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1、 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 二叉树模型入门创新 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 本章主要内容o二叉树模型的基本思想二叉树模型的基本思想o12.1 利用二叉树给期权定价利用二叉树给期权定价o12.2 风险中性定价风险中性定价o12.3 两步二叉树两步二叉树o12.4 看跌期权看跌期权o12.5 美式期权美式期权o12.6 Daltao12.7 u和和d的确定的确定o12.8二叉树其他问题二
2、叉树其他问题o课堂练习课堂练习Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.2 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 二项式期权定价模型二项式期权定价模型 p要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如何变动何变动p简单但非常有力的一个模型是二项式模型简单但非常有力的一个模型是二项式模型p-在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格只在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格
3、只能有两个可能的取值能有两个可能的取值n-当时间间隔足够短，这是很好的近似当时间间隔足够短，这是很好的近似n-有利于解释期权定价模型背后所包含的原理有利于解释期权定价模型背后所包含的原理n-可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价定价 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.3 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 把期权的有效期分为很多很小的时间间隔把期权的有效期
4、分为很多很小的时间间隔 ，并假设在每一个时间间隔，并假设在每一个时间间隔 内证券价格内证券价格只有两种运动的可能：只有两种运动的可能：1、从开始的、从开始的 上升到原先的上升到原先的 倍，即到倍，即到达达 ；2、下降到原先的、下降到原先的 倍，即倍，即 相应地，期权价值也会有所不同，相应地，期权价值也会有所不同，分别为分别为 和和Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.4 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型
5、入门 相同期相同期限下步限下步长越小长越小精确度精确度越高越高5二叉树模型的思想实际二叉树模型的思想实际上是在用大量离散的小上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动续的资产价格运动 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.5 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 此时此时 因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得将将代入上式就可得
6、到：代入上式就可得到：其中其中 6无套利定价法：无套利定价法：构造投资组合包括构造投资组合包括 份股票多头和份股票多头和1份看涨期权空头份看涨期权空头当当 时时,股票价格的变动对组合无影响则组合为股票价格的变动对组合无影响则组合为无风险组合无风险组合Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.6 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 本章主要内容o二叉树模型的基本思想二叉树模型的基本思想o12.1 利用二叉树
7、给期权定价利用二叉树给期权定价o12.2 风险中性定价风险中性定价o12.3 两步二叉树两步二叉树o12.4 看跌期权看跌期权o12.5 美式期权美式期权o12.6 Daltao12.7 u和和d的确定的确定o12.8二叉树其他问题二叉树其他问题o课堂练习课堂练习Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.7 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 o假设一种股票当前价格为假设一种股票当前价格为$2020，三个
8、月后的价格将可能，三个月后的价格将可能为为$22$22或或$18$18。o假设股票三个月内不付红利。假设股票三个月内不付红利。o欧式看涨期权执行价格欧式看涨期权执行价格$21$21，有效期为三个月后以买入，有效期为三个月后以买入股票的进行估值。股票的进行估值。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.8 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 单步二叉树模型单步二叉树模型Evaluation only.Cre
9、ated with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.9 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 定价思路：定价思路：o构造一个股票和期权的组合，使得在三个月末该组合的价值构造一个股票和期权的组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的。是确定的。o它的收益率一定等于无风险收益率。它的收益率一定等于无风险收益率。o由此得出该期权的价格。由此得出该期权的价格。构造组合：构造组合：o该组合包含一个该组合包含一个 股股票多头头寸股股票多头头寸 和一个看涨期权的空头头寸
10、。和一个看涨期权的空头头寸。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.10 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 o上升时：股票价格从上升时：股票价格从$20上升到上升到$22，期权的价值为，期权的价值为$l，该，该证券组合的总价值为证券组合的总价值为22-1；o下降时：股票价格从下降时：股票价格从$20下降到下降到$18，期权的价值为零，该，期权的价值为零，该证券组合的总价值为证券组合的总价值为18。o如
11、果选取某个如果选取某个值，以使得该组合的终值对两个股票价格都值，以使得该组合的终值对两个股票价格都是相等的，则该组合就是无风险的。是相等的，则该组合就是无风险的。o 221=18 221=18 o =0.25Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.11 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 一个无风险的组合是：一个无风险的组合是：o多头：多头：0.250.25股股票股股票o空头：一个期权空头：一个期权定价
12、：定价：o如果股票价格上升到如果股票价格上升到$22$22，该组合的价值为：，该组合的价值为：22 220.25-10.25-14.54.5o如果股票价格下跌到如果股票价格下跌到$18$18，该组合的价值为：，该组合的价值为：18180.250.254.54.5o无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期的末尾，该组无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期的末尾，该组合的价值总是合的价值总是$4.5$4.5。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-20
13、11 Aspose Pty Ltd.12 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 在无套利均衡的情况下，无风险证券组合的盈利必定在无套利均衡的情况下，无风险证券组合的盈利必定为无风险利率。为无风险利率。o假设在这种情况下，无风险利率为年率假设在这种情况下，无风险利率为年率1212。o该组合现在价值一定是该组合现在价值一定是$4.5$4.5的现值。的现值。o即：即：4.5e4.5e-0.12-0.120.250.25=4.367=4.3674 4o股票现在的价格已知为股票现在的价格已知为$20$20。o假设期权的价格由假设期权的价格由f f来表示。来表示。o现在该组合的价值：现在该组合的价值
14、：20200 0.25.25f=5f=5f=4.367f=4.3674 4 即即f=0.633f=0.633Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.13 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 偏离均衡价格时的套利：偏离均衡价格时的套利：o如果期权的价值超过了如果期权的价值超过了$0.633$0.633，构造该组合的成，构造该组合的成本就有可能低于本就有可能低于$4.367$4.367，并将获得超过无风险利
15、，并将获得超过无风险利率的额外收益；率的额外收益；o如果期权的价值低于如果期权的价值低于$0.633$0.633，那么卖空该证券组，那么卖空该证券组合将获得低于无风险利率的资金。合将获得低于无风险利率的资金。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.14 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 单步二叉树的一般结论单步二叉树的一般结论假设：期权的期限为假设：期权的期限为T，U1,d1,d1,d1o股票上涨的比
16、率为股票上涨的比率为u-1=0.06u-1=0.06o股票下跌的比率为股票下跌的比率为1-d=0.041-d=0.04ou+d=2u+d=2o3/50=0.06,2/50=0.043/50=0.06,2/50=0.04Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.46 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 12.10o某个股票现价为$80。已知在4个月后，股票价格为$75或$85。无风险年利率为5（连续复利）。
17、请用无套利原理说明，执行价格为$80的4个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.47 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 12.10Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.48 第第
18、12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 12.12o某个股票现价为某个股票现价为$50$50。有连续。有连续2 2个时间步，每个时间步的步长为个时间步，每个时间步的步长为3 3个月，每个月，每个单步二叉树的股价或者上涨个单步二叉树的股价或者上涨6 6或者下跌或者下跌5 5。无风险年利率为。无风险年利率为5 5（连（连续复利）。执行价格为续复利）。执行价格为$51,$51,有效期为有效期为6 6个月的欧式看涨期权的价值为多少个月的欧式看涨期权的价值为多少？Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5
19、.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.49 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 12.13o考虑习题12.12中的情况，执行价格为$51，有效期为6个月的欧式看跌期权的价值为多少？证明欧式看涨期权和看跌期权满足看涨看跌期权平价关系。如果看跌期权是美式期权，在树图上的任何节点，提前执行期权是否会更优呢？o解：（1）如上题u=1.06,d=0.95,p=0.5689 o计算二叉树图的结果如下o Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.
20、0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.50 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 o如上图，当到达中间的终节点时，期权的损益为5150.350.65；当到达最低的终节点时，期权的损益为5145.1255.875。o因此，期权的价值为：（3）为确定提前执行是否会更优，我们要计算比较每一节点处立即执行期）为确定提前执行是否会更优，我们要计算比较每一节点处立即执行期权的损益。权的损益。在在C节点处，立即执行期权的损益为节点处，立即执行期权的损益为5147.53.5，大于，大于2.8664。因此，。因此，期权必须在此节点处被执行，在期权必须在此节点处被执行，在
21、A、B节点处均不执行。节点处均不执行。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.51 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 12.17o某个股票现价为$40。有连续2个时间步，每个时间步的步长为3个月，每个单位二叉树的股价或者上涨10或者下跌10。无风险年利率为12（连续复利）。o(A)执行价格为$42的6个月期限的欧式看跌期权的价值为多少？o(B)执行价格为$42的6个月期限的美式看跌期权的价值为多少？E
22、valuation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.52 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.53 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 12.17Evaluation only.Crea
23、ted with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.54 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 12.18o用用“试错法试错法”来估算习题来估算习题12.17中的期权的执行价格为多高中的期权的执行价格为多高时，立即执行期权是最佳的？时，立即执行期权是最佳的？在此在此C节点处，立即执行期权的损益为节点处，立即执行期权的损益为37-36=1，小于，小于1.552.因此美式看跌期权不会在此节点处被执行。因此美式看跌期权不会在此节点处被执行。Evaluation
24、only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.55 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 o（2）假设美式看跌期权的执行价格为）假设美式看跌期权的执行价格为$38，计算股价二叉树图的结果，计算股价二叉树图的结果如下：如下：o在此在此C节点处，立即执行期权的损益为节点处，立即执行期权的损益为38362，比，比1.890多多0.11收益。因此，美式看跌期权必须在此节点处被执行。从以上分析可得，收益。因此，美式看跌期权必须在此节点处被执行
25、。从以上分析可得，当执行价格高于或等于当执行价格高于或等于$38时，提前执行美式看跌期权都是更优的选择。时，提前执行美式看跌期权都是更优的选择。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.56 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 本章主要内容o二叉树模型的基本思想二叉树模型的基本思想o12.1 利用二叉树给期权定价利用二叉树给期权定价o12.2 风险中性定价风险中性定价o12.3 两步二叉树两步二叉树o12
26、.4 看跌期权看跌期权o12.5 美式期权美式期权o12.6 Daltao12.7 u和和d的确定的确定o12.8二叉树其他问题二叉树其他问题o课堂练习课堂练习Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.57 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 Dalta-期权价格变化与股票价格变化之间的比率期权价格变化与股票价格变化之间的比率Evaluation only.Created with Aspose.Slid
27、es for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.58 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 o结论结论o随着时间而变化随着时间而变化oDelta是为了构造一个无风险对冲，对每一个卖空是为了构造一个无风险对冲，对每一个卖空的期权头寸我们应该持有的股票数目。的期权头寸我们应该持有的股票数目。o构造无风险对冲有时就称之为构造无风险对冲有时就称之为Delta对冲对冲(delta hedging)。o看涨期权的看涨期权的Delta是是正值正值，而看跌期权的，而看跌期权的Delta是是负值负值。o意味着
28、利用期权和标的股票来保持一个无风险组合，意味着利用期权和标的股票来保持一个无风险组合，我们需要定期调整我们持有的股票数量，我们需要定期调整我们持有的股票数量，Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.59 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 本章主要内容o二叉树模型的基本思想二叉树模型的基本思想o12.1 利用二叉树给期权定价利用二叉树给期权定价o12.2 风险中性定价风险中性定价o12.3 两步二叉树两
29、步二叉树o12.4 看跌期权看跌期权o12.5 美式期权美式期权o12.6 Daltao12.7 u和和d的确定的确定o12.8二叉树其他问题二叉树其他问题o课堂练习课堂练习Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.60 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 二叉树实际中的应用二叉树实际中的应用o多步如何算多步如何算Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.61 第第12章章 二叉树模型入门二叉树模型入门 课堂练习课堂练习o作业：作业：o 1,4,5,6,16,17Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.62