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1、北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明专题测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在ABC中，B=62，C=24，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交AC的两侧于点
2、M、N，连接MN，交BC于点D，连接AD，则BAD的度数为（ ）A70B60C50D402、如图，在ABC中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，ABC的周长为26，的周长为16，则的长为（ ）A10B8C6D53、如图，AB=AC，A=40，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则EBC的度数是（）A30B40C70D804、如图，在ABC中，ABAC6cm，AD，CE是ABC的两条中线，CE4cm，P是AD上的一个动点，则BP+EP的最小值是（）A3cmB4cmC6cmD10cm5、如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，B=35，则BAD=（ ）A110B70C55D356
3、、如图，已知RtABC中，C90，A30，在直线BC上取一点P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）A1个B2个C3个D4个7、下列说法正确的是（ ）A三角形内部到三边距离相等的点是三边垂直平分线的交点B三条线段a、b、c，如果，则以这三条线段为边能够组成三角形C如果两个三角形有两边和其中一边上高分别相等，那么这两个三角形全等D若两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等8、等腰三角形的顶角是，则这个三角形的一个底角的大小是（ ）ABCD9、如图，在ABC中，BAC45，E是AC中点，连接BE，CDBE于点F，CDBE若AD，则BD的长为（）A2B2C2D31
4、0、下列四个命题是真命题的有（）同位角相等；相等的角是对顶角；直角三角形两个锐角互余；三个内角相等的三角形是等边三角形A1个B2个C3个D4个第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，ABC为等边三角形，点在的延长线上，点在上，连接，于点，且，若，则的长为_2、如图，在等腰RtABC中，ABC90，点D为AC上的一点，AD3CD3，连接BD，作等腰RtBDE，且EBD90，则线段DE的长为_3、如图，平分，为上的任意一点，交于点，于点，若，则的长为_4、已知ABC的面积是12，AB=AC=5，AD是BC边上的中线，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP
5、的最小值为_5、如图，在ABC中，AD是的平分线，则_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，点B，C在x轴上，B-4,0，OA=OB，ACO=30（1）求线段AC的长；（2）点P从C点出发沿射线CA以每秒2个单位长度的速度运动，过点A作AFAP，点F在y轴的左侧，AF=AP，过点F作FEy轴，垂足为E，设点P的运动时间为t秒，请用含t的式子表示EF的长；（3）在（2）的条件下，直线BP交y轴于点K，C43,0，当BK=AC时，求t的值，并求出点P的坐标2、（1）如图，已知点A（-2，3），B（-4，-1），C（-1，-2）在坐
6、标系中画出ABC关于轴对称的ABC（不写画法）；写出点C的坐标；（2）如图，已知AOB，求作：AOB的平分线（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 图3、如图，AD是ABC的角平分线，DEAB于点E（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DFAC于点F，连接EF交AD于点G（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）中所作的图形中，求证：ADEF4、在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：点P到图形G1上各点的最短距离为d1，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若，就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点”已知点A6,0，B0,6（1）在点D-6,0，E3,0，F0,3中，_是点A和点
7、O的“等距点”；（2）在点G-2,-1，H2,2，I3,6中，_是线段OA和OB的“等距点”；（3）点Cm,0为x轴上一点，点P既是点A和点C的“等距点”，又是线段OA和OB的“等距点”当时，是否存在满足条件的点P，如果存在请求出满足条件的点P的坐标，如果不存在请说明理由；若点P在OAB内，请直接写出满足条件的m的取值范围5、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A-4,0，B4,0，C0,4，给出如下定义：若P为ABC内（不含边界）一点，且AP与BCP的一条边相等，则称P为ABC的友爱点（1）在P10,3，P2-1,1，中，ABC的友爱点是_；（2）如图2，若P为ABC内一点，且PAB=PCB
8、=15，求证：P为ABC的友爱点；（3）直线l为过点M0,m，且与x轴平行的直线，若直线l上存在ABC的三个友爱点，直接写出m的取值范围-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据BADBACDAC，想办法求出BAC，DAC即可解决问题【详解】解：B62，C24，BAC1808694，由作图可知：MN垂直平分线段AC，DADC，DACC24，BAD942470，故选：A【点睛】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型2、D【分析】根据线段垂直平分线的性质可得即可得到结论【详解】解：的垂直平分线交于点D，交于点E，AD=CD，ABD的
9、周长=AB+AD+BD=AB+BC=16，ABC的周长=AC+BC+AB=26，AC=ABC的周长-ACE的周长=26-16=10，故答案为：D【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等3、A【分析】先由线段垂直平分线的性质得到AE=BE，则ABE=A=40，再由三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到，由此即可得到答案【详解】解：AB的垂直平分线DE交AC于点E，AE=BE，ABE=A=40，AB=AC，EBC=ABCABE=30故选A【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判
10、定，熟知相关知识是解题的关键4、B【分析】连接CE交AD于点P，则BP+EP的最小值为CE的长【详解】如图，连接CE交AD于点P，ABAC，AD是BC的中线，ADBC，BPCP，BP+EPCP+EPCE，BP+EP的最小值为CE的长，CE4cm，BP+EP的最小值为4cm，故选：B【点睛】本题是典型的将军饮马问题，考查了等腰三角形三线合一的性质和两点间线段最短知识，关键是把BP+EP的最小值转化为CP+EP的最小值，从而根据两点间线段最短解决最小值的问题5、C【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得ADBC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答【详解】解：ABAC，D是BC的中点，ADBC，
11、B35，BAD903555故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键6、B【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论【详解】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点，如图所示：C90，A30，是等边三角形，点重合，符合条件的点P有2个；故选B【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键7、D【分析】根据角平分线、三角形三边关系的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，全等三角形的判定性质，对各个选
12、项逐个分析，即可得到答案【详解】三角形内部到三边距离相等的点是三条角平分线的交点，故选项A错误；三条线段a、b、c，如果，同时，则以这三条线段为边能够组成三角形，故选项B错误；如果两个三角形有两边和其中一边上高分别相等，两条边的夹角不一定相等，不能确定两个三角形全等，故选项C错误；若两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，故选项D正确；故选：D【点睛】本题考查了垂直平分线、角平分线、三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形角平分线、三角形三边关系、全等三角形的性质，从而完成求解8、A【分析】根据等腰三角形的两底角相等，即可求解【详解】解：等腰三角形的顶角是
13、，这个三角形的一个底角的大小是 故选：A【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键9、B【分析】过点C作CNAB于点N，连接ED，EN，利用SAS证明DCEBEN，可得EDNB，CEDENB135，得ADE是等腰直角三角形，可得ADDNBN，进而可得结果【详解】解：如图，过点C作CNAB于点N，连接EN，CNA90，BAC45，NCAA45，ANCN，点E是AC的中点，ANECNE45，CENAEN90，CEF+FEN90，CDBE，CFE90，CEF+FCE90，DCEBEN，在DCE和BEN中，DCEBEN（SAS），EDNB，CEDENB135，A
14、ED45AACN，ADDE，AECE，AE=EN，ADDN，ADDNBN，BD2AD2故选B【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形求解10、B【分析】利用平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的性质及等边三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项【详解】两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；相等的角是对顶角，错误，是假命题；直角三角形两个锐角互余，正确，是真命题；三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，综上所述真命题有2个，故选：B【点睛】本题考查了命题真假的判断，要说明一个命题是正确的，需要根据命
15、题的题设和已学的有关公理、定理进行说明、推理、证明，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题二、填空题1、7.5【分析】在BC上取CP=CF，连接AP，可证得ACPBAE，得BE=AP，AEB=CPA，即有BEC=APB，再由可得AP=DP，在RtDCF中，可求得CD、CF的长，从而求得DP的长，即BE的长【详解】在BC上取CP=CF，连接APABC是等边三角形AB=AC=BC，BAE=ACP=60EF=BCEF=AC即AE+EC=EC+CFAE=CFAE=CP在ACP和BAE中ACPBAE（SAS）BE=AP，AEB=CPA即BEC=APB，APB=ADB+DAPADB=DAP AP=DP
16、DCF=ACP=60，CDF=30在RtDCF中，CF=CP=2.5BE=DP=CD+CP=5+2.5=7.5故答案为：7.5【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，作辅助线得到两个全等三角形是解题的关键及难点2、【分析】先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理即可得【详解】解：是等腰三角形，且，是等腰三角形，且，在和中，则在中，故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确找出两个全等三角形是解题关键3、3【分析】过点作于，根据角平
17、分线上的点到角的两边距离相等可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同位角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得【详解】解：如图，过点作于，平分，平分，故答案为：3【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键4、【分析】作BMAC于M，交AD于P，根据等腰三角形的性质得到ADBC，求得点B，C关于AD为对称，得到BP=CP，根据垂线段最短得出CP+EE=BP+EP=BEBM，根据数据线的面积公式即可得到结论【详解】解：作BMAC于M，交
18、AD于P，ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中线，ADBC，AD是BC的垂直平分线，点B，C关于AD为对称，BP=CP，根据垂线段最短得出：CP+EP=BP+EP=BEBM，AC=BC=5，SABC=BCAD=ACBM=12，BM=AD=，即EP+CP的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等腰三角形和轴对称的性质是本题的关键5、5：4【分析】过点D作DEAB于点E，DFAC于点F，根据角平分线的性质得到DE=DF，再由三角形面积公式可求得结论【详解】解：过点D作DEAB于点E，DFAC于点F，如图，AD是的平分线，DE=DF， 故答案为：5：4【点睛
19、】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键三、解答题1、（1）8，（2）见解析，（3）（，）或（，）；【分析】（1）根据30角所对直角边等于斜边一半，求出OA长，即可求AC长；（2）作PGOA于G，证AFEPAG，得出，用含t的式子表示AG的长即可；（3）作PNOB于N，证RtBOKRtAOC，得出，求出AP的长即可求t的值，求出NP、ON的长即可求坐标【详解】解：（1），；（2）作PGOA于G，当点P在线段CA上时，CP=2t，AP=8-2t，AFEPAG，；当点P在线段CA延长线上时，CP=2t，AP=2t -8，同理可得AFEPAG，（3）作PNOB
20、于N，如图，RtBOKRtAOC， ， ，此时，点P在线段CA延长线上，；，PNOB，点P的坐标为（，）如图，同理可知RtBOKRtAOC，同理可得，点P的坐标为（，）；综上，点P的坐标为（，）或（，）；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，解题关键是恰当作辅助线，通过证明三角形全等，得出线段之间的关系2、（1）见解析；点C的坐标(1，-2)；（2）见解析【分析】（1）根据两点关于y轴对称，纵不变，横相反，确定各自的对称点坐标，后坐标系中，描点，依次连接构造三角形即可；根据C（-1，-2），纵坐标不变，横坐标变成相反数写出即可；（2）按照角的平分线尺规作图要求，
21、规范画图即可【详解】（1）点A（-2，3），B（-4，-1），C（-1，-2），根据两点关于y轴对称，纵不变，横相反，它们各自的对称点坐标分别为（2，3），（4，-1），（1，-2），画图如下：则ABC即为所求；根据C（-1，-2），纵坐标不变，横坐标变成相反数，（1，-2）；（2）如图：射线OC即为所作：0【点睛】本题考查了坐标系中的对称问题，角的平分线尺规作图，熟练掌握对称点坐标的确定方法是解题的关键3、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）以点D为圆心，适当长为半径，作弧，交AC于两点，再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，连接两条弧的交点所在的直线，该直线与AC的交点即为点F，连接
22、交于点；（2）利用角平分线性质可得，由此证明，得到，继而证明，证得即可解题【详解】解：（1）如图，点F、G即为所求作的点；（2）是的角平分线，【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键4、（1）点E；（2）点H；（3）存在，点P的坐标为（7，7）；【分析】（1）根据“等距点”的定义，即可求解；（2）根据“等距点”的定义，即可求解；（3）根据点P是线段OA和OB的“等距点”，可设点P（x，x）且x0，再由点P是点A和点C的“等距点”，可得 ，从而得到 ，即可求解；根据点P是线段OA和OB的“等距点”， 点P在AOB的角平分线上，可设
23、点P（a，a）且a0，根据OA=OB，可得OP平分线段AB，再由点P在内，可得 ，根据点P是点A和点C的“等距点”，可得 ，从而得到，整理得到，即可求解【详解】解：（1）根据题意得： ， ， ， ， ， ， ，点是点A和点O的“等距点”；（2）根据题意得：线段OA在x轴上，线段OB在y轴上，点到线段OA的距离为1，到线段OB的距离为2，点到线段OA的距离为2，到线段OB的距离为2，点到线段OA的距离为6，到线段OB的距离为3，点到线段OA的距离和到线段OB的距离相等，点是线段OA和OB的“等距点”；（3）存在，点P的坐标为（7，7），理由如下：点P是线段OA和OB的“等距点”，且线段OA在x轴
24、上，线段OB在y轴上，可设点P（x，x）且x0，点P是点A和点C的“等距点”， ，点C（8，0）， ，解得： ，点P的坐标为（7，7）；如图，点P是线段OA和OB的“等距点”，且线段OA在x轴上，线段OB在y轴上，点P在AOB的角平分线上，可设点P（a，a）且a0，OA=OB=6，OP平分线段AB，点P在内，当点P位于AB上时， 此时点P为AB的中点，此时点P的坐标为 ，即 ， ，点P是点A和点C的“等距点”， ，点，整理得： ，当 时，点C（6，0），此时点C、A重合，则a=6（不合题意，舍去），当时， ，解得： ，即若点P在内，满足条件的m的取值范围为【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内
25、两点间的距离，点到坐标轴的距离，等腰三角形的性质，角平分线的判定等知识，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键5、（1）P1、P2；（2）见解析；（3）0m2【分析】（1）根据A（x1，y1）、和B（x2，y2）之间的距离公式AB=以及友爱点定义解答即可；（2）由题意易知OAB=OCA=OCB=45，进而可求得PAC=OCP=30，则可得出ACP=APC=75，根据等角对等边和友爱点定义即可证得结论；（3）由题意，ABC在友爱点P满足AP=BP或AP=PC或AP=BC=AC三种情况，分别讨论求解即可【详解】解：（1）点，关于y轴对称，点在y轴上，AP1=BP1，故P1是的友爱点；AP2=
26、 ，CP2= ，AP2= CP2，故P1是的友爱点；AP3=，CP3=，BP3=，BC=，故P3不是的友爱点，综上，的友爱点是P1、P2，故答案为：P1、P2；（2）点，OA=OB=OC，AC= BC， BOC=90，OAB=OCA=OCB=45，PAC=OCP=30，ACP=45+30=75，APC=180PACACP=1803075=75，ACP=APC，AP=AC=BC，P为的友爱点；（3）由题意，ABC的友爱点P满足AP=BP或AP=PC或AP=BC三种情况，若AP=BP，则点P在线段AB的垂直平分线上，即点P在y轴线段OC上，若AP=PC，则点P在线段AC的垂直平分线上；若AP=BC，则点P在以点A为圆心，BC即AC长为半径的圆上，如图，设AC的中点为G，则G的坐标为（2，2），由图可知，当直线l为过点G和过点且与轴平行的直线在x轴之间时，直线上存在的三个友爱点，m的取值范围为0m2【点睛】本题考查两点之距离坐标公式、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、圆的定义、坐标与图形等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合的思想解决问题是解答的关键