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1、1.3 1.3 简洁几何体的表面积和体积简洁几何体的表面积和体积 1 1、表面积：几何体表面的面积、表面积：几何体表面的面积 2 2、体积：几何体所占空间的大小。、体积：几何体所占空间的大小。回忆复习有关概念回忆复习有关概念1、直棱柱：、直棱柱：2、正棱柱：、正棱柱：3、正棱锥：、正棱锥：4、正棱台：、正棱台：侧棱和底面侧棱和底面垂直垂直的棱柱叫直棱柱的棱柱叫直棱柱底面是正多边形的底面是正多边形的直直棱柱叫正棱柱棱柱叫正棱柱底面是正多边形，底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心顶点在底面的射影是底面中心的棱锥的棱锥正棱锥正棱锥被平行于底面的平面所截，被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的
2、部分叫正棱台截面和底面之间的部分叫正棱台作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出斜高斜高COBAPD斜高的概念 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，h它们的侧面绽开图还是平面图形，它们的侧面绽开图还是平面图形，计算它们的计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和之和棱柱的侧面绽开图是什么？如何计算它的表面积？棱柱的侧面绽开图是什么？如何计算它的表面积？h正棱柱的侧面绽开图正棱柱的侧面绽开图把直三棱柱侧面沿一条侧棱绽开，得到什么图形？侧面积怎
3、么求？棱锥的侧面绽开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的侧面绽开图是什么？如何计算它的表面积？正三棱锥的侧面绽开图正三棱锥的侧面绽开图把正三棱锥侧面沿一条侧棱绽开，得到什么图形？侧面积怎么求？侧面展开正五棱锥的侧面绽开图正五棱锥的侧面绽开图把正三棱台侧面沿一条侧棱绽开，得到什么图形？侧面积怎么求？（类比梯形的面积）侧面展开hh正四棱台的侧面绽开图正四棱台的侧面绽开图棱台的侧面绽开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的侧面绽开图是什么？如何计算它的表面积？例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 _;答：60例2：正四棱锥底面边长为6,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱
4、锥和一个棱台，求棱台的侧面积例3：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.分析：关键是求出斜高，留意图中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E思索：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思索：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 绽开，分别得到什么图形绽开，分别得到什么图形?绽开的图形与原图绽开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？宽宽长方形长方形圆柱的侧面绽开图是矩形圆柱的侧面绽开图是矩形O思索：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思索：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 绽开，分别得到什么图形绽开，分别得到什么图形?绽开的图形
5、与原图绽开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？扇形扇形圆锥的侧面绽开图是扇形圆锥的侧面绽开图是扇形O思索：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思索：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 绽开，分别得到什么图形绽开，分别得到什么图形?绽开的图形与原图绽开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？扇环扇环扇环扇环OO侧侧 参照圆柱和圆锥的侧面绽开图，试想象圆台的参照圆柱和圆锥的侧面绽开图，试想象圆台的侧面绽开图是什么侧面绽开图是什么 OO圆台的侧面绽开图是扇环圆台的侧面绽开图是扇环OO圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？Orr上底扩
6、大上底扩大Or0上底缩小上底缩小例4 圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为 ，求其侧面绽开图扇环所对的圆心角答：1800例5：圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面绽开图的扇环的圆心角是1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留）小结：1、弄清晰柱、锥、台的侧面绽开图的形态是关键；2、对应的面积公式C=0C=CS圆柱侧=2rlS圆锥侧=rlS圆台侧=（r1+r2)lr1=0r1=r2几何体占有空间部分的大小叫做它的体积几何体占有空间部分的大小叫做它的体积一、体积的概念与公理一、体积的概念与公理:公理公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。、长方体的体积等于它的长、宽、高
7、的积。V长方体长方体=abc推论推论1、长方体的体积等于它的底面积、长方体的体积等于它的底面积s和高和高h的积。的积。V长方体长方体=sh推论推论2、正方体的体积等于它的棱长、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。的立方。V正方体正方体=a3定理定理1：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积的底面积 s 和高和高 h 的积。的积。V柱体柱体=sh二：柱体的体积二：柱体的体积推论推论：底面半径为底面半径为r，高为高为h圆柱的体积是圆柱的体积是V圆柱圆柱=r2h3.13.1锥体（棱锥、圆锥）的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积 （底面积（底面积S，高高h）留意：三棱锥的顶点和
8、底面可以依据须要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离问题问题:锥体锥体(棱锥、圆锥）棱锥、圆锥）的体积的体积定理假如一个锥体（棱锥、圆锥）的底面定理假如一个锥体（棱锥、圆锥）的底面 积是，高是，那么它的体积是：积是，高是，那么它的体积是：推论：假如圆锥的底面半径是，高是，推论：假如圆锥的底面半径是，高是，那么它的体积是：那么它的体积是：hSS锥体锥体 圆锥圆锥 Shss/ss/hx四四.台体的体积台体的体积V V台体台体=上下底面积分别是上下底面积分别是s/,s,高是高是h，则，则推论：假如圆台的上推论：假如圆台的上,下底面半径是下底面半径是r1.r2,r1.r2,高高
9、是，那么它的体积是：是，那么它的体积是：圆台圆台 h五五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高S分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小例从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？球的表面积和体积球的表面积和体积:球的表面积球的表面积 球的体积球的体积:例例3.3.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D
10、D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个它的各个顶点都在球顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：变题变题1.1.假如球假如球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=
11、。变题变题2.2.假如球假如球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。关键关键：找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系例例5、有三个球、有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一一球切于正方体的各侧棱球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的一球过正方体的各顶点各顶点,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比.作轴截面作轴截面OABC例例4已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体，求球的体积，表面积积
12、，表面积解：如解：如图图，设设球球O半径半径为为R，截面截面 O的半径的半径为为r，题型一题型一 几何体的绽开与折叠几何体的绽开与折叠 有一根长为有一根长为3 cm3 cm，底面半径为，底面半径为1 cm1 cm的的 圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2 2圈，并圈，并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少？则铁丝的最短长度为多少？把圆柱沿这条母线绽开，将问题转把圆柱沿这条母线绽开，将问题转 化为平面上两点间的最短距离化为平面上两点间的最短距离.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 把圆柱侧
13、面及缠绕其上把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝绽开，在平面上得到的铁丝绽开，在平面上得到矩形矩形ABCDABCD（如图所示），（如图所示），由题意知由题意知BC=3 cmBC=3 cm，AB=4 cmAB=4 cm，点，点A A与点与点C C分别是铁丝的起、止位分别是铁丝的起、止位置，故线段置，故线段ACAC的长度即为铁丝的最短长度的长度即为铁丝的最短长度.故铁丝的最短长度为故铁丝的最短长度为5 cm.5 cm.题型二题型二 旋转体的表面积及其体积旋转体的表面积及其体积 如图所示如图所示,半径为半径为R R的半圆内的的半圆内的 阴影部分以直径阴影部分以直径ABAB所在直线为轴所在直线为轴,旋旋 转一周
14、得到一几何体转一周得到一几何体,求该几何体的求该几何体的 表面积表面积(其中其中BAC=30)BAC=30)及其体积及其体积.先分析阴影部分旋转后形成几何体的先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形态形态,再求表面积再求表面积.解解 如图所示如图所示,过过C C作作COCO1 1ABAB于于O O1 1,在半圆中可得在半圆中可得BCABCA=90,=90,BACBAC=30,=30,ABAB=2=2R R,ACAC=,BCBC=R R,S S球球=4=4R R2 2,解决这类题的关键是弄清晰旋转后所解决这类题的关键是弄清晰旋转后所形成的图形的形态，再将图形进行合理的分割，形成的图形的形态，再将图形
15、进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算然后利用有关公式进行计算.知能迁移知能迁移2 2 已知球的半径为已知球的半径为R R，在球内作一个内，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解解 如图为轴截面如图为轴截面.设圆柱的高为设圆柱的高为h h，底面半径为，底面半径为r r，侧面积为侧面积为S S，则，则题型三题型三 多面体的表面积及其体积多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为一个正三棱锥的底面边长为6 6，侧棱长，侧棱长 为为 ，求这个三棱锥的体积，求这个三棱锥的体积.本题为求棱锥的体积问题本题为求棱锥的体积问题.已知底面已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再依据体积公式求出其体积和高，再依据体积公式求出其体积.解解 如图所示，如图所示，正三棱锥正三棱锥SABC.SABC.设设H H为正为正ABCABC的中心，的中心，连接连接SHSH，则则SHSH的长即为该正三棱锥的高的长即为该正三棱锥的高.连接连接AHAH并延长交并延长交BCBC于于E E，则则E E为为BCBC的中点，且的中点，且AHAHBCBC.ABCABC是边长为是边长为6 6的正三角形，的正三角形，