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1、 T8广东实验中学 东北育才中学 石家庄二中 华中师大一附中 八校西南大学附中 南京师大附中 湖南师大附中 福州一中联考2021 届高三第一次联考数学试题命题学校：华中师大一附中命题人：田甜审题人：王雪冰 吴巨龙考试用时 120 分钟考试时间：2020 年 12 月 30 日上午 8:0010:00试卷满分 150 分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1+ i=i31若 zA，则 的虚部为z1- 2i151B i5353D i5C2已知集合 A，=x | x2 - 4x + 3 m，若 A B =x | x 1，则1B1
2、 m 3C1 m 3D1 m 3A m3斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90 的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为13813223ACBD1185131324 - ( -5 + 4) + 3 ,( 1)x -1A05已知DABCB1 或 4C1D41=1 AC = 3 cos A =中， AB，点 在直线 BC 上，且
3、满足：E4BE = 2AB + lAC(l R) ，则 AE |=|34B3 6AC3D6T8 联考数学试题 第 1 页 共 6 页 y2- =1F F1F6设双曲线 x2的左，右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线的左支交于点 A ，321 BFDABF的周长为与双曲线的渐近线在第一象限交于点B ，若 BF，则1224 3 + 24 3 - 24 + 2 34 - 2 3ABCDp7已知DABC中，角 A ， B 满足sin A- cos B + A+ B ，则下列结论一定正确的是2Asin A cosCCsin B cos BDsinC ( )x(0,1) log x log xAC，B，
4、xx231213111112x(0, ) ( ) x$x(0, ) ( ) log x，D，xx22321311已知等比数列a 首项a 1，公比为 ，前n 项和为 S ，前n 项积为T ，函数qn1nnT8 联考数学试题 第 2 页 共 6 页 f (x) = x(x + a )(x + a ) (x + a ) ，若 f(0) =1，则127lga 为单调递增的等差数列B0 q 1D使得 成立的n 的最大值为 611- qnn- A B CABC = 90 AB = BC =2 AA = 212在直三棱柱 ABC中，M 是BC 的中点，11112AQ= AM，S 是AC1B N1QAC AC
5、与N 是的中点，点 P 在线段上，点 在线段 AM 上 ，且3111/的交点，若 PS 面B AM1A1，则BP1N/ B QA PSC11B P 为 B N 的中点S1 PSC ACAB2- B AMQD三棱锥 PM的体积为31C三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分1B(n, )= 2 +1E(Y) = 4n13设随机变量 X，YX，若，则 =414武汉某学校的四名党员教师积极参加党员干部下沉社区的活动，在活动中他们会被随机分配、B、C到 A三个社区若每个社区至少分配一名党员教师，且教师甲必须分配到A 社区，共有种不同的分配方案15我国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章
6、中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，14c + a -b222S =c a - () 2 （其中 S 为三角形的面积，开平方得积把以上文字写成公式，即222a,b,c 为三角形的三边）在非直角DABCa,b,cA, B,C 所对应的三边，若a = 3，中，为内角= c(cos B + 3 cosC)DABC=的面积最大时，c且 a，则a(x) = ae + ln- 2(a 0)f (x) 0恒成立，则实数a 的取值范围16已知函数 fx，若x + 2为T8 联考数学试题 第 3 页 共 6 页 四、解答题：
7、本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知a 为等差数列，b 为等比数列，b 的前n 项和为 ，且a = b =1，Snnnn11a = a -b ， a = S + b 233332a b （1）求数列，的通项公式；nn5a bn=Tnc 的前 项和，求数列nS（2）设c， 为数列的前n 项和n n+1a an+1 n+25T + 2nnnp(x) = Asin(wx +j)(A 0,w 0)y = 2 sin(wx + )的图18（12 分）已知函数 f的图像是由3p像向右平移 个单位得到的3(x)f (x)y的与 轴距离最近的对称轴方程；（1
8、）若 f（2）若 f的最小正周期为p ，求p(x) ,p在上仅有一个零点，求w 的取值范围2= 519（12 分）如图所示为一个半圆柱，E 为半圆弧CD 上一点，CD= 2 5-，求四棱锥 E ABCD 的体积的最大值；（1）若 AD2AD 与 BE 所成角的正弦值为 ；（2）有三个条件：4DE DC = EC DC；直线3sin EAB6=sin EBA 2请你从中选择两个作为条件，求直线 AD 与平面 EAB 所成角的余弦值EDCABT8 联考数学试题 第 4 页 共 6 页 20（12 分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017 年发布了生活垃圾分类制度实施方案，规定 46 个城市在
9、2020 年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达 35%以上截至 2019年底，这 46 个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近 70%武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320 个社区中随机抽取 50 个社区，对这50 个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28 吨/天的确定为“超标”社区：垃圾量12.5,15.5)15.5,18.5)18.5,21.5)21.5,24.5)24.5,27.5)27.5,30.5)30.5,33.5X频数56912864（1）通过频数分布表估算出这 50
10、个社区这一天垃圾量的平均值 （精确到 0.1）；x(m,s )2（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N，其中= 5.2m 近似为（1）中的样本平均值 ，s 近似为样本方差 ，经计算得 s请利用正态分布x2s 2知识估计这 320 个社区中“超标”社区的个数（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50 个社区中这一天共有 8 个“超标”社区，市政府决定对这 8 个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查现计划在这8 个“超标”社区中任取 5 个先进行跟踪调查，设 Y 为抽到的这一天的垃圾量至少为 30.5 吨的社区个数，求Y 的分布列与数学期望(m -s X m +s)
11、0.6827 P(m - 2s X m + 2s) 0.9545； ；（参考数据： PP(m -3s b 0)M : y = 4x有公共的焦点，且抛物线21（12 分）已知椭圆C与抛物线2a b22的准线被椭圆截得的弦长为 3（1）求椭圆 的方程；C（2）过椭圆C 的右焦点作一条斜率为k(k 0)的直线交椭圆于A, B两点，交 y 轴于点 E ，P 为弦 AB 的中点，过点 E 作直线OP 的垂线交OP 于点Q ，问是否存在一定点 ，使得H的长QH度为定值？若存在，则求出点 ，若不存在，请说明理由Hln x + m(x) =22（12 分）已知函数 fx2=1( )时，求 f x 的最大值；（
12、1）当m(x) = m - ln x（2）讨论关于 的方程 f的实根的个数xT8 联考数学试题 第 6 页 共 6 页 2021 届 T8 第一次联考数学试题参考答案一、选择题：题号答案123456789101112ABCCDCCDBC ABC BCD ACD二、填空题：13614 1215 316(e,+)部分选填题解答：e2x - e-2x8解：对于选项 A： =sinh xcosh x =是奇函数，所以 A 错误；y4e + e e + ee -e e -ex-xy- yx-xy- y对于选项 B：cosh xcosh y -sinh xsinh y =e + e + e + e e +
13、 e-2222- e - ee + ex-yx+ y-x-yx-yy-xx+ y-x-yx-yy-xy-x=-= cosh(x - y)，442所以 B 错误；e + ee - em-mm-m对于选项 C、D：设 A(m,) B(m,，)，22e + ee - em-mm-m(x - m)C-=则曲线 在点 A 处的切线方程为： y，221e - ee + em-mm-m(x - m)C-=曲线 在点 B 处的切线方程为： y，222e - e(e + e )m-mm-m 2(m +1,e )|，则 BP| =1+ (e -) =1+2联立求得点 P 的坐标为，m2m2411S= | AB |
14、= e ，所以| BP |D mPAB 的面积随 的-mm随 的增大而先减小后增大，22DPAB增大而减小，所以 C 错误，D 正确(x) = (x + a )(x + a ) (x + a )f (x) = xg(x)，11解：令 g，则127 f (x) = g(x) + xg(x) f (0) = g(0) = a a a =1a ，因为是等比数列，所以1 27n=1，即 a =1= a q3 ， a1 0 q 1，a a a = a7，B 正确；1 274411lga = lga q = lga + (n -1)lg q lga 是公差为lgqn-1，的递减等差数列，A 错误；n11n
15、aaa q1q -1aa q1q -1S -n=(1- q -1) =qS -是首项为1 0 q 1 0 a 1nn 3，5，时，n时，14nnT=1，T = a a a = a=1，n 8 时，T= T a a a 11成立的n 的最大值为 6，D 正确7，所以使得T6a7nT8 联考数学试题答案第 1 页 共 8 页 12解：对于选项 A：连接交 NS 交 AC 于G 点，连接 BG ，22= BC=BGQ=PS BBNGBG ，因 为 面 ，则由 AB，AQAM ，可得必过点 ，且 BQ331PS / 面AMB 面AMB 面BB NG = B QPS / B Q A， 正确；，所以111
16、11B： PS / B Q NPS = NBQ = B QB RtDPNS RtDQBB对于选项，111PN NS 111 21A1=BQ BB=B1= BQ = BG = B N，即 PN，P222 331N1为靠近 N 的三等分点， 错误；PBC1 NG AC BG，对于选项 C： AC，S AC 面BB NG， AC PS，C 正确；1B P / BQ1B P = BQ BB PQ，对于选项 D：，且是矩形， AB111123QMGV=V=V= 2 21=，D 正确C32P-AB MB-AB MB -ABM11115解：a csin A = sin(B + C) = sin BcosC
17、+ cos BsinC=(cos B + 3 cosC) sin A = sinC(cos B + 3 cosC)， ，化简得cosC sin B = 3sin C cosC ，QDABC 非直角三角形，cosC 0sin B = 3sin C ，即b = 3c ，14c + a -b1 - 4c + 72c -8122242S =c a - () =2，当且仅当 c2 = 9 ，即 c = 322224时， S 有最大值af (x) = ae + ln- 2 016解：Q，则ex+lna a x ，+ ln ln( + 2) + 2xx + 2x两边加上 得到 ex+lna x+ + ln
18、+ 2+ ln( + 2)=+ ln( + 2)= +， y e x 单xxexxln(x+ 2)x调递增，x + ln a ln(x + 2) ，即ln a ln(x + 2) - x，1- x -1( )( )g x = ln(x + 2) - x ，则 g x =-1= (-2,-1)， x( ) 0时， g x，令x + 2x +1g(x)x(-1,+) g(x) g(x) = g(-1) =1 a e，max四、解答题：17解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， a= a -b a = S + b，233332 =d q = 2 = 0q q2或，解得：（舍去），1
19、+ 2d =1+ q + q + qd = 4 d = 02a = 4n -3= 2n-1 ，b4 分nn是等差数列，所以a na ba + a = 2ab = 2b（2），又由（1）知：，nn+2n+1n+2n+1(2a - a )b2bbn+1bbc =-=-n+2n n+1n+1n+2n+1n+1n+1 ， 6 分a aa an+1 n+2aan+1an+2ann+1 n+2n+2n+1T8 联考数学试题答案第 2 页 共 8 页 2bb2n+154n + 5，=，8 分T = c + c + + c =- =-n+225T + 22n+1a 4n + 5 5n12nan+22n111=
20、 9( ) +13( ) + + (4n +5)( )则 S23n+1212121n12S = 9( ) +13( ) + + (4n + 5)( )34n+2222n由得：111111S = 9( ) + 4( ) + ( ) + + ( ) - (4n + 5)( )234n+1n+2222222n111- ( ) n1151142= 5( ) + 4- (4n + 5)( ) = + 21- ( ) - (4n + 5)( )2n+ 2nn+ 21224221-211 3= - ( 4n + 1 3 ) ( )n+2，42131S = - (4n +13)( )10 分n+122n2p(
21、x)p， wp = = 218解：（1）因为 f2 分4 分的最小正周期为 ，wpp的图像向右平移 个单位得到，f (x)= 2 sin( x +w)的图像是由y33p pp f (x) = 2 sin x - +w()f x = 2 sin(2x -( )，即，3 33ppp 5pk2x - = kp + ,k Z( )f xx =+， k Z ， 分令，得的对称轴方程为5322 12p 5pkp 5pkx =+Z|+|最小，y）与 轴距离最近，则须要使直线（ k2 122 12ppk = -1，此时对称轴方程为 x = -，即所求对称轴方程为 x= - 6 分1212p p(x) = 2
22、sinw(x - ) + （2）由已知得： f，3 3ppp ppk +w-f (x) = 0 得：wxw p,= k k Z+ -令，即3w3，8 分x=,k Z3 3T8 联考数学试题答案第 3 页 共 8 页 pppw-k + p3w3pp2pp(k -1)p + w -p33f (x) ,p上仅有一个零点， 0，在， w2w2p(k +1 )p + w -3p3pw3k -1w 6 2 k - 6 - 2 0k23 -1k13w 6 8 k - 6k - 20 ， ，解得：k23k + 2w 3k + 26k -8 225k Z ，k =1，1 w12 分2 CDABCD 19解：（1
23、）在平面 EDC 内作 EF于点 ，因为平面平面 EDC ，平面2 分F，所以 EF 平面 ABCD ，= DCABCD平面 EDC ED因为 E 为半圆弧CD 上一点，所以CE，11CE ED 2 5= S EF = 52 5 =CE ED所以V因为CEV， 4 分33CD3E-ABCDABCDE+ ED = CD = 5，2222 5 CE + ED2 5 5 5 5DC22F= =3 2，321023E-ABCD= ED =当且仅当CE所以四棱锥 E时等号成立，5 53AB- ABCDG的体积的最大值为6 分（2）由条件得：4 | DE | DC | cosCDE =| CE | DC
24、| cosDCE，即4DE = CE2 ，22DE = CE由条件得：因为 ADDE + CE = 5DE =1 CE = 2，所以 ， ，所以，又因为22/ BC BC DCE ，所以CBEAD 与 BE 所成，平面为直线2 CE CE，2角，且sin CBE = = tanCBE =，3 BE BC5sin EAB EB6x + CE32222=AD = x=由条件得：，设，则，sin EBA EA 2x + DE2T8 联考数学试题答案第 4 页 共 8 页 CEBC22DE =1，CE = 2，且= tan CBE = BC = 5，所以 AD ，若选条件，则5x + CE3222=1
25、 CE = 2，=AD = BC = x = 5，所以 ，若选条件，则 DE，且x + DE2CE2x + CE223= tan CBE =DE + CE = 5， ，若选条件，则，且225x + DE22x2= BC = x = 5所以 AD，= BC = 5即从任选两个作为条件，都可以得到AD下面求 AD 与平面 EAB 所成角的正弦值：，9 分方法一：设点 D 到平面 EAB的距离为 ， AD 与平面 EAB 所成角为q ，则由h2 1 5 55V=V得： hS= EF S=h =，所以，5 2D-EABE-DABDEABDDABSDEAB在平面 ABCD 内 AB作 FG的射影，所以
26、EGGEGEF ABCD 知 FG 是 EG于点 ，连接，则由平面 AB，111229S= AB EG = 5 EF + FG = 5 ( ) + ( 5) =2222，22252DEAB52 529h2h =sin =，q，29SADDEAB5 2929所以 AD 与平面 EAB 所成角的余弦值为12 分方法二：以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，5 2 5( 5,0,0) D(0,0, 5) E( , 5)，则 B，zE555 2 5DC AE = ( , 5) AB = ( 5,0,0)，F，55= (x, y, z)设平面 EAB 的法向量为m，y52 55 x +y + 5
27、z = 05则 ，ABx5x = 0552，=1，则 m = (0,- ,1) cos =，令 z2254295 1+pAD 与平面 EAB 所成角= - ，25 29所以 AD 与平面 EAB 所成角的余弦值为29T8 联考数学试题答案第 5 页 共 8 页 20解：（1）由频数分布表得：145+176 + 209 + 2312 + 268+ 296 + 324x = 22.76 22.8，50所以这 50 个社区这一天垃圾量的平均值为22.8 吨3 分= 22.8s = 5.2 = s = 5.2，（2）由（1）知 m， s1- 0.6827P(X 28) = P(X + =m s)= 0
28、.15865，5 分23200.15865 = 50.768 51，所以这 320 个社区中 “超标”社区的个数为 51（3）由频数分布表知：8 个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.57 分吨的社区有 4 个，C C11C C2374434所以Y 的可能取值为1,2,3,4，且P(Y =1) =，P(Y = 2) =，44C14C5588C C33C C412414P(Y = 3) = ， P(Y = 4) =，10 分44C7C14558所以Y 的分布列为：8Y1234137371P14141331 5E(Y) =1 + 2 + 3 + 4 =12 分147714 2xy2221解：（
29、1） + = 与 y1= 41x 有相同的焦点，所以a -b =222，a b222b2又 抛物线的准线被椭圆截得的弦长为 3，= 3，ax2y2= 2= 3C+ =1解得a，b，所以曲线 的方程为4 分4 3AB : y = k(x -1) A(x , y ) B(x , y )，（2）设直线，1122xy22 + =1联立直线与椭圆方程 43y，消去 得：(3+ 4k )x -8k x + 4k -12 = 0，222y = k(x -1)8k4k -1222+ x =x x =1 2则 x，6 分3+ 4k3+ 4k12224ky + yx + x-3k3+ 4k3x + x2= k(-
30、1)=2=，1212123+ 4k22224k-3k2P 的坐标为(,)，直线OP : y = - x ，7 分3+ 4k 3+ 4k4k22y = k(x -1)中令 x得，y(0,-k)=0= -k ， E 的坐标为直线 AB 方程T8 联考数学试题答案第 6 页 共 8 页 4kEQ OP EQ，y=x - k因为直线的直线方程为，8 分3339= -x + x(x - ) + y =将联立相乘得到 y，即2222486433为圆心， 为半径的圆，( ,0)所以点Q 的轨迹为以10 分8833的长为定值 ( ,0)所以存在定点 H，使得QH12 分88ln x +12ln x +122解：（1）当m=1时， f (x) =， f (x) = -， 1 分x2x31，得 x e ，1x e 时， f x1， f x 单调递增， x e 时，( ) = 0令 f x=-0 0( )-222f e ( ) = ( -1 ) =e( ) 0f x( )， f x 单调递减， f x4 分22maxm(x -1)m(x -1)22(x) = m -ln x ln x -得= 0g(x) = ln x -（2）由 f，令，x +1x +12