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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 姓 名：离散数学作业5 学号：得分：老师签名：离散数学图论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3 次,内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理规律部分的综合练习,基本上是依据考试的题型（除单项挑选题外）支配练习题目,目的是通过综合性书面作业,使同学自己检验学习成果,找出 把握的薄弱学问点,重点复习,争取尽快把握；本次形考书面作业是其次次作业,大家要仔细准时地完成图论部分的综合练习作业；要求： 将此作业用 A4 纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要 有解答过程,要求 2022年 12 月 5 日前完成并上交任课老师（不收电子稿
2、）；并在 05 任务界面下方点击“ 储存” 和“ 交卷” 按钮,以便老师评分；一、填空题 1已知图 G 中有 1 个 1 度结点, 2 个 2度结点, 3 个 3 度结点, 4 个 4 度结 点,就 G 的边数是 152设给定图 G如右由图所示 ,就图 G 的点割集是 f 3设 G 是一个图,结点集合为 V,边集合为 E,就 G 的结点 度数之和 等于边数的两倍4无向图 G 存在欧拉回路,当且仅当G 连通且 等于出度 5设 G=是具有 n 个结点的简洁图,如在 G 中每一对结点度数之和大于等于 n-1,就在 G 中存在一条汉密尔顿路6如图 G= 中具有一条汉密尔顿回路,就对于结点集 V 的每个
3、非空子集S,在 G 中删除 S中的全部结点得到的连通分支数为满意的关系式为WG-V1V1 W,就 S中结点数 |S|与 W7设完全图 K n 有 n 个结点 n 2,m条边,当 n 为奇数 时,K n 中存在欧拉 回路8结点数 v 与边数 e 满意 e=v-1 关系的无向连通图就是树9设图 G 是有 6 个结点的连通图,结点的总度数为 4 条边后使之变成树18,就可从 G 中删去10设正就 5 叉树的树叶数为 17,就分支数为 i =5二、判定说明题 （判定以下各题,并说明理由）1假如图 G 是无向图,且其结点度数均为偶数,就图 G 存在一条欧拉回1 / 6 名师归纳总结 - - - - -
4、- -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 路1 不正确,缺了一个条件,图 图 G 是一个有孤立结点的图；G 应当是连通图,可以找出一个反例,比如2如下图所示的图 G 存在一条欧拉回路2 不正确,图中有奇数度结点,所以不存在是欧拉回路；3如下图所示的图G 不是欧拉图而是汉密尔顿图解：正确G由于图中结点 a,b,d,f 的度数都为奇数,所以不是欧拉图；假如我们沿着 a,d,g,f,e,b,c,a,这样除起点和终点是 一次仅一次,所以存在一条汉密尔顿回路,是汉密尔顿图a 外,我们经过每个点4设 G 是一个有 7 个结点 16 条边的连通图,就 G 为平面图解： 1
5、 错误假设图 G 是连通的平面图,依据定理,结点数v,边数为 e,应满意 e小于等于 3v-6,但现在 16 小于等于 3*7-6,显示不成立；所以假设错误； 5设 G 是一个连通平面图,且有 2 正确6 个结点 11 条边,就 G 有 7 个面依据欧拉定理,有 v-e+r=2,边数 v=11,结点数 e=6,代入公式求出面数 r=7 三、运算题1设 G=,V= v1,v2,v3,v4,v5,E= v1,v3,v2,v3,v2,v4,v3,v4,v3,v5,v4,v5 ,试 1 给出 G 的图形表示； 2 写出其邻接矩阵；3 求出每个结点的度数； 4 画出其补图的图形2 / 6 名师归纳总结
6、- - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：1 v1 v2 v3 v4 v5 2 邻接矩阵为001002,v3 结点度数为3, v4 结点度数为2,v5结点度数为2 001101101101101001103 v1结点度数为1,v2 结点度数为4 补图图形为v1 v2 v3 v4 v5 2图 G=,其中 V= a, b, c,d,e ,E= a, b, a, c, a, e, b, d,b, e, c, e, c, d, d, e ,对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4 及 5,试（1）画出 G 的图形；（2）写出 G 的邻接矩
7、阵；（3）求出 G 权最小的生成树及其权值（1）G 的图形如下：3 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）写出 G 的邻接矩阵（3）G 权最小的生成树及其权值3已知带权图 G 如右图所示1 求图 G 的最小生成树； 2运算该生成树的权值解：1 最小生成树为4 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 2 5 7 3 2 该生成树的权值为 1+2+3+5+7=18 4设有一组权为 2,3,5,7,17,31,试画出相应的最优二叉
8、树,运算该最优二叉树的权63 31 1 17 1 7 5 5 2 3 5 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 权为 2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131 四、证明题1设 G 是一个 n 阶无向简洁图, n 是大于等于 3 的奇数证明图 G 与它的补图 G 中的奇数度顶点个数相等证明：设GV E,GV E就 E 是由 n 阶无向完全图K 的边删去 E n所得到的所以对于任意结点uV ,u 在 G 和 G 中的度数之和等于u 在K 中的度数由于 n 是大于等于 3 的奇数,从而K 的每个结点都是偶
9、数度的（n1 2度）,于是如 uV 在 G 中是奇数度结点,就它在G 中也是奇数度结点故图 G 与它的补图 G 中的奇数度结点个数相等2设连通图 G 有 k 个奇数度的结点,证明在图G 中至少要添加k 条边才 2能使其成为欧拉图证明 ：由定理 3.1.2,任何图中度数为奇数的结点必是偶数,可知 k 是偶 数又依据定理 4.1.1的推论,图 G 是欧拉图的充分必要条件是图 G 不含奇数度结点因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边,使图 为偶数,成为欧拉图G 的全部结点的度数变故最少要加k 条边到图 G 才能使其成为欧拉图26 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页