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1、高一年级高一年级 数学数学第三章第三章 直线与方程直线与方程课题课题:点、直线的对称问题点、直线的对称问题求知索源 正心致远复习回顾复习回顾一、有关学问：一、有关学问：（一）基础学问（一）基础学问1、直线相互垂直的条件：、直线相互垂直的条件：_2、P1(x1，y1)、P2(x 2，y2)的中点坐标为的中点坐标为 _3、点、点(x o，yo)在直线在直线 Ax+By+C=0 上的上的条件是条件是 _斜率存在，斜率存在，k1k2=1Axo+Byo+C=0复习回顾复习回顾（1）点到直）点到直线线距离公式：距离公式：，（2）两平行直）两平行直线间线间的距离：的距离：，（二）回（二）回顾顾：留意：用留意
2、：用该该公式公式时应时应先将直先将直线线方程化方程化为为一般式；一般式；留意留意:运用此公式时直线方程要化成一般式运用此公式时直线方程要化成一般式,并且并且x、y项的系数要对应相等项的系数要对应相等.课题引入课题引入1、点关于点对称、点关于点对称2、直线关于点对称、直线关于点对称3、点关于直线对称、点关于直线对称4、直线关于直线对称、直线关于直线对称(三三)四类对称四类对称学问探究学问探究对对称称问问题题中心对称问题中心对称问题点关于点的对称点关于点的对称线关于点的对称线关于点的对称轴对称问题轴对称问题点关于线的对称点关于线的对称线关于线的对称线关于线的对称学问探究学问探究轴对称轴对称中心对称
3、中心对称有一条对称轴有一条对称轴:直线直线有一个对称中心有一个对称中心:点点定定义义沿轴翻转沿轴翻转180绕中心旋转绕中心旋转180翻转后重合翻转后重合旋转后重合旋转后重合性性质质1、两个图形是全等形、两个图形是全等形2、对称轴是对应点连、对称轴是对应点连线的垂直平分线线的垂直平分线3、对称线段或延长线相、对称线段或延长线相交，交点在对称轴上交，交点在对称轴上1、两个图形是全等形、两个图形是全等形2、对称点连线都经过、对称点连线都经过对称中心，并且被对称对称中心，并且被对称中心平分。中心平分。学问探究学问探究例例1.已知点已知点A(5,8)，B(-4，1)，试试求求A点关于点关于B点点的的对对
4、称点称点C的坐的坐标标.(一一)点关于点点关于点对对称称解解题题要点要点：中点公式的运用中点公式的运用ACBxyOC(-13，-6)-4=5+x 21=8+y 2解解:设设C(x,y)则则得得x=-13y=-6 学问探究学问探究例例2.求直求直线线l 1:3x-y-4=0关于点关于点P(2,-1)对对称的直称的直线线l 2的方程的方程.(二二)线关于点对称线关于点对称 解解题题要点：要点：法一：法一：l 2上的随意一点的上的随意一点的对对称点在称点在l 1上上;法二：法二：l1l2 点斜式或点斜式或对对称两点式称两点式;法三：法三：l 1/l 2且且P到两直到两直线线等距等距.解解：设：设A(
5、x，y)为为l2上随意一点上随意一点 则则A关于关于P的对称点的对称点A在在l1上上3(4-x)-(-2-y)-4=0即直线即直线l 2的方程为的方程为3x-y-10=0.Al2l1yxOPA 学问探究学问探究例例3.已知点已知点A的坐的坐标为标为(-4,4)，直，直线线l 的方程的方程为为3x+y-2=0,求点求点A关于直关于直线线l 的的对对称点称点A的坐的坐标标.（三）点关于直线对称（三）点关于直线对称解解题题要点要点：kl kAA=-1 AA中点在中点在l 上上 AAYXO(x，y)(2，6)-3y-4x-(-4)=-13-4+x 2+4+y 2-2=0解：解：设设A（x,y)（l为对
6、为对称称轴轴）学问探究学问探究例例4.试求直线试求直线l1:x-y+2=0关于直线关于直线 l2:x-y+1=0 对称的直线对称的直线l 的方程。的方程。（四）线关于线对称（四）线关于线对称L2L1L解：设解：设l方程为方程为x-y+m=0则则 与与 距离等于距离等于 与与 距离距离L1L2L2L建立等量关系，解方程求建立等量关系，解方程求mxoy学问探究学问探究例例5.试试求直求直线线l1:x-y-2=0关于直关于直线线 l2:3x-y+3=0对对称的直称的直线线l 的方程的方程.L1L2Lx-y-2=03x-y+3=0P L:7x+y+17=0.yXO解：解：P(，)-52-92得得在在
7、上任取一点上任取一点Q(2,0),求其关于求其关于 的对称点的对称点Q(x,y)L1 L2 Q(2,0),Q(x,y)3y-0 x-2=-13y+0 2+3=0则则X+22求出求出Q点坐标后，两点式求点坐标后，两点式求L方程方程.学问探究学问探究解题要点：解题要点：(先推断两直线位置关先推断两直线位置关系系)（1）若两直线相交，先求交点）若两直线相交，先求交点P,再在再在 上取一点上取一点Q求其对称点得另一点求其对称点得另一点Q两点式求两点式求L方程方程L1求求 关于关于 的对称直线的对称直线L的方程的方法的方程的方法L1L2则则 与与 距离等于距离等于 与与 距离距离L1L2L2L建立等量关
8、系，解方程求建立等量关系，解方程求m(2)若若 ，设，设L方程为方程为x-y+m=0L1L2规律方法规律方法（一）常见的对称点结论（一）常见的对称点结论 1.点点 关于原点的对称点为关于原点的对称点为 ;2.点点 关于点关于点 的对称点为的对称点为 ;3.点点 关于关于x轴的对称点为轴的对称点为 ;4.点点 关于关于y轴的对称点为轴的对称点为 ;5.点点 关于关于y=x的对称点为的对称点为 ;6.点点 关于关于y=-x的对称点为的对称点为 ;(-a,-b)(2m-a,2n-b)(a,-b)(b,a)(-b,-a)(-a,b)三、规律方法：三、规律方法：规律方法规律方法1.直线关于原点的对称直线
9、的方程为直线关于原点的对称直线的方程为:2.直线关于直线关于x轴的对称直线的方程为轴的对称直线的方程为:3.直线关于直线关于y轴的对称直线的方程为轴的对称直线的方程为:4.直线关于直线直线关于直线y=x的对称直线的方程为的对称直线的方程为:5.直线关于直线直线关于直线y=-x的对称直线的的对称直线的 方程为方程为（二）常用的对称直线结论（二）常用的对称直线结论:巩固练习巩固练习1.平面直角坐标系中直线平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点关于点(1,1)对称的直线对称的直线方程是方程是()(A)y=2x-1(B)y=-2x+1 (C)y=-2x+3 (D)y=2x-322.直线直线3x-4y+
10、5=0关于关于x轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为()(A)3x+4y+5=0 (B)3x+4y-5=0(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0巩固练习巩固练习3.填空填空:写出直写出直线线2x-3y+6=0(1)关于关于x轴对轴对称的直称的直线线方程方程为为_;(2)关于关于y轴对轴对称的直称的直线线方程方程为为_;(3)关于原点关于原点对对称的直称的直线线方程方程为为_;(4)关于直关于直线线y=x对对称的直称的直线线方程方程为为_;(5)关于直关于直线线y=-x对对称的直称的直线线方程方程为为_.2x+3y+6=02x+3y-6=02x-3y-6=02y-3x+6=02y
11、-3x-6=0备用练习备用练习5.求直线求直线 :y=2x+3关于直线关于直线l:y=x+1对称对称的直线的的直线的 方程方程.6.ABC的顶点的顶点A的坐标为（的坐标为（1，4），），B，C平分平分线的方程分别为线的方程分别为x-2y=0和和x+y-1=0，求，求BC所在直线的所在直线的方程。方程。备用练习备用练习7.一束光一束光线线从点从点P（1，-3）动动身，身，经过经过直直线线l:8x+6y-25=0反射后通反射后通过过点点Q（-4，3）.(1)求反射光求反射光线线所在直所在直线线的方程；的方程；(2)求反射点求反射点M的坐的坐标标；(3)求光求光线经过线经过的路程。的路程。课堂小结课堂小结作业布置作业布置