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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 空间点到直线距离的多种解法摘 要 在空间解析几何中,空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点,点和直线的位置关系包括两种：点在直线上,点在直线外.当点在直线外时,点到直线距离的运算随之出现.关于解决点到直线距离的问题,涵盖了空间解析几何中两点间距离、向量运算、直线方程、平面方程等诸多学问点 .本文将对一详细例题,介绍点到直线距离的多种解法 . 关键词 点、直线、距离、向量、平面、解法例：求点 A2,4,1到直线 L：x 1 y z 2 的距离2 2 31 运用向量积的运算及向量积的几何意义已知直线方程 x x 1 y y 1 z z 1,直线外
2、一点 A x 0 , y 0 , z 0,直线上X Y Z一点 x 1 , y 1 , z 1,以 v 和 A 构成平行四边形,这里 v v 为底的高 . 即y 0 y 1 z 0 z 1 z 0 z 1 x 0 x 1 x 0 x 1 y 0 y 1A v Y Z Z X X Yd= =2 2 2v X Y Z解：如图 1,过点 A 作直线 L 的垂线,垂足为 B. 设-1 ,0,2为 L 上任一点,v =2,2,-3 为 L 的方向向量 . 以 v 和A 为两边构成平行四边形S=Av, 明显点 A到直线 L 的距离 AB 就是=3 这平行四边形的对应于以v 为底的高412132342即 A
3、B =S = vAv=2322323222v222 运用平面方程、参数方程及线面交点的方法1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - xXx 1yYy 1zZz 1转化成参数方程xXtx 1由此设出垂足B 坐标,yYty 1zZtz 1又由于垂足 B 在平面方程上,即可得出 直线的距离 . B 点坐标 . 再由两点间距离公式得出点到解：先求过点 A 与直线 L 垂直的平面方程 . 用点法式,得2x-2 +2y-4-3z-1=0 即 2x+2y-3z-9=0 x 2 t 1将直线 L 方程用参数方程表示为 y 2 tz 3
4、t 2由此设垂足 B 的坐标为 2t-1 ,2t,-3t+2因 B 在垂面上得 4t-2+4t+9t-6-9=0 即 t=1 所以点 B 坐标为 1,2,-1 所以 AB = 212 42 2 11 2=3 3 运用两点间距离公式及参数方程的方法将直线方程 x x 1 y y 1 z z 1 转化成参数方程,可设出直线上任一点X Y ZA 的表达式,用取 A 最小值的方法即得出点到直线的距离 . x 2 t 1解：由直线 L 的参数方程 y 2 t 可设 L 上任一点z 3 t 2的坐标为 2t-1,2t,-3t+2由两点距离公式得 A = 2 t 3 2 2 t 4 2 3 t 1 22 =
5、 17 t 34 t 262 = 17 t 1 9可得当 t=1 时, A 最小值为 3 所以点到直线距离为 3 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4 运用两向量垂直,数量积为零的结论由直线方程xXx 1yYy 1zZz 1可设出垂足B 的坐标,明显ABv, 由ABv=0 得到点 B 的坐标,由两点距离公式得到点到直线的距离. 解：由直线 L 的参数方程,可设垂足B 的坐标为 2t-1,2t,-3t+2直线 L 的方向向量 v =2,2,-3 AB =2t-3,2t-4,-3t+1 明显 AB v ,得 AB v
6、 =0 即 22t-3+22t-4-3-3t+1=0 得 t=1 所以点 B 坐标为 1,2,-1 即AB =212 42 2 112=3 5 运用向量及三角函数的方法sin连接直线上的点与线外点 A得到与直线的夹角,就 cos=Av,Av= 2 1 cos, d=A sin即得点到直线的距离解： 如图 1,A =3,4,-1 ,v=2,2,-3 cos=Av=17Av26sin= 2 1 cos=326A =2 34212=26AB =A sin=3 6 利用点到平面距离公式的方法 确定线外点 A 和直线所确定的平面并作出一个过直线且垂直于点和直线所 确定平面的另一平面,所求 d 即为点到作
7、出平面的距离 . 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：如图 2, 设点 A和直线 L 所确定的平面为,过直线 L 且垂直于的平面为. 于是所求距离,22 ,33 ,4,1d 即为点 A到平面的距离 . 设平面的法向量为 n ,就 nv另一方面, nn n 为平面的法向量因此n = nv而n =Av所以n =Avv=AvvvvA =4,3,122,32,2 ,3-,22 ,3 =171 ,2,2不妨取 n =1 ,2,2. 得平面的方程为-x+1-2y-2z-2=0 即 x+2y+2z-3=0 d=2242213
8、=3 AAv=0得到一个式子 1,又因AA2 12227 运用点与点关与直线对称的方法. 找出直线外一点 A 的对称点 A ,可知中点在直线上可得到另一个式子2,解出由 12两式所组成的方程组,即得 A 的坐标,由 d=AA得出点到直线的距离 . v=0 2解：设点 A 关于直线 L 的对称点为Ax,y,z,就AA即22x24y31z=0 又AA的中点a22x,42y,12z在直线 L 上即22x142y12z32224 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解 式组成的方程组,得A 的坐标为00,3. 得出的坐标,得A
9、A=2 ,4 ,4d=AA1224242=3 228 运用求极限的方法. 对于直线上任一点,由直线方程xXx 1yYy 1zZz 1到 AM 的表达式,利用取微小值的方法,即得点到直线的距离. 解：设为直线 L 上一点. 由x21yz2知点坐标为y,1y,3y4232AM =y122y423y41 22 = 17y217y264对于x17y217y26因17 0 故 x 有微小值 . 44微小值为抛物线x17y217y26顶点的纵坐标 . 4 x=9 AM 有微小值 3 d=3. 9 运用球面和直线相切的方法以直线外一点为中心作一球面并与直线相切,是点到直线的距离 . 解2：y设2球面d方程为x24z122v , 中心到切点的距离即半径也就名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 22x124y 131z 101又为球面上一点22x 122y142z 112d又x121y 1z 13232由 123 消去x 1y1z 1得 d=3 所以点到直线距离为3. 参考文献 ：3 傅文德 . 求点到直线距离的几种方法 . 高等数学讨论 . 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页