 ，可得 且当 时， 0),yf l)()(121,曲线 所成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积为( y )ln(l)() 4522112 dxdxyV22 （本题满分 11 分）设 ，E 为三阶单位矩阵30214A（1） 求方程组 的一个基础解系；X（2） 求满足 的所有矩阵B【详解】 （1）对系数矩阵 A 进行初等行变换如下：|， 310231042
14、1340213021A得到方程组 同解方程组X4321x得到 的一个基础解系 0AX1（2）显然 B 矩阵是一个 矩阵，设3444332211zyxzB对矩阵 进行进行初等行变换如下：)(AE 14310261431002 041103211043)(由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为， ， ，13204321cx 1320464321cy 13204321czz即满足 的所有矩阵为EAB 321 32114362ccB其中 为任意常数321c,23 （本题满分 11 分）|证明 阶矩阵 与 相似n1 n021 【详解】证明：设 ， A1 Bn021 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：，111nAE)( 所以 A 的 个特征值为 ；n0321nn,而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化且 ；0A1021nBE)( 所以 B 的 个特征值也为 ；n321nn,