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1、 等概率整群抽样等概率整群抽样 一一、概概述述及及符符号号说说明明二二、单单阶阶段段抽抽样样三三、两两阶阶段段抽抽样样四四、抽抽样样设设计计五五、系系统统抽抽样样六六、基基于于模模型型推推理理调查目的：调查含调查目的：调查含1000010000家住户的社区中住户拥有家住户的社区中住户拥有自行车数目；自行车数目；策略一：样本容量为策略一：样本容量为400400个住户的简洁随机抽样；个住户的简洁随机抽样；策略二：整群抽样。整群抽样步骤：策略二：整群抽样。整群抽样步骤：1 1、将社区分为、将社区分为500500个组个组(每个组每个组2020家住户家住户)从从500500个个组中随机抽取组中随机抽取2
2、020个组个组(组组:初级抽样单元初级抽样单元PSU)PSU)2 2、从随机抽取、从随机抽取2020组中普查组内的每一家住户组中普查组内的每一家住户(住住户户:二级抽样单元二级抽样单元SSU)SSU)留意：留意：1 1、抽样单元、抽样单元(PSU)(PSU)不同于观测单元不同于观测单元(SSU);(SSU);2 2、同容量的整群抽样观测单元供应的信息、同容量的整群抽样观测单元供应的信息少于少于SRS;SRS;3 3、花费而言，整群抽样更物超所值、花费而言，整群抽样更物超所值;4 4、分群的原则是：群内差异尽可能大，群、分群的原则是：群内差异尽可能大，群间差异尽可能小。间差异尽可能小。p 社区里
3、一些组的住户主要是由家庭构成，他们拥有更多的自行车；而社区里另外一些组的居民主要是退休人员，他们的自行车较少。同一组里的20家住户不如随机选择的20户更能反映出社区的多样性。因此这种状况下，整群抽样比同样规模的简洁随机抽样的每次观测所获得的信息可能更少。访问组中的20家住户比随机选择20家住户更节约经费，也更简洁，所以整群抽样的单位美元花费可能产生更多的信息。同一群中元素比整个总体中SRS选择的元素更趋于同质性同一品种的鱼在同一湖里更简洁具有相同的汞浓度；同一疗养院的居民简洁对护理质量具有相同看法。由于同质性存在，在一个群里调查全部成员，在确定程度上会造成信息重复，将导致对总体的估计不足，精度
4、下降。为了使精度提高，分群的原则是：群内差异尽可能大，群间差异尽可能小。（一）（一）定义（定义（WhatWhat）将总体划分为若干群将总体划分为若干群(psus)(psus)，然后以群为抽样，然后以群为抽样单元，从总体中随机抽取一部分群，对被选单元，从总体中随机抽取一部分群，对被选群内的全部或部分单元群内的全部或部分单元(ssus)(ssus)进行调查的一进行调查的一种抽样技术。种抽样技术。一、概述及符号说明一、概述及符号说明（二）特点（二）特点（Why）优点：优点：1 1、抽样框编制得以简化。、抽样框编制得以简化。2 2、实施调查便利、节约费用。、实施调查便利、节约费用。不足：不足：抽样误差
5、较大。抽样误差较大。（三）整群抽样与分层抽样（三）整群抽样与分层抽样9101、依据行政或者地域；、依据行政或者地域；2、调查人员人为确定。、调查人员人为确定。1、与总体各群规模相等；、与总体各群规模相等；2、与总体各群规模不等。、与总体各群规模不等。（四）群的划分（四）群的划分（五）群的规模（五）群的规模11（六）符号说明（六）符号说明 psus：初级抽样单元：初级抽样单元 ssus：次级抽样单元：次级抽样单元 ：含有：含有N个个psu的总体的总体 S：N个个psu的总体中入样的的总体中入样的psus ：psu中代表第中代表第i个入样的个入样的ssus ：第：第i个个psu中的第中的第j个元素
6、值个元素值12 总体总值总体总值 psu psu间的方差间的方差(总值总值)psu-总体指标总体指标 总体中总体中psuspsus的个数的个数 总体中第总体中第i i个个psupsu中中ssusssus的个数的个数 总体总体ssusssus的个数的个数 第第i i个个psupsu的总值的总值 13ssu-总体指标总体指标 总体均值总体均值 第第i i个个psupsu的总体均值的总体均值 总体方差总体方差 总体第总体第i i个个psupsu内内ssussu间方差间方差 样本样本指标指标样本中样本中psuspsus的个数的个数样本中第样本中第i i个个psupsu中中ssusssus的个数的个数
7、第第i i个个psupsu中的样本均值中的样本均值 第第i i个个psupsu总值的估计量总值的估计量 总体总值的无偏估计量总体总值的无偏估计量 样本样本psupsu间的方差间的方差 第第i i个个psupsu内内ssussu间的样本方差间的样本方差 第第i i个个psupsu中第中第j j个个ssussu样本权重样本权重15 单单阶阶段段整整群群抽抽样样只只能能选选择择群群中中的的全全部部元元素素入入样样，或或者者群群中中的的全全部部元元素素均均不不入入样样。跟跟二二阶阶段段抽抽样样相相比比，抽抽取取SSUSSU的的成成本本相相对对于于抽抽取取PSUPSU的的成成本本可可忽忽视视不不计计，通
8、通常常会会将将选选中中群群的的全部全部SSUSSU全部调查。全部调查。在在N N个个psupsu的的总总体体，第第i i个个psupsu中中包包含含 个个ssusssus。在在单单阶阶段段整整群群抽抽样样中中，被被选选中中的的群群psuspsus中全部中全部ssusssus全都入样，即全都入样，即 。二、单阶段抽样二、单阶段抽样16（一）群规模相等时的估计（一）群规模相等时的估计 总总体体N N个个群群中中，每每个个群群中中的的元元素素数数量量都都相相等等，即即有有 ，则则称称群群规规模模相相等等。将将群群的的总总值值看看成成是是观观测测值值，可可得得到到一一个个含含有有n n个个观观测测值值
9、的的简简洁洁随随机机样样本本 ，此此时时全全体体群群群群总总值值的的均均值值 。运运用用简简洁洁随随机机抽抽样样样样本本估估计计总总体体的的方方法法，求求出出总总体体的的总总值值。在在单单阶阶段段整整群群抽抽样样中中没没有有引引入入新新的的内内容容,我我们们利利用用了了简简洁洁随随机机抽抽样样的的结结果果，从从N N个个单单位位的的总总体体中中抽抽取取n n个个单单位位的的简简洁洁随随机机样样本本。这这里里我我们们把把群总值看成是简洁随机抽样中的观测值。群总值看成是简洁随机抽样中的观测值。17 在住户调查中估计两口之家的收入，则个体观测在住户调查中估计两口之家的收入，则个体观测值值 为家庭为家
10、庭i i中第中第j j个人的收入，而个人的收入，而 代表第代表第i i个家个家庭的总收入庭的总收入(是已知的，因为入样家庭的两个成员是已知的，因为入样家庭的两个成员均已被调查均已被调查)，代表总体中每个家庭的平均收入，代表总体中每个家庭的平均收入，表示总体中每个人的平均收入。表示总体中每个人的平均收入。求总收入。求总收入。18P170P170 方差为：方差为：(5.2)(5.2)标准误为：标准误为：(5.3)(5.3)其其中中 和和 分分别别代代表表总总体体psupsu间间的的方方差差和样本和样本psupsu间的方差。间的方差。1 1、估计总收入、估计总收入t t(总体总值总体总值)：(5.1
11、)19 （5.4）（5.5.5 5）（5.5.6 6）2 2、估计、估计总体中每个人的平均收入总体中每个人的平均收入 20 P171例5.2 一个学生想估计他所在宿舍楼里同学的绩点(GPA)的平均值。没有列出宿舍楼全部学生的名单再进行随机抽样,他发觉宿舍区共有100间套房,每间有4名学生；他从中随机抽取了5间套房,询问了其中每个人的GPA。PSU就是套房，N=100，n=5，M=4。总体总值估计就是整个宿舍楼全部学生的绩点。21总体总值估计总体总值估计(估计全部学生的绩点估计全部学生的绩点):):总体均值估计(估计全部学生的平均绩点):=1130.4/400=2.826 样本方差样本方差:=2
12、.256:=2.256 总体均值估计的标准误总体均值估计的标准误:=0.164 在这里也可以运用权重在这里也可以运用权重 进行估计，其中：进行估计，其中：=频率的倒数频率的倒数=1/P(i)*P(j|i)=1/P(i)*P(j|i)则可以的总体总值与均值的估计值分别为：则可以的总体总值与均值的估计值分别为：23（二）群规模相等时的理论二）群规模相等时的理论 表表5.1 5.1 整群抽样的总体整群抽样的总体ANOVA(ANOVA(方差分析方差分析)表表 由上式可以看出，整群抽样总值的总体方差由上式可以看出，整群抽样总值的总体方差完全依靠群间均方。完全依靠群间均方。24将上式带入将上式带入(5.2
13、)(5.2)可得，可得，1 1阶整群抽样中，群规模相等时，总体阶整群抽样中，群规模相等时，总体总值总值t t的无偏估计量的变异完全依靠于群间变异。的无偏估计量的变异完全依靠于群间变异。由于由于MSBMSB度量的是群之间的变更程度，当度量的是群之间的变更程度，当MSBMSB相相对较大说明群间差异大对较大说明群间差异大(不同群中的元素比相同群不同群中的元素比相同群中的元素变更程度大中的元素变更程度大)。假如。假如MSB/MSWMSB/MSW较大，则整群较大，则整群抽样就会损失精度。抽样就会损失精度。（5.7）25 对对比比整整群群抽抽样样与与SRSSRS，我我们们发发觉觉：假假如如 ，整群抽样比简
14、洁随机抽样效率要低。，整群抽样比简洁随机抽样效率要低。上式为上式为n n个群个群(群中含群中含M M个元素个元素)的单阶段整群抽的单阶段整群抽样的总体总值无偏估计量的方差，下式为样本容样的总体总值无偏估计量的方差，下式为样本容量量nMnM的简洁随机抽样总体总值的估计量的方差的简洁随机抽样总体总值的估计量的方差26 对同一群内元素之间相像性的测量，它供应了一种对群内同质性的测度方法。ICC是皮尔逊相关系数的扩展，利用5.1的总体方差分析表知 因为 ，从(5.8)式得 假如群内元素完全相同，则SSW=0，于是ICC=1。(5.8)群内相关系数（群内相关系数（ICCICC）27 式子式子(5.8)(
15、5.8)也可写成也可写成 实行整群抽样，我们将失去多少精度？实行整群抽样，我们将失去多少精度？假假如如N N足足够够大大，则则NM-1M(N-1)NM-1M(N-1)，于于是是(5.10)(5.10)式式中中方方差差之之比比近近似似为为1+(M-1)ICC1+(M-1)ICC，所所以以，简简洁洁随随机机抽抽样样中中1 1个个观观测测单单元元与与单单阶阶段段整整群群抽抽样样1+(M-1)ICC1+(M-1)ICC个个观观测单元具有近似相同量的信息。测单元具有近似相同量的信息。(5.10)(5.9)28 简洁随机抽样中简洁随机抽样中1 1个观测单元与单阶段整群抽样个观测单元与单阶段整群抽样1+(M
16、-1)ICC1+(M-1)ICC个观测单元具有近似相同量的信息。个观测单元具有近似相同量的信息。当当M=5,ICC=0.5,M=5,ICC=0.5,得到得到1+(M-1)ICC=3,1+(M-1)ICC=3,也就是我也就是我们须要利用整群样本测量们须要利用整群样本测量300300个元素以获得含个元素以获得含100100个个元素的简洁随机样本相同的精度。元素的简洁随机样本相同的精度。2930 ICC ICC何时取正、取负？何时取正、取负？1.1.ICCICC为群内元素的相像性供应了度量。假如群内元素为群内元素的相像性供应了度量。假如群内元素相像，相像，ICCICC为正，同时为正，同时SSWSSW
17、将相对于将相对于SSTOSSTO较小且较小且ICCICC相对较大。相对较大。当当ICCICC为正时，整群抽样与简洁随机抽样效率低。为正时，整群抽样与简洁随机抽样效率低。2.2.假如总体中的群是自然产生的，则假如总体中的群是自然产生的，则ICCICC通常为正。同一通常为正。同一群内的元素处于相同的环境群内的元素处于相同的环境具有同等水平的农药量、同具有同等水平的农药量、同一程度的发病率、同样的政治观点。一程度的发病率、同样的政治观点。3.3.3.3.假如群内的元素比简洁随机抽样的元素更分散，则假如群内的元素比简洁随机抽样的元素更分散，则ICCICC是负值。这就使得群均值近似相等是负值。这就使得群
18、均值近似相等因为因为SSTO=SSW+SSBSSTO=SSW+SSB，若，若SSTOSSTO确定且确定且SSWSSW很大，则很大，则SSBSSB必定很小。假必定很小。假如如ICC0ICC 系统抽样系统抽样SRSSRS。周期性模式样本框：当总体以循环或周期性次序周期性模式样本框：当总体以循环或周期性次序排列，而抽样的间隔恰好是周期的倍数时，系统抽样排列，而抽样的间隔恰好是周期的倍数时，系统抽样最危急。假定总体取值最危急。假定总体取值(按次序排列为按次序排列为)1 2 3 1 2 3)1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3，抽样间隔为，抽样间
19、隔为3 3，则系统样本中全，则系统样本中全部元素都是相同的。得到的方差为部元素都是相同的。得到的方差为0 0，而真实的方差为，而真实的方差为2/32/3。当探讨人员想要获得总体的代表性样本、而又没当探讨人员想要获得总体的代表性样本、而又没有任何先验的资源来构造抽样框时，往往会接受系统有任何先验的资源来构造抽样框时，往往会接受系统抽样的方法。在接受系统抽样的很多情形中，系统样抽样的方法。在接受系统抽样的很多情形中，系统样本都可以作为本都可以作为SRSSRS样本加以处理。样本加以处理。5.6 5.6 整群抽样中基于模型的推理整群抽样中基于模型的推理 随机效果的方差模型为整群抽样供应了一个基本随机效
20、果的方差模型为整群抽样供应了一个基本结构：结构：其中其中 是听从均值为是听从均值为0，方差为，方差为 的分布。的分布。是听是听从均值为从均值为0，方差为，方差为 的分布。且全部的的分布。且全部的 和和 都都是相互独立的。是相互独立的。(5.34)(5.34)可知模型可知模型 意味着一个群的总期望值随着群内元素数目意味着一个群的总期望值随着群内元素数目的增加而线性增加。的增加而线性增加。模型模型 的群内相关系数被定义为的群内相关系数被定义为 让让 ，可得，可得 简洁看出简洁看出 模型中模型中 的取值总是正值的取值总是正值,与与ICCICC可以取负值不同可以取负值不同,所以用模型所以用模型M1M1
21、描述数据描述数据,相同样本下整群估计必定比简洁抽样效率低。相同样本下整群估计必定比简洁抽样效率低。(5.9)(5.7)(5.7)对对模型模型M1M1做线性估计量为做线性估计量为:其中其中 为常数为常数,总体总值为总体总值为:则偏差为则偏差为用模型进行估计用模型进行估计由上式可知当由上式可知当 时时,是无偏估计量是无偏估计量,这时方差为这时方差为:(5.36):(5.36)基于设计的估计量情形：基于设计的估计量情形：代表无偏估计量的随机变量：代表无偏估计量的随机变量：由抽样权数可知：由抽样权数可知：，是抽样的是抽样的权重，有：权重，有：所以可知基于模型所以可知基于模型M1M1的估计偏差为的估计偏
22、差为:对于比估计系数为对于比估计系数为 ，其，其估计值为：估计值为：则有：则有：所以比估计值是基于模型所以比估计值是基于模型M1M1的无偏估计，假如的无偏估计，假如对随意群对随意群i i有有 和和 ，则偏差为，则偏差为 总结：整群抽样一般用于大型调查，但是通总结：整群抽样一般用于大型调查，但是通常由整群样本得到的估计结果的方差都大于同容常由整群样本得到的估计结果的方差都大于同容量的量的SRSSRS的方差，但是整群抽样的单位费用支出的方差，但是整群抽样的单位费用支出可以供应更高的精度。可以供应更高的精度。本章关于等概率整群抽样的全部公式都是规本章关于等概率整群抽样的全部公式都是规模不相等的模不相等的2 2阶整群抽样一般结果的特殊公式情阶整群抽样一般结果的特殊公式情形。形。(5.21)(5.26)(5.28）（5.29）其中其中(5.18)对于一阶整群抽样，对于一阶整群抽样，5.215.21和和5.285.28的其次项为的其次项为0 0。