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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 1 页,共 8 页让我再看你一眼！ -高中数学基础学问归类2. 函数 f : AB 是特殊的映射 .特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴一. 集合与简易规律的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.1. 留意区分集合中元素的形式.如： x ylg x 函数的定义域；y|ylg x 函数的值域；3. 函数的三要素：定义域,值域 ,对应法就 .争论函数的问题肯定要留意定义域优先的原就. x y | yl g x函数图象上的点集. 4. 求定义域 :使函数解析式
2、有意义如:分母0 ;偶次根式被开方数非负;对数真数0 ,底数02. 集合的性质：任何一个集合A是它本身的子集,记为 AA . 且1；零指数幂的底数0；实际问题有意义；如f x 定义域为 , a b ,复合函数f g x 定义空集是任何集合的子集,记为A . 域由ag x b 解出；如f g x 定义域为 , a b ,就f x 定义域相当于x , a b 时g x 的值域 . 空集是任何非空集合的真子集；留意:条件为 AB ,在争论的时候不要遗忘了A的情形5. 求值域常用方法: 配方法 二次函数类 ；逆求法 反函数法 ；换元法 特殊留意新元的范畴. 如：Ax|ax22x10,假如 AR,求 a
3、 的取值 .答：a0 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；C UAB C A UC B ,C UABC A UC B ；U（AB）CA（BC）；不等式法单调性法；数形结合：依据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；（AB）CA（B）. 判别式法（慎用） ：导数法 一般适用于高次多项式函数. ABAABBABC BC AAC BC ABR . 6. 求函数解析式的常用方法：待定系数法已知所求函数的类型； 代换 配凑 法； AB 元素的个数：card AB cardAcardBcard AB . 方程的思想 -对已知等式进行赋值,从而得到关于f x及另外一个函
4、数的方程组；含 n个元素的集合的子集个数为2n ；真子集 非空子集 个数为 2n1；非空真子集个数为n 22. 7. 函数的奇偶性和单调性3. 补集思想 常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题；函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；如： 已知函数fx4x22p2x2p2p1在区间1,1上至少存在一个实数c ,使如f x 是偶函数 ,那么f x fx f|x|；定义域含零的奇函数必过原点f00；fc0,求实数 p 的取值范畴 .答：3 3, 2判定函数奇偶性可用定义的等价形式：f x fx0或fx1 0；f x 4. 原命题 : pq ；逆命题 :
5、 qp ；否命题 : pq ；逆否命题 : qp ；互为逆否的两复合函数的奇偶性特点是：“ 内偶就偶,内奇同外” . 个命题是等价的.如：“sinsin” 是“” 的条件 .答：充分非必要条件 留意： 如判定较为复杂解析式函数的奇偶性,应先化简再判定；既奇又偶的函数有很多个5. 如 pq 且 qp ,就 p 是 q 的充分非必要条件或 q 是 p 的必要非充分条件. 如f x 0定义域关于原点对称即可. 6. 留意命题 pq 的否定 与它的 否命题 的区分 : 命题 pq 的否定 是 pq ；否命题 是pq . 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；命
6、题“ p 或 q ” 的否定是“p 且q ”；“ p 且 q ” 的否定是“ p 或q ”. 确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法用于小题 等. 如：“ 如a 和 b 都是偶数,就ab是偶数” 的否命题是“ 如a 和 b 不都是偶数 ,就ab是奇数”复合函数单调性由“ 同增异减” 判定 . （提示：求单调区间时留意定义域）否定是“ 如a 和 b 都是偶数 ,就ab是奇数” . 如： 函数ylog 2x22 x 的单调递增区间是_.答： 1,2 7. 常见结论的否定形式原结论否定原结论否定8. 函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移- “ 左加右减”（留意是针对x 而言）；上下
7、平移 -“ 上加下减”留意是针对f x 而言 .翻折变换：f x |f x |；f x f|x|. 是不是至少有一个一个也没有对称变换：证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心轴 的对称点仍在图像上. 都是不都是至多有一个至少有两个证明图像C 与C 的对称性 ,即证C 上任意点关于对称中心轴的对称点仍在C 上,反之亦然 . 大于不大于至少有 n个至多有n1个函数yf x 与yfx 的图像关于直线x0 y 轴对称；函数yf x与函数小于不小于至多有 n个至少有n1个yfx 的图像关于直线y0 x 轴对称；对全部 x ,成立存在某 x,不成立p或qp且q如函数yf x 对 xR 时,f
8、ax f ax 或f x f2ax 恒成立 ,就yf x 图像关二 . 函对任何 x ,不成立存在某 x,成立p 且 qp 或q数于直线 xa 对称；1. 映射 f : AB 是：如yf x 对 xR时 ,f axf bx 恒成立 ,就yf x 图像关于直线xa2b对称； “ 一对一或多对一” 的对应；集合 A中的元素必有象且A中不函数yf ax ,yf bx 的图像关于直线xb2a对称 由 axbx 确定 ；同元素在 B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不肯定有原象即象集B . 一一映射f : AB ： “ 一对一” 的对应； A 中不同元素的象必不同, B 中元素都有原象.- - - -
9、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 函数yf xa与yf bx的图像关于直线xa2b对称；学习必备欢迎下载第 2 页,共 8 页18. 函数yaxbc0,adbc 的图像是双曲线：两渐近线分别直线xd由分母为零确定和cxdc直线ya由分子、分母中x 的系数确定 ；对称中心是点d, ac；反函数为ybdx；函数yf x ,yAf x 的图像关于直线yA对称 由yf x Af x 确定 ；cccxa2219. 函数yaxba0,b0：增区间为 ,b,b,减区间为,b,0,0,b. 函数yf x与yfx的图像关于原点成中心对称；函数yf x,ynf mxxaa
10、aa的图像关于点m n 对称；2 2如：已知函数f x ax1在区间 2, 上为增函数 ,就实数 a 的取值范畴是_答：1 ,2 .x2函数yf x 与函数yf1 x 的图像关于直线yx 对称；曲线C ：f x y , 0,关于三. 数列yxa , yxa 的对称曲线C 的方程为 2f ya xa0或fya,xa0；1. 由S 求 na ,a nS n1n2,nN*留意验证a 是否包含在后面a 的公式中 ,如不符合要S nS n1曲线C ：f x y , 0关于点 , a b 的对称曲线C 方程为：f2ax ,2by0. 9. 函数的周期性：如yf x 对xR时fxaf xa 恒成立 ,就f
11、x 的周期为2 |a ；单独列出 .如：数列 an满意a 14,S nS n15a n1,求a 答：an4 n3 4n1 1 n2. 如yf x 是偶函数 ,其图像又关于直线xa 对称 ,就f x 的周期为 2 |a ；32. 等差数列ana nan1d d 为常数 2ana n1a n1n2,nN*如yf x 奇函数 ,其图像又关于直线xa 对称 ,就f x 的周期为 4|a ；ananb ad ba 1dS nAn2Bn Ad,Ba 1d；如yf x 关于点 ,0, ,0对称 ,就f x的周期为2|ab ；22yf x 的图象关于直线xa ,xb ab 对称 ,就函数yf x 的周期为 2
12、 |ab ；3. 等差数列的性质：anamnm d ,da man；yf x 对 xR 时,f xaf x 或f xa1,就yf x 的周期为 2 |a ；mnf x mnlkamana la 反之不肯定成立；特殊地,当mn2p 时 ,有ama n2a ；10. 对数： logabloga nbna0,a1,b0,nR；对数恒等式alogaNN a0,a1,N0如 an、 nb是等差数列 ,就 ka ntb n k 、 t 是非零常数 是等差数列； log MNlogaMlogaN;logaMlogaMlogaN;logaMnnlogaM ；等差数列的“ 间隔相等的连续等长片断和序列” 即S
13、m,S 2mS m,S 3 mS 2m,仍是等差数列；N等差数列 a n,当项数为 2n 时, S 偶S 奇nd,S奇an1；项数为 2n1时, loganM1logaM ；对数换底公式logaNlogbNa0,a1, b0,b1；S偶annlogbaS 偶S 奇a 中annN*,S 2 n12n1 a ,且S奇nn1；A nf n anf2n1. 推论：logablogbclogca1loga 1a 2loga 2a 3loga n1anloga 1a . 偶B nb nS以上M0,N0,a0,a1, b0,b1,c0,c1,a a2,an0且a a 2,a 均不等于 1 首项为正 或为负
14、的递减 或递增 的等差数列前n 项和的最大 或最小 问题 ,转化为解不等式11. 方程kf x 有解kD D 为f x 的值域 ；af x 恒成立af x 最大值, an100或an100.也可用S nAn2Bn 的二次函数关系来分析. ananaf x 恒成立af x 最小值. 如a nm amn mn ,就amn0；如S nm S mn mn ,就S mnmn ；12. 恒成立问题的处理方法：分别参数法最值法 ； 转化为一元二次方程根的分布问题；13. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“ 两看法”：如S mS nmn ,就 S m+n =0 ； S
15、3m =3S 2m S m ；S m nS mS nmnd . 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；4. 等比数列ana nn1q q0a2 na n1a n1n2,nN*ana qn1. a14. 二次函数解析式的三种形式：一般式：f x ax2bxc a0；顶点式：5. 等比数列的性质fxa x2 h k a0 ； 零点式：f x a xx 1xx 2a0. a na qn m,qn man；如 a n、b n是等比数列,就ka n、 a b n等也是等比数列；15. 一元二次方程实根分布:先画图再争论0 、轴与区间关系、区间端点函数值符号; am16. 复合函数：复合函数定
16、义域求法：如f x 的定义域为 , a b ,其复合函数f g x 的定义域可由Snna1 qn1a1anqq1na1qq1a1 q1；mnlka a na a 反之不肯定成不等式ag x b解出；如f g x 的定义域为 , a b ,求f x 的定义域,相当于x , a b 时,求a11qna11q1q1q1qg x 的值域；复合函数的单调性由“ 同增异减” 判定. 立；S m nS mm q S nS nn q S . 等比数列中S m,S 2 mS m,S 3 mS 2m,注：各项均不为0 17. 依据单调性 ,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范畴问题：仍是等比数列 .
17、等比数列 a n当项数为 2n 时,S偶q；项数为 2n1时,S奇偶a 1q. fugx uh x 或0 aub f a 0或f a 0；SSf b 0f b 0奇- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 假如数列 a n是等差数列 ,就数列 a AnAan总有意义 是等比数列；假如数列an是等比数列 , 学习必备欢迎下载1p1rnx 1rn1x 1rn2x 1rx 等比数列问题 . 就数列 loga|an|a0,a1是等差数列；四. 三角函数如 an既是等差数列又是等比数列,就 an是非零常数数列；1.终边与终边相同2kkZ；终边与终边共线kkZ；终边
18、与终边关于 x 轴对称kkZ；终边与终边关于 y轴对称假如两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列,且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；假如一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的2 kkZ ；终边与终边关于原点对称2kkZ；公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；终边与终边关于角终边对称22 kkZ. 2. 弧长公式：l|r ；扇形面积公式：S 扇形1lr1 2|r2；1 弧度 1rad 57.3 . 三个数成等差的设法：ad a ad ；四个数成等差的设法：a3 , d ad ad a3d ；2三个数成等比的设法：a, ,
19、 a aq ；四个数成等比的错误设法：a 3,qa,3 aq aq 为什么？ 3. 三角函数符号 “ 正号”规律记忆口诀： “一全二正弦 ,三切四余弦” .qq留意：tan15cot 7523；tan75cot1523；7. 数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式. 4. 三角函数同角关系中八块图 ：留意“ 正、余弦三兄妹012210已知S 即a 1a 2anf n 求a 用作差法：a nS 1,n1n2. s i n xc o s x 、 sinxcosx ” 的关系. S nS n1,如sinxcos 212sinxcosx 等. 111已知a 1a2a nf n 求
20、a 用作商法：nanf1,n,12.5. 对于诱导公式 ,可用“ 奇变偶不变,符号看象限” 概括；2002f n nf n1留意：公式中始终视为锐角sin1cossin1cos如a n1a nf n 求a 用迭加法 . 已知an1f n ,求a 用迭乘法 . 6. 角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角an已知数列递推式求a ,用构造法 构造等差、等比数列： 形如a nka n1b,a nkan1n b ,与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. anka n1a nb k b 为常数 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后 , 如：； 2 ； 2 ；22；再求a .
21、形如ankaan1b的递推数列都可以用“ 取倒数法” 求通项. 222等；“1” 的变换：1sin2x2 cosxtanxcotx2sin30tan 45；n18. 数列求和的方法：公式法：等差数列,等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；错位7. 重要结论：asinxbcosxa2b2sinx其中 tanb）；重要公式sin21cos 2；2 cos相减；分裂通项法.公式：123n1n n1；2 1222 3n21n n12n1；a2261c o s 2；tan21cos1sin1cos；1sincos2sin22| cos2sin2| . 3 12333n3n n 21 2 ；135n2
22、n ；常见裂项公式111n11；21coscossin8. 正弦型曲线yAsinx的对称轴xk2kZ；对称中心 k,0kZ ；n nnn n1k1n1n1；n n1n1111n1n2；nn1.1n11.kk12n n1n.余弦型曲线yAcosx的对称轴xk kZ ；对称中心k2,0kZ ；常见放缩公式：2n1nn2n1n2n12nn1.1n9. “ 分期付款”、“ 森林木材” 型应用问题9. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿忘三名师归纳总结 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“ 卡手指” ,细心运算内角和等于 18
23、0 ,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：aAbBcC2R ；第 3 页,共 8 页“ 年限”.对于“ 森林木材” 既增长又砍伐的问题 ,就常选用“ 统一法” 统一到“ 最终” 解决sinsinsin余弦定理：a2b22 c2 bccos ,cosAb2c2a2bc2a21；利率问题：单利问题：如零存整取储蓄单利 本利和运算模型：如每期存入本金p 元,每期利2bc2 bcr2 SABC；率为 r ,就 n 期后本利和为：S np1rp12 p1nrp nn n1r 等差数列问正弦平方差公式：sin2Asin2BsinABsinAB ；三角形的内切圆半径2abc题）；复利问题：按揭贷款的分
24、期等额仍款复利 模型：如贷款 向银行借款 p 元,采纳分期等面积公式：S1absinCabc；射影定理：abcosCccosB . 额仍款方式 ,从借款日算起 ,一期 如一年 后为第一次仍款日,如此下去 ,分 n 期仍清 .假如每期利24RAtanBC . 率为 r （按复利）,那么每期等额仍款x 元应满意：10.ABC 中,易得： ABC, sinAsinBC , cosAcosBC , tan- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 sinAcosB2C,cosAsinB2C,tanAcotB2C. abABsinAsinB学习必备欢迎下载.
25、 第 4 页,共 8 页如ab0,ba,就1 a1.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要转变. 222b锐角ABC 中,AB2,sinAcos ,cosAcosB ,a2b22 c ,类比得钝角ABC 结论 . 假如对不等式两边同时乘以一个代数式,要留意它的正负号,假如正负号未定,要留意分类争论. 2. 把握几类不等式一元一次、二次、肯定值不等式、简洁的指数、对数不等式的解法 ,特殊留意 tanAtanBtanCtanAtanBtanC. 用分类争论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法 . 11. 角的范畴：异面直线所成角0,2 ；直线与平面所成角0,2 ；二面角
26、和两向量的夹角0, ；直线3. 把握重要不等式,1 均值不等式：如a,b0,就a222 ba2bab121当且仅当ab时的倾斜角 0, ；1l 到2l 的角 0, ；1l 与2l 的夹角0,2 .留意术语 :坡度、仰角、俯角、方位角等.ab取等号 使用条件：“ 一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；2a b cR ,五. 平面对量a22 bc2a bbc当且仅当 abc时,取等号 ；3 公式留意变形如：a22b2a2b2, 1. 设ax y 1,bx 2,y 2. 1a/bx y2x y 10；2aba b0x x 2y y 20.2. 平面对量基本定理：假如1e 和e 是同一平面
27、内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向aba2b2； 4如ab0,m0,就bbm真分数的性质；量 a ,有且只有一对实数1、2,使a1e 12e . 2aam4. 含肯定值不等式：a b 同号或有 0|ab| |a|b|a|b|ab ；a b异号或有 03. 设ax y 1,bx 2,y 2,就a b|a b|cosx x 2y y ；其几何意义是a b 等于 a 的长度|ab|a| b|a|b|a |. b|与 b在 a 的方向上的投影的乘积；a 在 b的方向上的投影|a|cosa bx x 1 2y y 1 2. |b|x2 22 y 25. 证明不等式常用方法：比较法：作差比较：A
28、B0AB .留意：如两个正数作差比较有困4. 三点 A 、 B 、 C 共线AB 与 AC 共线；与 AB 共线的单位向量|AB|.难,可以通过它们的平方差来比较大小；综合法：由因导果；分析法：执果索因.基本步骤：要证AB需证 ,只需证 ；反证法：正难就反；放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的5. 平面对量数量积性质：设ax 1,y 1,bx 2,y 2,就cos|a b2 x 1x x 2y y 22 y 2；留意 :放缩法的方法有：添加或舍去一些项,如：a21 |a ；n n1n .将分子或分母放大或缩小 a b | |2 y 12 x 2利用基本不等式,如：n n1nn1.利
29、用常用结论：01k1kk1k21；a b 为锐角a b0,a b 不同向；a b为直角a b0；a b为钝角a b0,a b 不反向 . 21k201k11k11k1k11kk111程度大 ；301k111k11k1 1程度小 ；6. a b同向或有 0|ab| |a|b|a|b|ab ； a b 反向或有 0kk2kk222|ab| |a| b|a|b|a |； a b 不共线|a|b|ab| |a|b .换元法：换元的目的就是削减不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简 ,常用的换元有三角换元7. 平面对量数量积的坐标表示：如ax y 1,bx 2,y2,就a bx x 2y y ；代数换元 .如：知2 xy22 a ,可设xacos ,yasin；知x22 y1,可设xrcos,yrsin|AB|x 1x 22y 1y22；如a , x y ,就a2a a2 x2 y . 0r1；知x2y21,可设xacos ,ybsin；已知x2y21,可设xasec ,ybtan. a2b2a2b28.1P , P ,P 三点共线存在实数、使得OPOP 1O