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1、计数原理解排列组合计数原理解排列组合题的几种常见方法题的几种常见方法(一一)一、教学目标：一、教学目标：（1）掌握排列组合一些常见的题型及解）掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题；概念解决排列组合问题；（2）提高合理选用知识解决问题的能力）提高合理选用知识解决问题的能力二、教学重点、难点：二、教学重点、难点：排列、组合综合排列、组合综合问题问题三、教学方法：三、教学方法：探析归纳，讲练结合探析归纳，讲练结合四、教学过程四、教学过程2完成一件事，有完成一件事，有n n类办法，在第类办法，在第1 1类办法中有类办法中
2、有 m m1 1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类办法中有类办法中有m m2 2 种不种不同的方法，同的方法，在第，在第n n类办法中有类办法中有m mn n种不同的种不同的方法，那么完成这件事共有：方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法复习巩固复习巩固1.1.分类计数原理分类计数原理(加法原理加法原理)3完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n n n个步骤，做第个步骤，做第个步骤，做第个步骤，做第1 1 1 1步有步有步有步有m m m m1 1 1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第种不同的方法，做第种不同的方法，做
3、第2 2 2 2步有步有步有步有m m m m2 2 2 2 种不同的方法，种不同的方法，种不同的方法，种不同的方法，做第，做第，做第，做第n n n n步有步有步有步有m m m mn n n n种不同的方法，那么完成种不同的方法，那么完成种不同的方法，那么完成种不同的方法，那么完成这件事共有：这件事共有：这件事共有：这件事共有：种不同的方法种不同的方法种不同的方法种不同的方法2.2.2.2.分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）分步计数原理分步计数原理分步计数原理分步计数原理各步相互依存各步相互依存各步相互依存各步相互依存，每步中的
4、方法完成事件的，每步中的方法完成事件的，每步中的方法完成事件的，每步中的方法完成事件的一个阶段一个阶段一个阶段一个阶段，不能完成整个事件不能完成整个事件不能完成整个事件不能完成整个事件3.3.分类计数原理分类计数原理分类计数原理分类计数原理分步计数原理区别分步计数原理区别分步计数原理区别分步计数原理区别分类计数原理分类计数原理分类计数原理分类计数原理方法相互独立方法相互独立方法相互独立方法相互独立，任何一种方法都可以，任何一种方法都可以，任何一种方法都可以，任何一种方法都可以独立地完成这独立地完成这独立地完成这独立地完成这件事件事件事件事。4练习练习:1.1.把把6 6名实习生分配到名实习生分
5、配到7 7个车间实习个车间实习,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法 解解:完成此事共分六步完成此事共分六步:把第一名实习生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法.7 7把第二名实习生分配把第二名实习生分配 到车间也有到车间也有7 7种分法，种分法，依此类推依此类推,由分步计由分步计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法分步计数原理的应用分步计数原理的应用5排列与组合：排列与组合：名名称称排排列列组组合合定定义义种种数数符符号号从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个
6、元素，个元素，把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数6（一）（一）.特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有可以组成多少个没有 重复数字的五位奇数？重复数字的五位奇数？解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排应该优先安排,以免不合要求的元素占了这以免不合要求的元素占了这两个位置。两个位置。先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步计数原理得由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合
7、问题最常用也是最基本的方法位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主若以元素分析为主若以元素分析为主若以元素分析为主,需先安排特殊元素需先安排特殊元素需先安排特殊元素需先安排特殊元素,再再再再处理其它元素处理其它元素处理其它元素处理其它元素.若以位置分析为主若以位置分析为主若以位置分析为主若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求需先满足特殊位置的要求需先满足特殊位置的要求需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是
8、考虑一再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件个约束条件的同时还要兼顾其它条件个约束条件的同时还要兼顾其它条件个约束条件的同时还要兼顾其它条件7练习练习：5个人站成一排，如果甲个人站成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头且不能站在排尾，那么站在排头且不能站在排尾，那么不同的站法有多少种？不同的站法有多少种？答：答：36种种8（二）.相邻元素捆绑策略例例2.72.7人站成一排人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁其中甲乙相邻且丙丁相邻相
9、邻,共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用可以用可以用可以用捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题捆绑法
10、来解决问题捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并为一个元素为一个元素为一个元素为一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同时同时同时同时要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列.9练习题有有7名学生，其中名学生，其中3名女生，名女生，4名男生，名男生，站成一排照相，求不同的排列种数。站成一排照相，求不同的排列种数。（1）全部排成一排，其中甲和乙相邻。）全部排成一排，其中甲和乙相邻。（2）全部排成一
11、排，其中女生与女生全部排成一排，其中女生与女生站在一起，男生与男生站在一起。站在一起，男生与男生站在一起。答：（答：（1）1440种种（2）288种种10（三）（三）.不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略例例3.3.一个晚会的节目有一个晚会的节目有4 4个舞蹈个舞蹈,2,2个个相声相声,3,3个独唱个独唱,舞蹈节目不能连续出舞蹈节目不能连续出场场,则节目的出场顺序有多少种？则节目的出场顺序有多少种？解解解解:分两步进行：第一步排分两步进行：第一步排分两步进行：第一步排分两步进行：第一步排2 2 2 2个相声和个相声和个相声和个相声和3 3 3 3个独唱共有个独唱共有个独唱共有个独唱共有 种，种
12、，种，种，第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种相相相相独独独独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端11练习题 4名学生和3名教师站成一排照相，（1）任何两名教师都不相邻的站法有多少种？(
13、2)师生相间而站的站法有多少种？答：（答：（1）1440种种（2）144种种12（四）.元素相同问题隔板策略例例4.有有1010个运动员名额，在分给个运动员名额，在分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个,有多少种分配方案？有多少种分配方案？解：因为解：因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五
14、班六班七班将将将将n n n n个相同的元素分成个相同的元素分成个相同的元素分成个相同的元素分成m m m m份（份（份（份（n n n n，m m m m为正整数）为正整数）为正整数）为正整数）,每份至少一个元素每份至少一个元素每份至少一个元素每份至少一个元素,可以用可以用可以用可以用m-1m-1m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入块隔板，插入块隔板，插入n n n n个元素排成一排的个元素排成一排的个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1n-1n-1个个个个空隙中，所有分法数为空隙中，所有分法数为空隙中，所有分法数为空隙中，所有分法数为13练习题 10 10个相同的球装个相同的球装5
15、5个盒中个盒中,每盒至少每盒至少一个，有多少装法？一个，有多少装法？14回顾小结：（回顾小结：（1）解决有关计数的应用题时，要仔细分）解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问题析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问题还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分步还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分步计数原理解决一个较复杂的问题往往是分类与分步计数原理解决一个较复杂的问题往往是分类与分步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏和交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏和重复计数；（重复计数；（2）解决计数问题的常用策略有：（）解决计数问题的常用策略有：（1）特殊元素优先安排；（特殊元素优先安排；（2）排列组合混合题要先选（组）排列组合混合题要先选（组合）后排；（合）后排；（3）相邻问题捆绑处理（先整体后局部）；）相邻问题捆绑处理（先整体后局部）；（4）不相邻问题插空处理；（）不相邻问题插空处理；（5）顺序一定问题除法）顺序一定问题除法处理；（处理；（6）正难则反，合理转化）正难则反，合理转化（六）作业：（六）作业：课本课本P20页页1、2、3；习题；习题1-4中中A组组1、2五、教后反思：五、教后反思：15结束结束