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1、概率的基本公式概率的基本公式概率具有概率具有有限可加性有限可加性有限可加性有限可加性，即若事件，即若事件A1，A2，An两两互两两互不相容，即不相容，即 ,则必有则必有P(A1 A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An)定理1 如果事件A与事件B互不相容,即则定理1可以推广到有限个事件的情况。例1 有4人玩扑克游戏,甲发现自己多拿了一张牌,手中有红桃4张,黑桃3张,方块2张,草花5张,共14张。而乙少拿一张,于是从甲的14张牌中任意抽取一张,求抽到黑桃或方块的概率。解 设则且故有例2 袋中有7枚棋子,其中白色有4枚,黑色3枚,从中任取3枚,求能取到白色棋子的概率。解 取3枚棋子,能取到白
2、色棋子,可能取到1枚,或2枚,或3枚白子。故设则且两两互不相容,故有推论推论2 互补性互补性互补性互补性 对任一事件对任一事件A，有，有证明证明:因为因为且且所以所以对于例2,由于事件则有推论3 对任意事件A、B,则定理定理定理定理2 2 加法公式加法公式加法公式加法公式 对任意两个事件对任意两个事件A，B，有，有P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)例3 某种产品的生产需经过甲、乙两道工序,若某道工序机器出故障,则产品停止生产。已知甲、乙工序机器的故障率分别为0.3和0.2,两道工序同时发生故障的概率为0.15,求产品停止生产的概率。解 设事件则已知故有例4 小李与老王通电话,老王处有
3、甲、乙两部电话,甲机接通的概率是0.7,乙机接通的概率是0.4,至少有一个打不通的概率是0.65,求小李与老王能通话的概率。解 设事件则且已知因此由加法定理得 例例5 5 某人外出旅游两天，据天气预报，第一天降水概率为0.6，第二天为0.3，两天都降水的概率为0.1，试求：(1)“至少有一天下雨”的概率P(B)，(2)“两天都不下雨”的概率P(C)，(3)“至少有一天不下雨”的概率P(D)。二、概率的乘法公式已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为在事件B发生的发生的条件下事件A发生发生的条件概率，简称为A对B的条件概率，记作P(A|B)。1.条件概率设某家庭有两个孩子,假定男、女出生率相
4、等,考虑两个孩子的性别,那么样本空间设事件则如果已经知道该家庭有男孩,考虑该家庭是否有女孩时,则只要考虑3个样本点其中,设此时该家庭有女孩的概率为在以上分析中有三者之间存在关系式定义 设A、B是两个随机事件，P(B)0，则称为在事件B发生的条件下事件A的条件概率。条件概率也满足概率的基本性质n条件概率的一般计算方法：n(1)根据A发生以后的情况直接计算A发生的条件下，B发生的条件概率。“缩减样本空间”n(2)先计算P(A)，P(AB)，再用公式例6 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧201
5、0设A-从盒中随机取到一只红球。B-从盒中随机取到一只新球。例7 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为“至少有一张红桃”，B为“恰有2张红桃”，C为“恰有5张方块”，求条件概率P(B|A)，P(B|C)解 例8 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。解 设A表示事件“活到20岁以上”，B表示事件“活到25岁以上”，显然2.概率的乘法公式定理3 乘法公式设A、B为两个随机事件，当P(A)0时，则有 P(AB)P(A)P(B|A)同理，当P(B)0时，则有 P(AB)P(B)P(A|B)例9 甲、乙两人参加面试抽签，
6、每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题中有4个难题签，按甲、乙次序抽签，试求甲抽到难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽到难题签的概率。解 设A、B分别表示甲、乙抽到难题签的事件 例10 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球2次,试求第1次取得白球、第2次取得红球的概率。例11 已知100件产品中有5件次品,从中连续抽取两次,每次取一件,求第二次才取到次品的概率。(1)不放回抽取;(2)有放回抽取。解 设事件则事件(1)不放回取样则(2)有放回抽样例12 已知5%的男性和0.25%的女性是色盲,现任选一人,设选到男性或女性的可能性相同,求选到的人是色盲的概率。解 设事件则设事件则而所以与互不相容。已知得