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1、.OC1D1B1A1 DCBA虹口区 2017 学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学 试卷 （时间 120 分钟，满分 150 分） 2018.4一填空题（16 题每小题 4 分，712 题每小题 5 分，本大题满分 54 分）1已知 ， ，且 ，则实数 的范围是 (,Aa1,2BABa2直线 与直线 互相平行，则实数 )0xy20xay3已知 ， ，则 (,3cos5tn()44长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为 ， ， ，则222coscs5已知函数 ，则 0()1xf1(9)f6从集合 随机取一个为 ，从集合 随机取一个为 ，则方程1,2,3m2,1,n表示双曲线
2、的概率为 2xymn7已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则 _naq2a43q8若将函数 表示成 则 的值等于 6()fx 23601()()()()()fxxaax 39如图，长方体 的边长 ， ，它的外接球是球 ，则1ABCD1AB， 这两点的球面距离等于 A110椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_. mn11 是不超过 的最大整数，则方程 满足 的所有实数解是 x 271()04xxx 12函数 ，对于 且 （ ） ，记()sinfx123n 12,8n 10n，则 的最大值等于 1234()()()()Mfxffxffx M二选
3、择题（每小题 5 分，满分 20 分）.13下列函数是奇函数的是（ ） .A()1fx.B()sincofxx.C()arcosfx.D0()xf14在 中， ，点 、 是线段 的三等分点，点 在线段 上运动且满足RtCAMNAPBC，当 取得最小值时，实数 的值为（ ）PkPNk.A12.B13.14.1815直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，过点 ， 分别作:0lkxy2xyAB42AAB的垂线与 轴交于点 ， ，则 等于（ ）lMN4 8.A2.B.C2.D16已知数列 的首项 ，且 ， ， 是此数列的前 项和，na1a04146nnanSn则以下结论正确的是（ ）不存在 和 使得 不存
4、在 和 使得.A25nS.Ban2016n不存在 和 使得 不存在 和 使得Ca017D8S三解答题（本大题满分 76 分）17 （本题满分 14 分.第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分.）如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形， ,1ABC 2BAC，高等于 3，点 ， ， ， 为所在线段的三等分点1M21N2（1）求此三棱柱的体积和三棱锥 的体积；12MN（2）求异面直线 ， 所成的角的大小12A18 （本题满分 14 分.第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分.）已知 中，角 所对应的边分别为 ，BC, ,abc cosinzA（ 是虚数单位）是方程 的根， .i20z3（1）
5、若 ，求边长 的值；4c P2P1 C1B1A1 N2N1M2M1 CBA.（2）求 面积的最大值.ABC19 （本题满分 14 分.第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.）平面内的“向量列” ，如果对于任意的正整数 ，均有 ，则称此“向量列”为“等nan1nad差向量列” ， 称为“公差向量”.平面内的“向量列” ，如果 且对于任意的正整数 ，均有d b0n（ ） ，则称此“向量列”为“等比向量列” ，常数 称为“公比”.1nnbq0 q（1）如果“向量列” 是“等差向量列” ，用 和“公差向量” 表示 ；na1ad12na（2）已知 是“等差向量列” ， “公差向量” ， ， ； 是
6、n (3,0)d1(,)(,)nxyb“等比向量列” ， “公比” ， ， .求 2q1(,)b,nnmk2bb20 （本题满分 16 分.第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 7 分.）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆 ，点 是2:1xCy(,)Mmn椭圆 上的任意一点，直线 过点 且是椭圆 的“切线”.ClMC（1）证明：过椭圆 上的点 的“切线”方程是 ； (,)mn12mxny（2）设 ， 是椭圆 长轴上的两个端点，点 不在坐标轴上，直线 ， 分别交 轴ABC(,)ABy于点 ， ，过 的椭圆 的“切线” 交 轴于点 ，证明：点 是线段
7、 的中点；PQlyDPQ.OF2F1 BA xy（3）点 不在 轴上，记椭圆 的两个焦点分别为 和 ，判断过 的椭圆 的“切线”(,)MmnxC1F2MC与直线 ， 所成夹角是否相等？并说明理由l1F221 （本题满分 18 分.第（1）小题 3 分，第（2）小题 7 分，第（3）小题 8 分.）已知函数 （ ， ） ， （ ）.3()fxaaRx()1xgR（1）如果 是关于 的不等式 的解，求实数 的取值范围；42x()0fa（2）判断 在 和 的单调性，并说明理由；()gx31,34,1)2（3）证明：函数 存在零点 q，使得 成立的充要条件f 4732naqq 是 4a虹口区 2017
8、 学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题（16 题每小题 4 分，712 题每小题 5 分，本大题满分 54 分）1、 ； 2、2； 3、 ； 4、2； 5、 ； 6、 ； 7、 或 ； a121128、20； 9、 ； 10、 ； 11、 或 ； 12、16； mn1x二、选择题（每小题 5 分，满分 20 分）13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、 ；BCDA三、解答题（本大题满分 76 分）17、 （14 分）解:（1） ， 212ABCS13ABCV分， 到平面 的距离等于 ，即 到平面132AMS112NP2P1 C1B1A1 N2N1M2M1 CBA
9、.的距离等于 ， 1AB1122132AMNAV三棱柱 的体积等于 （立方单位） ，三棱锥 的体积等于 （立方单位）CB312AMN17 分（2）取线段 的三等分点 ， ，连 ， .1A1P2121PC ， ， 的大小等于异面直线 ， 所成的角或其补角的1NPCM12AN1大小.9 分， ， .121A1226C.216cosPC异面直线 ， 所成的角的大小等于 .14 分12N1M318、 （14 分）解：（1） 的两个根为 .2 分20z12zi， ， .4 分cos2A3sinA， ，得 7 分562ii14CsinicaC326c（2） .22oabcA，从而 ，等号当 时成立，此时9
10、bc9bc. 的面积的最大值等于 .14 分max193sin24SbcBC3419、 （14 分）解：（1）设 ， .(,)nnaxy12(,)d由 ，得 ，所以数列 是以 为首项，公差为 的等差数列；数列1nad112nynx11d是以 首项，公差为 的等差数列. 3 分ny122112,)（nnnaxxyy .112112(),()(,)(),)2 2nxdnydnxynd.6 分a（2）设 ， .(,)nnxy(,)nbmk由 ，从而 ，11 11(,)(3,0)nnxyxy 13nx.数列 是以 1 为首项，公差为 3 的等差数列，从而 .数列 是常数列，0nynx 2xy.由 得
11、， ，又 ， ， 数列 是以 1 为首项，公比为12nb1nnm12nk1m13knm2 的等比数列；数列 是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列，从而有 ， .10 分k 232nk121 1n n naabxxyky 令 211247(3)n nSxm .347()n-得， ，得21(2)nn 5()2nS令 123()nnnnTykyk从而 14 分12 (2)nnnababST20、 （16 分解：（1）由点 在椭圆 上，有 ， 在直线 上(,)MmC21m(,)Mmn12xny当 时，由 ，得 ，直线方程为 ，代入椭圆方程得 ，得0n21n2x20y一个交点 ，直线 是椭圆 切线.
12、,)（ ml当 时，有 ，直线为 代入椭圆方程得 ，有0n21n12myxn2210xmn，直线是椭圆 切线.4 分22214()0C.另解：不讨论将椭圆方程化为 ，将直线方程 代入消 ，得到 的一元22nxyn12mxnyyx二次方程，然后证明 0（2） 点 不在坐标轴上， ，得 . (,)Mmn:()2AMyxm(0,)2nP，得 6 分:(2)Byx(0,)nQ过点 的切线为 ，得 .由 ，得 ，从而有(,)mn:1ly1(0,)D21n22mn， 点 是线段 的中点.9 分224PQnymPQ（3） , , 的方向向量 ，()Mn:1xlyl(2,)dn. ， ， ， ，记 与 的夹2
13、1m,0）F2(,） 1,MFm2(1,)MFmnd1MF角 ， 与 的夹角 .12 分d2，122 22()cos4(1) 44nnMnFmm ，222 22()cs()dnnnm 所以 ，有 ，从而有 与直线 ， 所成的夹角相等.16 分oscl1MF221、 （18 分）解：(1) 由 ，得 3 分334()()02aa34（2）设 ，21x121211332()()()xxxgx 当 时， ， ， ， ， ，3124210x1012x3124x有 ， ， .6 分()x2()2()g.当 时， ， ， ， ， ，31240x210x32x310x312x31240x有 ， ， .2()
14、()()g当 时， ， ， ， ， .10x21x32x31xx12()21()gx在 递减，在 和 上递增，从而在 上递增.10 分()g34,4,0,)34,(3) 充分性：当 时，有 ，又 ，函数3a3334() 022af a(1)0f在 内的图像连续不断，故在 内一定存在零点 且 ， 有3()fxa31,)231,)q，得 ，从而 .14 分30q3q4732naqq 必要性：当 时， .0当 时，由 成立，可得 从而得 ，0q4732naqq 31q1q，由（ 2）中的结论可知 在 递减，在 递增，从而，31a3()1xg34(,4,)2或 .4()gx34()x从而 ， 时，有 .18 分31qa134a