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1、机械优化设计机械优化设计学习参考书学习参考书学习参考书学习参考书学习参考书学习参考书1 1 1 1 1 1 孙靖民孙靖民孙靖民孙靖民孙靖民孙靖民.机械优化设计机械优化设计机械优化设计机械优化设计机械优化设计机械优化设计.北京：机械工业出版社，北京：机械工业出版社，北京：机械工业出版社，北京：机械工业出版社，北京：机械工业出版社，北京：机械工业出版社，2002200220022002200220022 2 2 2 2 2 陈立周陈立周陈立周陈立周陈立周陈立周.机械优化设计方法机械优化设计方法机械优化设计方法机械优化设计方法机械优化设计方法机械优化设计方法.北京：冶金工业出版社，北京：冶金工业出版
2、社，北京：冶金工业出版社，北京：冶金工业出版社，北京：冶金工业出版社，北京：冶金工业出版社，1997199719971997199719973 3 3 3 3 3 刘惟信刘惟信刘惟信刘惟信刘惟信刘惟信.机械最优化设计机械最优化设计机械最优化设计机械最优化设计机械最优化设计机械最优化设计.北京：清华高校出版社，北京：清华高校出版社，北京：清华高校出版社，北京：清华高校出版社，北京：清华高校出版社，北京：清华高校出版社，199419941994199419941994第一章第一章 优化设计的基本概念优化设计的基本概念 1-1 1-1 绪论绪论1-2 1-2 优化设计问题的示例优化设计问题的示例1-
3、3 1-3 优化设计的数学模型优化设计的数学模型 1-4 1-4 优化问题的几何说明和基本解法优化问题的几何说明和基本解法 优化是万物演化的自然选择和必定趋势。优化作为一种观念和意向，优化是万物演化的自然选择和必定趋势。优化作为一种观念和意向，人类从很早起先就始终在自觉与不自觉地追求与探究。而优化作为一门人类从很早起先就始终在自觉与不自觉地追求与探究。而优化作为一门学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒主题，旨在从处理各种学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒主题，旨在从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。优化的原理与方法，在科事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。优化的
4、原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用，便是优化设计。学的、工程的和社会的实际问题中的应用，便是优化设计。优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。是依据最优化原理和方法，以人机协作方式或是依据最优化原理和方法，以人机协作方式或“自动探究自动探究”方式，在计方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最佳设计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。方案的一种现代设计方法。优化设计反映出人们对于设计规律这一客观世界相识的深化。优化设计反映出
5、人们对于设计规律这一客观世界相识的深化。1-1 1-1 绪论绪论1.1.1.1.优化、优化设计和机械优化设计的含义优化、优化设计和机械优化设计的含义优化、优化设计和机械优化设计的含义优化、优化设计和机械优化设计的含义例如，古代人类在生产和生活活动中经过多数次摸索相识到，在运用同样数量和质量材料的条件下，圆截面的容器比其他任何截面的容器能够盛放的谷物都要多，而且容器的强度也最大。（1 1）来源：优化一语来自英文）来源：优化一语来自英文OptimizationOptimization，其本意是寻优的过，其本意是寻优的过程；程；（2 2）优化过程：是找寻约束空间下给定函数取极大值（以）优化过程：是找
6、寻约束空间下给定函数取极大值（以maxmax表表示示)或微小或微小(以以minmin表示表示)的过程。优化方法也称数学规划，是用科学方的过程。优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学；法和手段进行决策及确定最优解的数学；（3 3）优化设计：依据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专）优化设计：依据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的很多可业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的很多可行方案中，依据给定的目标自动地选出最优的设计方案。行方案中，依据给定的目标自动地选出最优的设计方案。机械优化设计机械优
7、化设计 就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动找寻实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。电子计算机，自动找寻实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。优化设计流程优化设计流程 常规设计流程常规设计流程2.2.2.2.优化设计的发展概况优化设计的发展概况优化设计的发展概况优化设计的发展概况 历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（EuclidEuclid，公元前，公元前300300年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，年左右），他指出：在周长相同的一
8、切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪微积分的建立给出了求函数极以正方形的面积为最大。十七、十八世纪微积分的建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的探讨供应了某些理论基础。然而，在以后的值的一些准则，对最优化的探讨供应了某些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变分法。问题，发展了变分法。直到本世纪直到本世纪4040年头初，由于军事上的须要产生了运筹学，并使优化年头初，由于军事上的须要产生了运筹学，并使优化技术首先应用于解决斗争中的实际问题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹
9、的设技术首先应用于解决斗争中的实际问题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。计等。50 50年头末数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优化设计中年头末数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在其次次世界大战期间发展起来求优方法的理论基础。数学规划方法是在其次次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规划是其主要内容。的一个新的数学分支，线性规划与非线性规划是其主要内容。近十几年来，最优化设计方法已接连用到建筑结构、化工、冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自动限制系统、电力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取得了显著效果。其中在
10、机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段，但也已经取得了丰硕的成果。一般说来，对于工程设计问题，所涉及的因素愈多，问题愈困难，最优化设计结果所取得的效益就愈大。最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是6O年头初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较困难的最优化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在很多科学技术领域中得到应用。l第一阶段人类智能优化：与人类史同步，干脆凭借人类的直觉或第一阶段人类智能优化：与人类史同步，干脆
11、凭借人类的直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。l其次阶段数学规划方法优化：从三百多年前牛顿独创微积分算起，其次阶段数学规划方法优化：从三百多年前牛顿独创微积分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到快速发展。电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到快速发展。l第三阶段工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给解决困第三阶段工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给解决困难工程优化问题供应了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程难工程优化问题供应了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法，能解决不少传统数学
12、规划方法不能胜任的工程优化问题。优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于阅历和直觉的方法得到了更多在处理多目标工程优化问题中，基于阅历和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学探讨，尤其是建模策略探讨引起重视，的应用。优化过程和方法学探讨，尤其是建模策略探讨引起重视，开拓了提高工程优化效率的新的途径。开拓了提高工程优化效率的新的途径。l第四阶段现代优化方法：如遗传算法、第四阶段现代优化方法：如遗传算法、模拟退火算法、模拟退火算法、蚁群算蚁群算法、法、神经网络算法等，并接受专家系统技术实现寻优策略的自动选神经网络算法等，并接受专家系统技术实
13、现寻优策略的自动选择和优化过程的自动限制，智能寻优策略快速发展。择和优化过程的自动限制，智能寻优策略快速发展。机械优化设计应用实例机械优化设计应用实例 美美国国波波音音飞飞机机公公司司对对大大型型机机翼翼用用138138个个设设计计变变量量进进行行结结构构优优化化，使使重重量量削削减减了了三三分分之之一一；大大型型运运输输舰舰用用1010个个变变量量进进行行优优化化设设计计，使使成成本本降低约降低约10%10%。实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐积，降
14、低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创建性的设计，和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创建性的设计，并大大提高设计效率。并大大提高设计效率。基础：（基础：（1 1）最优化数学理论）最优化数学理论 （2 2）现代计算技术）现代计算技术 内容：（内容：（1 1）将工程实际问题数学化（建立优化设计数学模型）；）将工程实际问题数学化（建立优化设计数学模型）；（2 2）用最优化计算方法在计算机上求解数学模型。）用最优化计算方法在计算机上求解数学模型。主要目的和任务：主要目的和任务：(1)(1)了解和基本驾驭机械优化设计的基本
15、学问；了解和基本驾驭机械优化设计的基本学问；(2)(2)扩大视野，并初步具有应用机械优化设计的基本理论和扩大视野，并初步具有应用机械优化设计的基本理论和基本方法解决简洁工程实际问题的素养。基本方法解决简洁工程实际问题的素养。优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具。优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具。3.3.本课程的任务本课程的任务1-2 1-2 优化设计问题的示例优化设计问题的示例 优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。求取工程问题的最优设计方案。优化设计包括：优化设计包括：（1 1）必需将实际问题加
16、以数学描述，形成数学模型；）必需将实际问题加以数学描述，形成数学模型；（2 2）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。解。已知：制造一体积为已知：制造一体积为100100m m3 3，长度不小于长度不小于5 5m m，不带上不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长盖的箱盒，试确定箱盒的长x x1 1，宽宽x x2 2，高高x x3 3，使箱盒用料使箱盒用料最省。最省。分析：分析：（1 1）箱盒的表面积的表达式；）箱盒的表面积的表达式；（2 2）设计参数确定：长）设计参数确定：长x x1 1，宽宽x x2 2，高高x x3 3 ；（3 3）设计约束条
17、件：）设计约束条件：（a a）体积要求；）体积要求；（b b）长度要求；）长度要求；x1x2x3箱盒的优化设计箱盒的优化设计数学模型数学模型设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：约束条件：约束条件：某工厂生产某工厂生产A 和和B 两种产品，两种产品，A 产品单位价格为产品单位价格为PA 万元，万元，B 产品单位价格为产品单位价格为PB 万元。每生产一个单位万元。每生产一个单位A 产品需消耗煤产品需消耗煤aC 吨，吨，电电aE 度，人工度，人工aL 个人日；每生产一个单位个人日；每生产一个单位B 产品需消耗煤产品需消耗煤bC 吨，吨，电电bE 度，人工度，人工bL 个人日。现有可利用生产资源煤
18、个人日。现有可利用生产资源煤C 吨，电吨，电E 度，度，劳动力劳动力L 个人日，欲找出其最优安排方案，使产值最大。个人日，欲找出其最优安排方案，使产值最大。分析：分析：（1）产值的表达式；）产值的表达式；（2）设计参数确定：）设计参数确定：A 产品产品xA，B 产品产品xB；（3）设计约束条件：）设计约束条件：（a）生产资源煤约束；）生产资源煤约束；（b）生产资源电约束；）生产资源电约束；（c）生产资源劳动力约束；）生产资源劳动力约束；最大最大产值产值生生产资产资源安排源安排问题问题 数学模型数学模型设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：约束条件：约束条件：已知：传动比已知：传动比i,转速转
19、速n,传动功率传动功率P，大小齿轮的材料，设，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。计该齿轮副，使其重量最轻。分析：分析：（1）圆柱齿轮的体积）圆柱齿轮的体积(v)与重量与重量(w)的表达；的表达；（2）设计参数确定：模数（）设计参数确定：模数（m），齿宽（），齿宽（b），齿数），齿数（z1）；）；（3）设计约束条件：）设计约束条件：（a）大齿轮满足弯曲强度要求；）大齿轮满足弯曲强度要求；（b）小齿轮满足弯曲强度要求；）小齿轮满足弯曲强度要求；（c）齿轮副满足接触疲惫强度要求；）齿轮副满足接触疲惫强度要求；（d）齿宽系数要求；）齿宽系数要求；（e）最小齿数要求。）最小齿数要求。直齿圆柱齿
20、轮副的优化设计直齿圆柱齿轮副的优化设计数学模型数学模型设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：约束条件：约束条件：1-31-3 优化设计的数学模型优化设计的数学模型 1.1.设计变量设计变量 一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。作性能的导出量。在设计过程中进行选择并最终必需确定的各项在设计过程中进行选择并最终必需确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化
21、参数。独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。内在联系，是进行优化设计的基础。设计变量的全体事实上是一组变量，可用一个列设计变量的全体事实上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n n个设计变量，则称为个设计变量，则称为n n维设计问题。维设计问题。
22、由由n n个设计变量个设计变量 为坐标所组成的实空间称作为坐标所组成的实空间称作设计设计设计设计空间空间空间空间。一个。一个“设计设计”，可用设计空间中的一点表示。，可用设计空间中的一点表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如设计变量的数目称为优化设计的维数，如n n个设计变量，则称为个设计变量，则称为n n维设计问题。维设计问题。依据依据产产品品设计变设计变量的取量的取值值特点，特点，设计变设计变量可分量可分为连续变为连续变量（例如量（例如轴轴径、径、轮轮廓尺寸等）和离散廓尺寸等）和离散变变量（例如各种量（例如各种标标准准规规格等）。格等）。图1-1 设计变量所组成的设计空间设计变量所组成
23、的设计空间（a a）二维设计问题二维设计问题 （b b）三维设计问题三维设计问题 只只有有两两个个设设计计变变量量的的二二维维设设计计问问题题可可用用图图1-11-1（a a）所所示示的的平平面面直直角角坐坐标标表表示示；有有三三个个设设计计变变量量的的三三维维设设计计问问题题可可用用图图1-11-1（b b）所所表示的空间直角坐标表示。表示的空间直角坐标表示。设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈敏捷，但难度亦愈大、求解亦愈度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈敏捷，但难度亦愈大、求解
24、亦愈困难。困难。小型设计问题：一般含有小型设计问题：一般含有210210个设计变量；个设计变量；中型设计问题：中型设计问题：10501050个设计变量；个设计变量；大型设计问题：大型设计问题：5050个以上的设计变量。个以上的设计变量。目前已能解决目前已能解决200200个设计变量的大型最优化设计问题。个设计变量的大型最优化设计问题。如何选定设计变量？如何选定设计变量？任任何何一一项项产产品品，是是众众多多设设计计变变量量标标记记结结构构尺尺寸寸的的综综合合体体。变变量量越越多多，可可以以淋淋漓漓尽尽致致地地描描述述产产品品结结构构，但但会会增增加加建建模模的的难度和造成优化规模过大。所以设计
25、变量时应留意以下几点：难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应留意以下几点：（1 1）抓主要，舍次要。）抓主要，舍次要。对对产产品品性性能能和和结结构构影影响响大大的的参参数数可可取取为为设设计计变变量量，影影响响小的可先依据阅历取为摸爽性的常量，有的甚至可以不考虑。小的可先依据阅历取为摸爽性的常量，有的甚至可以不考虑。（2 2）依据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。）依据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。例例如如，圆圆柱柱螺螺旋旋拉拉压压弹弹簧簧的的设设计计变变量量有有4 4个个，即即钢钢丝丝直直径径d d，弹弹簧簧中中径径D D，工工作作圈圈数数n n和和自自由由高高度度H H。在
26、在设设计计中中，将将材材料料的的许许用用剪剪切切应应力力 和和剪剪切切模模量量等等作作为为设设计计常常量量。在在给给定定径径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径D D作为设计常量。作为设计常量。2.约束条件约束条件 设计空间是全部设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。设计空间是全部设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足全部对它提出的要求，就称为可行设计。如一个设计满足全部对它提出的要求，就称为可行设计。一个可行设计必需满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称一个可行设计必需满足某些设计限制条件，这些限制条
27、件称作约束条件，简称约束。约束。约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型：类型：(1)(1)等式约束等式约束(2)(2)不等式约束不等式约束显显式式约约束束 隐隐式式约约束束 约约束函数有的可以表示成束函数有的可以表示成显显式形式，即反映式形式，即反映设计变设计变量之量之间间明明显显的函数的函数关系，有的只能表示成关系，有的只能表示成隐隐式形式式形式,如例中的困如例中的困难结难结构的性能构的性能约约束函数（束函数（变变形、形、应应力、力、频频率等），率等），须须要通要通过过有限元等方法有限元等方法计计算求得。算求得。依据依据约
28、约束的性束的性质质可以把它可以把它们们区分成：区分成：性能性能约约束束针对针对性能要求而提出的限制条件称作性能性能要求而提出的限制条件称作性能约约束。例如，束。例如，选择选择某些某些结结构必需构必需满满足受力的足受力的强强度、度、刚刚度或度或稳稳定性等要求；定性等要求；边边界界约约束束只是只是对设计变对设计变量的取量的取值值范范围围加以限制的加以限制的约约束称作束称作边边界界约约束。束。例如，允例如，允许许机床主机床主轴选择轴选择的尺寸范的尺寸范围围，对轴对轴段段长长度的限定范度的限定范围围就属于就属于边边界界约约束。束。图图1-2 设计空间中的约束面（或约束线）设计空间中的约束面（或约束线）
29、(a)a)二变量设计空间中的约束线二变量设计空间中的约束线 (b)b)三变量设计空间中的约束面三变量设计空间中的约束面 如图如图1-41-4上画出了满足两项约束条件上画出了满足两项约束条件g1(X)=x12g1(X)=x12x2216 Ox2216 O和和g2(X)g2(X)2X202X20的二维设计问题的可行域的二维设计问题的可行域D D，它位于，它位于X2=2X2=2的上面和圆的上面和圆 x12 x12x22=16x22=16的圆弧的圆弧ABCABC下面并包括线段下面并包括线段ACAC和圆弧和圆弧ABCABC在内。在内。图图1-3 约束条件规定的可行域约束条件规定的可行域D 可行域可行域:
30、在设计空间中，满足全部约束条件的所构成的空间在设计空间中，满足全部约束条件的所构成的空间 。3.3.目标函数目标函数 在优化过程中，通过设计变量的不断向在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)F(X)值改善的方向自动调值改善的方向自动调整，最终求得整，最终求得F(X)F(X)值最好或最满足的值最好或最满足的X X值。在构造目标函数时，应留意值。在构造目标函数时，应留意目标函数必需包含全部设计变量，全部的设计变量必需包含在约束函目标函数必需包含全部设计变量，全部的设计变量必需包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：体积最小、重量最轻、
31、效率最高、承载实力最大、结构运动精度体积最小、重量最轻、效率最高、承载实力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。为了对设计进行定量评价，必需构造包含设计变量的评价函数，它为了对设计进行定量评价，必需构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以是优化的目标，称为目标函数，以F(X)F(X)表示。表示。在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化在同
32、一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的状况较多。目标函数愈问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的状况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈困难。多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈困难。在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在冲突的状况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。间存在冲突的状况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。目标函数等值（线）面目标函数等值（线）面目标函数等值（线）面目标函数等值（线）面 目
33、标函数是目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述维空间中描述出来。为了在出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变更状况，常接受目标函维设计空间中反映目标函数的变更状况，常接受目标函数等值面的方法。数等值面的方法。目标函数的等值面（线）数学表达式为：目标函数的等值面（线）数学表达式为：c为一系列常数，代表一族为一系列常数，代表一族n维超曲面。如在二维设计空间中，维超曲面。如在二维设计空间中，F(x1,x2)=c 代表代表x-x设计平面上的一族曲线。设计平面上的一族曲线。对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等对于具有相等目标
34、函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。值线或等值面。图图1-4 等值线等值线 图1-5表示目标函数f（X）与两个设计变量x1，x2阶所构成的关系曲面上的等值线，它是由很多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变更范围确定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变更愈平缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数的变更规律。从等值线上，可以清除地看到函数值的变更状况。其中从等值线上，可以清除地看到函数值的变更状况。其中F=40F=4
35、0的的等值线就是使等值线就是使F(x1,x2)=40F(x1,x2)=40的各点的各点x1,x2Tx1,x2T所组成的连线。所组成的连线。如图函数如图函数 的等值线图。的等值线图。图图1-5 等值线等值线4.优化设计问题一般数学形式：优化设计问题一般数学形式：满足约束条件满足约束条件：求设计变量向量求设计变量向量使目标函数使目标函数 对于困难的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模对于困难的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为困难。这时要抓住关键型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为困难。这时要抓住关键因素，适当忽视不重要的成分，使问
36、题合理简化，以易于列出数学模因素，适当忽视不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节约时间，有时也会改善优化结果。型，这样不仅可节约时间，有时也会改善优化结果。最最优优化化设设计计的的目目标标函函数数通通常常为为求求目目标标函函数数的的最最小小值值。若若目目标标函函数数的的最最优优点点为为可可行行域域中中的的最最大大值值时时，则则可可看看成成是是求求-F-F（X X）的的最最小小值值，因因为为minmin-F-F（X X）与与maxFmaxF（X X）是是等等价价的的。当当然然，也也可可看看成成是求是求1 1F F（X X）的微小值。）的微小值。5.建模实例建模实例1）依据
37、设计要求，应用专业范围内的现行理论和阅历等，对优化对象）依据设计要求，应用专业范围内的现行理论和阅历等，对优化对象进行分析。必要时，须要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反进行分析。必要时，须要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。映该专业范围内的现代技术进步的成果。2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。计变量。3）依据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要）依据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。构造多目标函数。4）必要时
38、对数学模型进行规范化，以消退诸组成项间由于量纲不同）必要时对数学模型进行规范化，以消退诸组成项间由于量纲不同等缘由导致的数量悬殊的影响。等缘由导致的数量悬殊的影响。建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤：人字架结构优化设计人字架结构优化设计 由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载为为2p2p，两支座之间的水平距离为，两支座之间的水平距离为2L2L，圆杆的壁厚为，圆杆的壁厚为B B，杆的比，杆的比重为重为，弹性模量为，弹性模量为E E，
39、屈服强度为，屈服强度为 。求在桁架不被破。求在桁架不被破坏的状况下使桁架重量最轻的桁架高度坏的状况下使桁架重量最轻的桁架高度h h及圆杆平均直径及圆杆平均直径d d。受力分析图圆杆截面图桁杆示意图d解：桁杆的截面积为解：桁杆的截面积为：由此得稳定约束：由此得稳定约束：圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知：压杆稳圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知：压杆稳定的临界应力为定的临界应力为此应力要求小于材料的屈服极限，即：此应力要求小于材料的屈服极限，即：于是杆截面的应力为：于是杆截面的应力为：负载负载2p在每个杆上的分力为：在每个杆上的分力为：桁杆的总重量为：桁杆的总重量
40、为：另外还要考虑到设计变量另外还要考虑到设计变量d和和h有界。有界。从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型：从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型：配料配料配料配料每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量钙钙钙钙蛋白质蛋白质蛋白质蛋白质纤维纤维纤维纤维每磅成本（元）每磅成本（元）每磅成本（元）每磅成本（元）石灰石石灰石石灰石石灰石谷物谷物谷物谷物大豆粉大豆粉大豆粉大豆粉0.380 0.00 0.000.380 0.00 0.000.001 0.09 0.020.001 0.09 0.020.002 0.50 0.080.002 0.50 0.08 0.0
41、164 0.0164 0.0463 0.0463 0.1250 0.1250 以最低成本确定满足动物所需养分的最优混合饲料。设每天须要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必需含：至少0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要养分成分为：混合饲料协作混合饲料协作解解:依据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下依据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:设设 是生产是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。量（磅）。6.优化设计的分类优化设计的分类对于最优化问
42、题一般可作如下分类：对于最优化问题一般可作如下分类：还有其它的一些划分方法：还有其它的一些划分方法：如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量规划问题；如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量规划问题；二次规划、几何规划、随机规划等。二次规划、几何规划、随机规划等。例例1：如下二维非线性规划问题：如下二维非线性规划问题一、几何说明一、几何说明1-4 1-4 优化问题的几何说明和基本解法优化问题的几何说明和基本解法 通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。想。目标函数等值线是以点（目标函数等值线是以点（2，
43、0）为圆心的一组同心圆。）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是如不考虑约束，本例的无约束最优解是约束方程所围成的可行域是约束方程所围成的可行域是D。图图图图1-91-9l由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为该切点为 ，对应的最优值为对应的最优值为 l (见图）见图）用图解法求解用图解法求解 例例例例2 2：l解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最
44、小直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。值的点。l解：解：先画出等式约束曲线先画出等式约束曲线 的图形。的图形。这是一条抛这是一条抛物线，如图物线，如图例例例例3 3：l再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）l最终画出目标函数等值线，特殊留意可行集边界点，最终画出目标函数等值线，特殊留意可行集边界点，ABCD 以及等值线与可行集的切点，易见可以及等值线与可行集的切点，易见可行域为曲线段行域为曲线段ABCD。当动点沿抛物。当动点沿抛物曲线段曲线段ABCD由由A点动身时，点动身时，AB段目段目标函数值下降。过点标函数值下
45、降。过点B后，在后，在BC段目段目标函数值上升。过标函数值上升。过C点后，在点后，在CD段段目标函数值再次下降。目标函数值再次下降。D点是使目标点是使目标函数值最小的可行点，其坐标可通过函数值最小的可行点，其坐标可通过解方程组：解方程组：l得出：得出：ABCDl 由以上三个例子可见，对二维最优化问题。我们总可由以上三个例子可见，对二维最优化问题。我们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上以用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作图，此法失效。作图，此法失效。l 在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的是值的是 X
46、|f(X)=C,C是常数是常数称为目标函数的等值面。称为目标函数的等值面。l等值面具有以下性质：等值面具有以下性质：l（1）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数；函数；l（2）等值面稠的地方，目标函数值变更得较快，而稀疏）等值面稠的地方，目标函数值变更得较快，而稀疏的地方变更得比较慢；的地方变更得比较慢；l（3）一般地，在极值点旁边，等值面（线）近似地呈现）一般地，在极值点旁边，等值面（线）近似地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。为同心椭球面族（椭圆族）。求解优化问题的基本解法有：求解优化问题的基本解法有：二、基本解法二、基本解法解析法解析
47、法解析法解析法数值解法数值解法数值解法数值解法解解解解析析析析法法法法：即即即即利利利利用用用用数数数数学学学学分分分分析析析析(微微微微分分分分、变变变变分分分分等等等等）的的的的方方方方法法法法，依依依依据据据据函函函函数数数数（泛泛泛泛函函函函）极极极极值值值值的的的的必必必必要要要要条条条条件件件件和和和和充充充充分分分分条条条条件件件件求求求求出出出出其其其其最最最最优优优优解解解解析解的求解方法析解的求解方法析解的求解方法析解的求解方法 。在目标函数比较简洁时，求解还可以。在目标函数比较简洁时，求解还可以。在目标函数比较简洁时，求解还可以。在目标函数比较简洁时，求解还可以。局限性：
48、工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较困局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较困难，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种状况下应用难，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种状况下应用数学分析方法就会带来麻烦。数学分析方法就会带来麻烦。最优化方法是与近代电子计算机的发展紧密相联系的，数值计算法比解析法更能适应电子计算机的工作特点，因为数值计算的迭代方法具有以下特点：1）是数值计算而不是数学分析方法；2）具有简洁的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；3）最终得出的是靠近精确解的近似解。这些特点正与计算机的工作特点相一样。数值解法：数值解法：数值解法：数值解法：这是一种数值近似计算方法，
49、又称为数值迭代方法。它这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解优点或直至达到最优点。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解法。法。其中也可能用到解析法，如最速下降方向的选取、最优步长的确定等。数值迭代法的基本思路：是进行反复的数值计算，寻数值迭代法的基本思路：是进行反复的数值计算
50、，寻求目标函数值不断下降的可行计算点，直到最终获得足够求目标函数值不断下降的可行计算点，直到最终获得足够精度的最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步精度的最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：骤：1 1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点X X（0 0），从），从X X（0 0）动）动身依据确定的原则找寻可行方向和初始步长，向前跨出一步达到身依据确定的原则找寻可行方向和初始步长，向前跨出一步达到X X（1 1）点；）点；2 2）得到新点）得到新点X X（1 1）后再选择一个新的使函数值快速下降的方向及）后再选择一个新的使函数值快速下降的方