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1、互动课堂疏导引导一、直线与平面垂直的判定1.直线与平面垂直的定义如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面互相垂直.疑难疏引 (1)定义中的“任意一条直线”这一词组，它与“所有直线”是同义语，但与无数条直线不同，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.但不能说一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，它就和这个平面垂直.(2)和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但在直线和平面垂直时，却可以得到直线和平面内的任何一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来方便，如若a,b,则ab，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条
2、直线垂直时，经常使用的一种重要方法. 画直线和水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.如果直线l和平面垂直，则记作l.(4)在平面几何中，我们有命题：经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节，也有类似的命题.命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.2.直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面.用符号表示为 .疑难疏引 关于定理的理解必须注意以下几点：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要抓牢.(2)命题1：如果一条直线垂直于平
3、面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面.命题2：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面.以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，无数条直线可以是一簇平行线，并不一定具备有两条相交直线和已知直线垂直，因此，也就不一定得出这一直线垂直于这个平面这一结论.(3)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.(4)直线与平面垂直的判定与证明方法：用线面垂直定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面.用线面垂直判定定理：若
4、一直线与平面内两相交直线都垂直，这条直线与平面垂直.用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面，则另一条也必垂直这个平面.用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面.用面面平行性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面.用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面.这六条线面垂直的判定方法其实质仍是转化思想，它们是线线、线面、面面垂直的转化.案例1 如图，正方体有8个顶点和12条棱，每条棱上均有一个中点，于是有棱的中点12个，顶点与中点合起来共有20个图(1).过其中的两点可作一条直线；过其中不在同一直线上的三点可作一个平
5、面.现在考虑这些直线与平面的垂直关系.(1)试举出一直线与一平面相互垂直的例子(不少于4例)；(2)若一直线与一平面相互垂直，我们就说这条直线与这个平面构成了一个“垂直关系组”，两个“垂直关系组”当且仅当其中两条直线和两个平面不全同一时称为相异的(或不同的).试求与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数.【探究】 在正方体中，所有的棱都和与它相交的面垂直，利用中点也可产生与棱垂直的面.(1)例如AB平面BCKJ如图(1)；例如EF平面MPON如图(1)；例如NF平面ADKJ如图(2)；例如IC平面AJL如图(3).(2)正方体的棱有12条，而每一条棱都与3个平面垂直，如图(1)中棱IJ与平面ID
6、、平面NP及平面JC都垂直，所以与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数是123=36.【规律总结】 挖掘正方体本身潜藏的特征，将每一条棱的情况分析清楚，做到不重不漏.案例2 如图，已知P是ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是ABC的垂心，求证：PH平面ABC.【探究】 根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直，根据H是ABC的垂心，可知BCAH，又PA、PB、PC两两垂直，得PA面PBC，于是PABC，由此可知BC垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH，结论得证.证明：H是ABC的垂心，AHBC. PAPB，PAPC，PA平面PBC.又BC平面PBC，PA
7、BC， 由知，BCPH，同理，ABPH，PH平面ABC.【规律总结】 根据所求证的结论，寻求所需的已知条件，看题目是否已经直接给出，或者从题目所给条件，经过推理能够得出，这是分析问题的重要方法，称为执果索因；也可从条件出发，将这一条件可能得出的结论一一列出，从中选出我们证题所需要的结论，这种分析问题的方法称为由因导果，发散性较强.二、平面与平面垂直的判定1.二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.疑难疏引 (1)二面角的平面角，则是用来刻画二面角大小的一个概念.它和两条异面
8、直线所成的角以及直线和平面所成的角一样，都化归为用平面内两条相交直线所成的角来表示.但必须注意二面角的平面角所在平面应垂直于二面角的棱，二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内.而二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的，与二面角的平面角的顶点在棱a上的位置无关.(2)二面角的计算方法用定义作二面角的平面角在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角.利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱及棱上的特殊点.学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用.用垂面法作二面角的平面角作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面，则该垂面与二面角的两个半平面交线所成
9、的角就是二面角的平面角.面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为，则cos=.案例3 已知四边形PABC为空间四边形，PCA=90，ABC是边长为的正三角形，PC=2，D、E分别是PA、AC的中点，BD=.试判断直线AC与平面BDE的位置关系，并且求出二面角P-AC-B的大小.解：D、E分别是PA、AC的中点，DEPC且DE=PC=1.PCA=90,ACDE.ABC是边长为的正三角形，并且E是AC的中点，ACBE，并且BE=3.DEBE=E，直线AC与平面DEB垂直.DEB为二面角P-AC-B的平面角.在BDE中，由DE=1，BE=3，BD=得
10、DE2+BE2=BD2，DEB=90.综上所述，直线AC与平面BDE垂直，二面角P-AC-B的大小为90.【规律总结】 与二面角的棱垂直的平面和二面角的两个面相交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.利用作与棱垂直的平面得到二面角的方法称为“垂面法”.案例4 已知ABC是正三角形，PA平面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的正切值.【探究】 要求二面角的正切值，首先要在图形中构造出二面角的平面角，利用其平面角度量二面角的大小，过棱上一点，分别在两个面内作或证棱的垂线，即可产生二面角的平面角，充分利用三角函数定义求得正切值.解：取AC的中点M，连结BM，作MNPC于N，连结BN.
11、PA平面ABC，平面PAC平面ABC.易证BMAC，AC=平面PAC平面ABC.BM平面PAC(面面垂直的性质).MNPC，NBPC.MNB是二面角A-PC-B的平面角.易知MN=，BM=.tanMNB=.二面角的正切值为【规律总结】 度量二面角的大小是通过其平面角进行，所以在图形中构造出二面角的平面角，就能将空间问题转化为平面问题，利用直角三角形中锐角三角函数定义，有些问题也可用斜三角形中的直角三角形加以处理.2.两个平面互相垂直的判定常用的判定方法有：(1)定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；(3)两个平
12、行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面.疑难疏引 两平面垂直的判定定理的特征：线面垂直面面垂直.它说明了线面垂直与面面垂直的密切关系，用符号表示为：若l,l,则.利用判定定理证明两个平面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找另一平面的垂线.案例5 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90.求证：平面ABC平面BSC.【探究】 本题可以用两种方法来证明，一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内(证法一)；二是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直(证法二).证法一：作AD平面BSC，D为垂足.ASB=ASC=60，SA=
13、SB=SC，则AS=AB=AC，D为BSC的外心.又BSC=90，D为BC的中点，即AD在平面ABC内.平面ABC平面BSC.证法二：取BC的中点D，连结AD、SD，易证ADBC.又ABS是正三角形，BSC为等腰直角三角形，BD=SD.AD2+SD2=AD2+BD2=AB2=AS2.由勾股定理的逆定理，知ADSD，AD平面BSC.又AD平面ABC，平面ABC平面BSC.【规律总结】 本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”的问题转化为证明“线面垂直”的问题.三、直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质有：(1)一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；(2)性质
14、定理：垂直于同一平面的两条直线平行；(3)两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；(4)垂直于同一直线的两个平面平行.对于性质定理，它提供了一种证明线线平行的方法，揭示了“平行”与“垂直”的内在联系.案例6 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BC的中点，若点M为棱B1B上的一点，当的值为多少时，能使D1M平面EFB1？并给出证明.【探究】 本题属开放型问题，一般先猜后证.由于E、F为中点，所以猜想M也是中点.解：当时，能使D1M平面EFB1，证明如下： 当M为B1B中点时，在平面AA1B1B内有A1MB1B1EB，B1A1M=BB1E.
15、而B1MA1+B1A1M=90,B1MA1+BB1E=90.A1MB1E.D1A1平面AA1B1B，B1E平面AA1B1B,D1A1B1E.由于A1MD1A1=A1,B1E平面A1MD1.D1M平面A1MD1,B1ED1M.同理，连结C1M，可证明B1FD1M.B1EB1F=B1,D1M平面EFB1.【规律总结】 (1)猜想要和题目中的点的性质相联系.(2)平面内证两线垂直的方法可通过三角形中某两个角的和为直角来判断.四、两个平面垂直的性质两个平面垂直的性质有：(1)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；(2)两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平
16、面的直线在第一个平面内.疑难疏引 性质定理(1)成立要有两个条件：一是线在面内，二是线垂直于交线，才能线面垂直，这一定理也可简述为“面面垂直，则线面垂直”，它反映了面面垂直与线面垂直的密切关系；对于第二条性质，只要在其中一个平面内通过一点作另一平面垂线，那么这条垂线必在这个平面内，对点的位置，它既可以在交线上，也可以不在交线上.(2)运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.案例7 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.已知,=l.求证：l.【探究一】在内取一点P，作PA垂直与
17、的交线于A，PB垂直与的交线于B，则PA,PB.l=,lPA,lPB.与相交，PA与PB相交.又PA,PB,l.【探究二】在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线，,m,n.mn.又n,m.ml,l.【探究三】在l上取一点P，过点P作的垂线l,.但=l,l与l重合.l.【规律总结】 探究一、探究二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是两种证法的关键. 探究三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l这条辅助线
18、，这是关键. 通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法.五、几种转化关系1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.线线垂直、线面垂直、面面垂直是立体几何中的核心内容之一. 首先由线面垂直的定义可知，若线面垂直则线和面内任何直线都垂直；根据线面垂直判定定理，若线垂直于面内的两条相交直线，则线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，我们可以简证为，线面垂直则面面垂直；同样根据面面垂直的性质定理，我们还可证得，若面面垂直则线面垂直. 由上可得，利用线面垂直，可以证明线线垂直，也可以实现面面垂直的证明.因此，我们可以说线面垂直关系是线
19、线垂直、面面垂直关系中的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化，即 直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直.2.空间直线、平面的平行与垂直的相互转化(1)线线、线面、面面平行与垂直位置关系的判定与证明是考查空间想象能力、逻辑推理能力的重点，这是我们作进一步的比较、串联、综合、力求达到巩固、提高的目的.(2)理解线线、线面、面面关系的转化.不同层次的平行关系的转化.不同层次的垂直关系的转化平行与垂直的转化案例8 如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MN平面PAD；(2)求证：MNCD.(3)若PDA=45,求证：MN平面PCD
20、.【探究】 (1)要证明MN平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线.注意到M，N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MNAE即可，证明如下：证明：取PD的中点E，连结AE、EN.则ENCDABAM，故AMNE为平行四边形，MNAE.AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)要证MNCD，可证MNAB.由问(1)知，需证AEAB.PA平面ABCD.PAAB，又ADAB，AB平面PAD，ABAE，即ABMN.又CDAB，MNCD.(3)由问(2)知，MNCD，即AECD，再证AEPD即可.PA平面ABCD，PAAD.又PDA=45,E为PD的中点.AEPD,
21、即MNPD.又MNCD.MN平面PCD.【规律总结】 本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸知识点的一道综合题.题(1)的关键是选取PD的中点E，所作的辅助线使问题处理方向明朗化.线线垂直线面垂直线线垂直是转化规律.活学巧用1.判断题：正确的在括号内打“”,不正确的打“”.(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行.( )(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直.( )(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.( )(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.( )(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条
22、直线确定的平面.( )解析：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种平行异面，因此应打“”.(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系.若为平行，则该命题应打“”；若为相交，则该命题应打“”,正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内这无数条直线的位置关系，则该命题应打“”.(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必须垂直于三角形的第三边，该命题应打“”.(4)前面介绍了两个命题，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面惟一，因此，过点
23、A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，该命题应打“”.(5)三条共点直线两两垂直，设为a,b,c有a,b,c共点于O.ab,ac,bc=o,且b、c确定一平面，设为，则a.同理可知b垂直于由a、c确定的平面，c垂直于a、b确定的平面，该命题应打“”.答案：(1) (2) (3) (4) (5)2.直线l平面，直线m，则有( )A.l和m异面 B.l和m相交 C.lm D.l不平行于m解析：直线l平面,则l和平面有且只有一个交点即垂足P，平面内任一直线m经过P时，l和m相交，直线m不经过P时，由异面直线的判定定理知,l和m异面，故l和m不会平行.答案：D3.如图(1)，在正方形
24、SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图(2)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是( )A.SG平面EFG B.SD平面EFGC.GF平面SEF D.GD平面SEF解析:(1)(直接法)在图(1)中，SG1G1E，SG3G3F，右图(2)中，SGGE，SGGF，SG平面EFG.(2)(排除法)GF即G3F不垂直于SF，可以否定C；在GSD中，GS=a(正方形边长)，GD=,SD=,SG2SD2+GD2,SDG90,从而否定B和D.答案：A4.已知m、n为异面直线，m平面,n,直线lm,ln
25、,则( )A.l B.l和不垂直C.l可能与垂直 D.以上都不对解析：在内取一点P，则m和P确定一个平面，设=m.m,mm.lm,lm. n和P确定一个平面，设=n,n,nn.ln,ln.m和n是异面直线，m和n相交于P.l.答案：A5.如图，BC是RtABC的斜边，AP平面ABC，连结PB、PC，作PDBC于点D，连结AD，则图中共有直角三角形_个.解析：RtPAB、RtPAC、RtABC、RtADP.可证BC平面APD，由BCAD，BCPD可证RtPBD、RtPDC、RtADB、RtADC共8个.答案：86.如图，=CD,EA,垂足A，EB，垂足B.求证：CDAB.解析：EA,CD,根据直
26、线和平面垂直的定义，则有CDEA.同样EB，CD,则有EBCD.又EAEB=E，根据直线和平面垂直判定定理，则有CD平面AEB.又AB平面AEB，CDAB.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O平面PAC.解析：使B1O垂直于平面PAC中的两条相交直线.证明：连结AB1、CB1，设AB=1.因为AB1=CB1=，AO=CO，所以B1OAC.连结PB1.因为OB12=OB2+BB12=，PB12=PD12+B1D12=，OP2=PD2+DO2=，所以OB12+OP2=PB12.所以B1OPO.所以B1O平面PAC.8.(1)二面角指的是( )
27、A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90的角(2)下列说法错误的是( )A.过二面角的棱上某一特殊点，分别在两个半平面内引垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角即为二面角的平面角B.和二面角的棱垂直的平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角C.在二面角的一个面内引棱的垂线，该垂线与其在另一面内的射影所成的角是二面角的平面角D.二面角的平面角可以是一个锐角、一个直角或一个钝角解析：(1)根据二面角的定义讨论，故选C.(2)一一判断，可以发现应该选C.因为按C中所给的方法，当二面角是一个锐角时
28、，得到的确实是二面角的平面角；但当二面角是一个直二面角时，得到的是一个零度角；当二面角是一个钝角时，得到的是二面角平面角的一个补角.即C中方法不具有普遍适用性.答案：(1)C (2)C9.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系是( )A.相等 B.互补C.相等或互补 D.大小关系不确定解析：如下图答案：C10.已知D、E分别是正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.解析：如图，在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F，则F是面D
29、EC1与面A1B1C1的公共点，C1F为这两个平面的交线，所求二面角就是DC1FA1的平面角.A1DB1E，且A1D=2B1E，E、B1分别为DF和A1F的中点.A1B1=B1C1=A1C1，FC1A1C1.又面AA1C1CA1B1C1，FC1面A1B1C1,FC1面AA1C1C，而DC1面AA1C1C，FC1DC1.DC1A1是二面角D-FC1-A1的平面角，由已知A1D=B1C1=A1C1，DC1A1=.故所求二面角的大小为.11.河堤斜面与水平面所成的二面角为60，堤面上有一条直道CD，它与堤脚的水平线AB的夹角为30，沿这条直道从堤脚向上行走10 m时人升高了_米( )A.2.5 B.
30、5.5 C.7 D.7.5解析：取CD上一点E，设CE=10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度.作EFAB于F，则EG=EFsin60=CEsin30sin60 = (m).答案：D12.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析：在平面PAB中，ADAB,ADPA且AB，PA面PABAD面PAB面PAD面PABBCAD
31、BC面PAB面PBC面PAB答案：A13.已知m、l是直线，a、是平面，给出下列命题：(1)若l垂直于内两条相交直线，则l;(2)若l平行于，则l平行于内的所有直线；(3)若m，l,且lm,则；(4)若l，且l,则；(5)若m，l，且，则lm.其中正确的命题的序号是( )解析：本题考查线与线、线与面、面与面的位置关系.命题(1)是线面垂直的判定定理，所以正确；命题(2)，l,但l不能平行于内所有直线；命题(3)，lm,不能保证l，即分别包含l与m的平面、可能平行也可能相交而不垂直；命题(4)，为面面垂直的判定定理，所以正确；命题(5)，,但分别在、内的直线l与m可能平行，也可能异面.答案：(1
32、)、(4)14.在空间，下列哪些命题是正确的( )平行于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一个平面的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两条直线互相平行A.仅不正确 B.仅正确C.仅正确 D.四个命题都正确解析：该命题就是平行公理，因此该命题是正确的.如图(1)，直线a平面,b,c,且bc=A,则ab,ac,即平面内两条相交直线b,c都垂直于同一条直线a,但b,c的位置关系并不是平行，另外，b,c的位置关系也可以是异面，如果把直线b平移到平面外，此时，与a的位置关系仍是垂直，但此时b,c的位置关系是异面.如图(2)，在正方体ABCDA1B1C1D1中，易知A1
33、B1平面ABCD，A1D1平面ABCD，但A1B1A1D1=A1，因此该命题是错误的，该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的.综上可知、正确.(1) (2)答案：B15.课本在证明直线与平面垂直的性质定理时采用的方法是反证法.请思考在什么情况下我们要使用反证法，它的步骤是什么?答：反证法一般用于从正面入手很难考虑的时候，如题目中有“不可能”、“没有”、“至少”、“至多”等词语时，很难直接应用定理或公式，这时它们的反面往往只有一种情况，只要将这一种情况否定了，命题便得到证明.反证法的证题步骤是：(1)假设命题结论的反面成立;(2)从这个假设出发，一步步推导出与某个定理、公式或已知条件相矛盾的结
34、论；(3)肯定原命题结论正确.16.判断下列命题的真假两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直.解析：若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图(1)，正方体AC1中，平面AC平面AD1，平面AC平面AD1=AD，在AD上取点A，连结AB1，则AB1AD，即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内.可以看出：线在面内这一条件的重要性.该命题注意了直线在平面内，但
35、不能保证这两条直线都与棱垂直，如图(2)，在正方体AC1中，平面AD1平面AC，AD1平面ADD1A1,AB平面ABCD，且ABAD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；如图(2)，正方体AC1中，平面ADD1A1平面ABCD，AD1平面ADD1A1，AC平面ABCD，AD1与AC所成的角为60，即AD1与AC不垂直.答案：假 假 假17.在下列命题中，假命题是( )A.若平面内的一条直线垂直于平面内的任一直线，则B.若平面内任一直线平行于平面，则C.若平面平面，任取直线l,则必有lD.若平面平面,任取直线l,则必有l解析：A中，直线l,l,所以，A为真命题；B中，在内取两
36、相交直线，则此二直线平行于，则，B为真命题；D为两平面平行的性质，为真命题；C为假命题，l只有在垂直交线时才有l，否则l不垂直，故应选C.答案：C18.已知平面平面，=l，直线a,直线b,且a、b都不与l垂直，求证：a与b不垂直.解析：假设ab,在内作直线m，使ml,a与l不垂直a与m相交.,m.又b,.这和b与l不垂直矛盾，a与b不垂直.点评：添加辅助线m是证题的关键.19.如图，ABC为正三角形，CE平面ABC，BDCE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：DE=DA;平面BDM平面ECA；平面DEA平面ECA.证明：取EC的中点F，连结DF.CE平面ABC，CEBC.易知DFBC，CEDF.BDCE，BD平面ABC.在RtEFD和RtDBA中，EF=CE=DB,DF=BC=AB,RtEFDRtDBA,故DE=AD.取AC的中点N，连结MN、BN，则MNCF.BD，MNBD，N平面BDM.EC平面ABC，ECBN.又ACBN,BN平面ECA.又BN平面MNBD，平面BDM平面ECA.DMBN，BN平面ECA，DM平面ECA.又DM平面DEA，平面DEA平面ECA.点评：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，这里证明的关键是BN平面ECA，在这里应充分体会线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系.