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1、第三章 微分中值定理与导数的应用本章概述：本章以微分中值定理为中心，讨论导数在研究函数的性态（单调性、极值、凹凸性）方面的应用重点：中值定理；洛必达法则；函数的单调性，曲线的凹凸性与拐点；函数极值的求法；函数的最值问题；方程根的存在性及不等式的证明难点：三个中值定理及泰勒公式；方程根的存在性及不等式的证明基本要求：理解中值定理的条件和结论，它是本章内容的理论基础，是建立导数与函数关系的桥梁；掌握中值定理证明的思想方法-构造性证明方法此方法不仅在中值定理的证明中，而且在不等式的证明、方程根的存在性及导数的应用中都具有广泛的应用；掌握洛必达法则，它是求未定型极限的一种重要方法；掌握导数的应用，会利
2、用导数研究函数的单调性、极值、最值、曲线的凹凸性和拐点等第一节 微分中值定理1填空与选择：（1）下列函数在上满足罗尔定理条件的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）（2）下列条件不能使在上应用拉格朗日中值定理的是（ ）（A）在上连续，在内可导；（B）在上可导；（C）在内可导，且在点右连续，点左连续；（D）在内有连续的导数（3）函数在上满足拉格朗日定理中的数值是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）1（4）设在内可导，是内的任意两点，则（ ）（A）；（B）在之间恰有一点，使；（C）在之间至少存在一点，使；（D）在之间的任一点，均有（5）若在内可导，且是内任意两点，且，则至少存在一点，使（
3、 ）（A），其中；（B），其中；（C），其中；（D），其中（6）设，则方程有_ 个实根, 分别位于区间 中 2证明：当时，恒等式成立3设函数在上连续,且，证明函数在区间内有唯一零点4证明：方程在区间内有唯一的根5设在上具有二阶导数，又证明在内至少存在一点，使6证明下列不等式：（1）当时，（2）当时，7设是上的正值可微函数证明：存在，使得8 设在上连续，在内可导，且，证明在内存在一点，使 本节作业总结：第二节 罗比达法则1填空与选择：（1）能用罗必塔法则求极限的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）（2）下列各式运用洛必达法则正确的是（ ）（A）；（B）；（C）不存在；（D）=（3） （4）
4、 （5） （6）= 2 利用罗必塔法则求下列各极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9） （10）（11）（12）本节作业总结：第三节 泰勒公式1按的幂展开多项式2求函数的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式3求函数按的幂展开的带有拉格朗日余项的阶泰勒公式4求一个二次多项式，使得5利用泰勒公式求极限本节作业总结：第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性1填空与选择：（1）函数在内可导，则在内是函数在内单调增加的（）（A）必要非充分条件； （B）充分非必要条件；（C）充分必要条件； （D）无关条件（2）设，则的单调递减区间为（）（A）； （B）；（C）； （D）（3）下列函数中，（ ）在
5、指定区间内是单调减少的函数（A），；（B），；（C） ，； （D），（4）在内可导, 且,当 时, , 则( )（A）任意； （B）任意；（C）单调增； （D）单调增（5）若点是曲线的拐点，则（）（A）必有存在且等于零；（B）必有存在但不一定等于零；（C）如果存在，必等于零；（D）如果存在，必不等于零（6）若点是曲线的拐点，则（）（A）； （B）；（C）； （D）（7）曲线的凹区间为 和 （8）曲线的拐点为 （9）若函数二阶导数存在，且，则在上是单调 2确定下列函数的单调区间：（1）（2）3列表求曲线的拐点和凹凸区间4证明下列不等式：（1）当时，（2）当时, （3）当且时，5讨论方程（其中）有
6、几个实根？6利用凹凸性证明： 当时, 7 设在内二阶可导，且，其中，则是否一定为曲线的拐点？举例说明本节作业总结：第五节 函数的极值与最大值最小值1填空与选择：（1）设在点可导则是在点处取得极值的（ ）（A）必要条件； （B）充分条件；（C）充要条件； （D）无关条件（2）设在内有二阶导数，问还要满足以下哪个条件，则必是的最大值？（ ）（A）是的唯一驻点；（B）是的极大值点；（C）在内恒为负；（D）不为零（3）若在至少二阶可导, 且,则函数在处( )（A）取得极大值； （B）取得极小值；（C）无极值； （D）不一定有极值（4）设，则下列选项正确的是( ) （A）是的极大值；（B）是的极大值；（
7、C）是的极小值；（D）是曲线的拐点（5）函数在区间上的最大值为 ，最小值为 （6）设函数在的某邻域内可导，且，则是的极_ _值2 求下列函数的极值：（1）（2）3求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：（1），（2），4过椭圆上位于第一象限的点引切线，此切线与坐标轴构成一个直角三角形，使此三角形的面积为最小，求5 某厂每批生产某种商品单位的费用为，得到的收益是，问每批生产多少单位时才能使利润最大？6 工厂与铁路线的垂直距离为, 点到火车站的距离为 欲修一条从工厂到铁路的公路, 已知铁路与公路每公里运费之比为，为了使火车站与工厂间的运费最省, 问点应选在何处？本节作业总结：第六节 函数图形的描绘
8、1求的渐近线2作函数的图形本节作业总结：第七节 曲率1填空：（1）曲线上任一点的曲率为 ，上任一点的曲率为_ _（2）曲线在点 处曲率半径最小，曲率半径为 （3）曲线的弧微分 2求常数，使在处与曲线相切，且有相同的凹向与曲率3 曲线弧上哪一点处的曲率半径最小?求出该点的曲率半径本节作业总结：第三章自测题1填空与选择：（1）设则在点处( )（A）的导数存在 , ；（B）取得极大值；（C）取得极小值；（D）的导数不存在（2）已知在可导，且方程在有两个不同的根与，那么在（）根（A）必有； （B）可能有； （C）没有；（D）无法确定（3）已知对一切满足若（），则（ ）（A）是的极大值；（B）是的极小值
9、；（C）是曲线的拐点；（D）不是的极值，且也不是曲线的拐点（4） （5）函数在区间 内单调减少，在区间 内单调增加（6）曲线的渐近线是 （7）曲线拐点的横坐标为，则常数 2求下列极限：（1）（2）（3）3欲做一个底为正方形，容积为的长方体开口容器，怎样做所用材料最省？4当时，证明：5已知函数在上连续，在内可导，且，证明在内至少存在一点，使得6考研题练练看：（1）（2012年数学一，4分）曲线渐近线的条数（ ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3（2）（2011年数学一，4分）曲线的拐点是（ ）（A）(1,0)； （B）(2,0)； （C）(3,0)； （D）(4,0)（3）（2010年
10、数学二，4分）曲线的渐近线方程为 （4）（2012年数学一，10分）证明：（5）（2011年数学一，10分）证明：（6）（2010年数学二，10分）设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明：存在，使得（7）（2011年数学一，10分）求方程不同实根的个数,其中为参数本章作业纠错与总结：数学家生平简介：罗尔：罗尔是法国数学家1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎罗尔出生于小店家庭，只受过初等教育，且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人与律师抄录员的微薄收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作，并很有心得1682年，他解决了数学家奥扎南提出的一个数论难
11、题，受到了学术界的好评，从而名身雀起，也使他的生活有了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行征官员1685年进入法国科学院，担任低级职务，到1690年才获得科学院发给的固定薪水此后他一直在科学院供职，1719年因中风去世罗尔于1691年在题为任意次方程的一个解法的证明的论文中指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根 1846年，尤斯托伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理拉格朗日：拉格朗日（Lagrange），法国数学家、物理学家，1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎17岁时，在偶然读到哈雷的一篇介绍牛顿微积分的短文论分析方法的
12、优点后，对数学产生了兴趣1753年他尚未从都灵炮兵学校毕业，就担任了该校数学课教学工作，1755年9月成为该校教授1756年经欧拉推荐，被提名为柏林科学院通讯院士1759年成为柏林科学院院士，1776年被评为彼得堡科学院名誉院士，1783年成为都灵科学院名誉主席及伦敦皇家学会会员1795年任新成立的巴黎高等师范学院数学教授，巴黎理工学院的第一位几何教授与第一任校长后被路易十六授与伯爵爵位拉格朗日是18世纪的伟大科学家，他在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献但他主要是数学家，研究力学和天文学的主要目的是为了表明数学分析的威力。他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了
13、决定性的作用使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具柯西：柯西（chauchy）1789年8月21日出生于巴黎， 父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日，拉普拉斯交往密切柯西少年时代的数学才华颇受这两位数学家的赞赏1807年至1810年柯西在工学院学习曾当过交通道路工程师，由于身欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师而致力于纯数学的研究，柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系这是微积分发展史上的精华，也是柯西对人类科学发展所作出的巨大贡献栖西在其它方面的研究成果也很丰富复变函数的微积分理论就是由他创立的在代数方
14、面、理论物理、光学、弹性理论方面，也有突出贡献柯西的数学成就不仅辉煌，而且数量惊人柯西全集有27卷，其论著有800多篇在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家，他的光辉名字与许多定理、准则一起铭记在当今许多教材中洛必达：洛必达(LHospital),法国数学家，1661年生于巴黎，1704年2月2日卒于巴黎洛必达生于法国贵族家庭，他拥有圣梅特候爵，昂特尔芒伯爵称号青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视自行告退，转向从事学术研究洛必达很早即显示出其数学的才华，15岁时就解决了帕斯卡所进出的一个摆线难题洛必达是莱布尼兹微积分的忠实信徒，并且是约翰伯努利的高足，成功地解答过约翰伯努利提出的“最速降线”问题他是法国科学院院士洛必达的最大功绩是撰写了世界上第一本系统的微积分教程-用于理解曲线的无穷小分析这部著作出版于1696年，后来多次修订再版，为在欧洲大陆，特别是在法国普及微积分起了重要作用 洛必达豁达大度，气宇不凡。由于他与当时欧洲各国主要数学家都有交往,从而成为全欧洲传播微积分的著名人物23 / 24