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1、05-03 两角和与差、二倍角的公式（二）点一点明确目标掌握二倍角的三角函数公式，能熟练应用公式进行求值、化简、证明.做一做热身适应1.若f（tanx）=sin2x，则f（1）的值是 .解析：f（1）=ftan（）=sin=1.答案：-12.（2005年春季上海，13）若cos=，且（0，），则tan=_.解析一：由cos=，（0，），得sin=，tan=.解析二：tan=.答案：3.（2005年春季北京，11）已知sin+cos=，那么sin的值为_，cos2的值为_.解析：由sin+cos=，得1+sin=，sin=，cos2=12sin2=12=.答案： 4.下列各式中，值为的是A.si
2、n15cos15B.2cos21C.D.解析：=tan45=.答案：D5.设a=sin14+cos14，b=sin16+cos16，c=，则a、b、c的大小关系是A.abcB.acbC.bcaD.bac解析：a=sin59，c=sin60，b=sin61，acb.答案：B理一理疑难要点1.在公式S（+）、C（+）、T（+）中，当=时，就可得到公式S2、C2、T2，在公式S2、C2中角没有限制在T2中，只有当+且k+时，公式才成立.2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2.变形公式sin2=，cos2=.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用.3.
3、要重视对遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性；三角变换中体现出的每一步化归过程，均应以“合乎情理”为原则.拨一拨思路方法【例1】 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值，若x0，呢？剖析：注意sinx+cosx与sinxcosx之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解.解：令t=sinx+cosx=sin（x+），则y=t2+t+1，3+，即最大值为3+，最小值为.当x0，时，则t1，此时y的最大值是3+，而最小值是3.评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围.【例2】 已知sin（x）cos（x）=
4、，求cos4x的值.剖析：4x为2x的二倍角，2x为x的二倍角.解：由已知得sin（x）cos（x）=，cos2（x）=.sin2x=cos（2x）=2cos2（x）1=.cos4x=12sin22x=1=.【例3】 已知为第二象限角，cos+sin=，求sincos和sin2+cos2的值.解：由cos+sin=平方得1+2sincos=，即sin=，cos=.此时k+k+.cos+sin=0，sincos=0，cos0，sin0.为第三象限角.2k+2k+，kZ.sincos，即sincos0.sincos=，sin2+cos2=2sincos+12sin2=.评述：由三角函数值判断的范围
5、是关键.【例4】 （2004年东北三校高三第一次联考题）已知a=（cosx，sinx），b=（cos，sin），x0，.（1）求ab及|a+b|；（2）若f（x）=ab2|a+b|的最小值是，求的值.解：（1）ab=cosxcossinxsin=cos2x.|a+b|=2=2cosx（x0，）.（2）f（x）=cos2x4cosx=2（cosx）2122.x0，cosx0，1.当0，cosx=0时，f（x）min=1，矛盾.当01，cosx=时，f（x）min=122，由122=，得=.当1，cosx=1时，f（x）min=14，由14=，得=1，矛盾.综上，=为所求.练一练巩固提高1.若8c
6、os（+）cos（）=1，则sin4+cos4=_.解析：由已知得8sin（）cos（）=1，4sin（2）=1.cos2=.sin4+cos4=（sin2+cos2）22sin2cos2=1sin22=1（1cos22）=1（1）=1=.答案：2.若tanx=，则=_.解析：原式=23.答案：233.已知f（x）=，当（，）时，f（sin2）f（sin2）可化简为A.2sinB.2cosC.2sinD.2cos解析：f（sin2）f（sin2）=sincossin+cos.（，），1sincos0.cossin0，cos+sin0.原式=cossin+cos+sin=2cos.答案：D4.若
7、sincos=，求cossin的取值范围.解：令t=cossin，则t=sin2sin2.t=sin2sin2，.5.化简.解：原式= =tan.6.（2004年江苏，17）已知0，tan+cot=，求sin（）的值.解：由已知tan+cot=，得sin=.0，cos=.从而sin（）=sincoscossin=（43）.7.已知f（x）=2asin2x2asinx+a+b的定义域是0，值域是5，1，求a、b的值.解：令sinx=t，x0，t0，1，f（x）=g（t）=2at22at+a+b=2a（t）2+b.当a0时，则解之得a=6，b=5.当a0时，则解之得a=6，b=1.8.（2004年
8、湖北，17）已知6sin2+sincos2cos2=0，），求sin（2+）的值.分析：本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.解法一：由已知得（3sin+2cos）（2sincos）=03sin+2cos=0或2sincos=0.由已知条件可知cos0，所以，即（，）.于是tan0，tan=.sin（2+）=sin2cos+cos2sin=sincos+（cos2sin2）=+=+.将tan=代入上式得sin（2+）=+=+，即为所求.解法二：由已知条件可知cos0，则，原式可化为6tan2+tan2=0，即（3tan+2）（2tan1）=0.又（，）.tan0，tan=.下同解法一.想一想拓展发散将一块圆心角为120，半径为20 cm的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA上或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值.解：对图甲，设MOA=，则S1=200sin2.当=45时，（S1）max=200 cm2.对图乙，设MOA=，则S2=cos（260）cos60.当=30时，（S2）max= cm2.200，用乙种方法好.