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1、B-M B-M 算 法1线性移存器线性移存器（一）解方程法（一）解方程法 已知序列a是由n级线性移存器产生的，且知a的连续2n位，可用解线性方程组的方法得到线性递推式。例：设a=01111000是4级线性移存器产生的序列的8个连续信号，求该移存器的线性递推式。2解：产生 a=01111000的联系的联系 多项式多项式v设其联结多项式f(x)=1+c1x+c2x2+c3x3+x4v线性递推式at=at-4+c3at-3+c2at-2+c1at-1v0+c3+c2+c1=1v1+c3+c2+c1=0v1+c3+c2+0=0v1+c3+0+0=0v解得：c3=1；c2=0；c1=0v故其联结多项式为
2、1+x3+x43（二）、（二）、B-MB-M迭代算法迭代算法 依据密码学的须要，对线性反馈移位寄存器依据密码学的须要，对线性反馈移位寄存器(LFSR)(LFSR)主要考虑下面两个问题：主要考虑下面两个问题：（1）如何利用级数尽可能短的LFSR产生周期大、随机性能良好的序列，即固定级数时，什么样的移存器序列周期最长。这是从密钥生成角度考虑，用最小的代价产生尽可能好的、参与密码变换的序列。（2）当已知一个长为N序列a时，如何构造一个级数尽可能小的LFSR来产生它。这是从密码分析角度来考虑，要想用线性方法重构密钥序列所必需付出的最小代价。这个问题可通过B-M算法来解决。41 1、概念简介、概念简介设
3、 是 上的长度为N的序列，而 是 上的多项式，c0=1.如果f(x)是一个能产生a并且级数最小的线性移位寄存器的联系多项式，l是该移存器的级数，则称 为序序列列a的的线性综合解线性综合解。如果序列中的元素满足递推关系：则称 产生二元序列a。其中 表示以f(x)为联系多项式的l级线性移位寄存器。5 线性移位寄存器的综合问题可表述为：给定一个线性移位寄存器的综合问题可表述为：给定一个N N长长二元序列二元序列a a，如何求出产生这一序列的最小级数的线性移，如何求出产生这一序列的最小级数的线性移位寄存器，即最短的线性移存器？位寄存器，即最短的线性移存器？几点说明：几点说明：2、规定：规定：0级线性移
4、位寄存器是以级线性移位寄存器是以f(x)=1)=1为联系多项式的线为联系多项式的线性移位寄存器，且性移位寄存器，且n长长(n=1,2,N)全零序列，仅由全零序列，仅由0级线性移级线性移位寄存器产生。位寄存器产生。事实上，以f(x)=1为联系多项式的递归关系式是：ak=0，k=0,1,n-1.因此，这一规定是合理的。1、联系多项式、联系多项式f(x)的次数的次数l。因为产生。因为产生a且级数最小的线性移且级数最小的线性移位寄存器可能是退化的，在这种状况下位寄存器可能是退化的，在这种状况下 f(x)的次数的次数l；并且此时；并且此时 f(x)中的中的cl=0，因此在联系多项式，因此在联系多项式f(
5、x)中中c0=1，但不要求，但不要求cl=1。3、给定一个N长二元序列a，求能产生a并且级数最小的线性移位寄存器，就是求a的线性综合解的线性综合解。利用利用B-MB-M算法算法可以有效的求出。可以有效的求出。62、B-M算法要点算法要点用归纳法求出一系列线性移位寄存器：每一个 都是产生序列a的前n项的最短线性移位寄存器，在 的基础上构造相应的 ，使得 是产生给定序列前n+1项的最短移存器，则最终得到的 就是产生给定N长二元序列a的最短的线性移位寄存器。73 3、B-MB-M算法算法 1、取初始值：2、设 均已求得，且任意给定一个N长序列 ，按n归纳定义记：再计算：称dn为第n步差值。然后分两种
6、情形讨论：8最后得到的 便是产生序列a的最短线性移位寄存器。9B-M算法流程10例2、求产生周期为7的m序列一个周期：0011101的最短线性移位寄存器。4、实例实例解：设 ，首先取初值 f0(x)=1,l0=0，则由a0=0得d0=1a0=0从而 f1(x)=1,l1=0；同理由a1=0得d1=1a1=0从而 f2(x)=1,l2=0。由a2=1得d2=1a2=1，从而依据l0=l1=l2=0 知 f3(x)=1+x2+1=1+x3,l3=3 第1步，计算d3：d3=1a3+0a2+0a1+1a0=1因为l2l3，故m=2，由此11 第2步，计算d4：d4=1a4+1a3+0a2+1a1=0，从而 第3步，计算d5：d5=1a5+1a4+0a3+1a2=0，从而 第4步，计算d6：d6=1a6+1a5+0a4+1a3=0，从而这表明，即为产生所给序列一个周期的最短线性移位寄存器。12