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1、新课填补新课填补: 何谓一组数据的极差何谓一组数据的极差? 极差反映了这组数据哪方面的特征极差反映了这组数据哪方面的特征? 答答 一组数据中的一组数据中的最大值最大值减去减去最小最小值值所得的差叫做这组数据的极差。所得的差叫做这组数据的极差。 极差反映的是这组数据的极差反映的是这组数据的变化范变化范围围或或变化幅度变化幅度，也称，也称离散程度离散程度极差只能反映一组数据中两个极值之间的大极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。 乒乓球的标准直径为乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从，质检部门从A、B两厂生产的两厂生产的
2、乒乓球中各抽取了乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检只，对这些乒乓球的直径了进行检测。结果如下（单位：测。结果如下（单位：mm）：）：A厂：厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2， 39.8，40.0，39.9，40.0，40.1； B厂：厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9， 40.1，39.8，40.2，39.8，40.2.你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢?1. 请你算一算它们的平均数和极差。请你算一算它们的平均数和极差。2. 是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？是否由此就断定两
3、厂生产的乒乓球直径同样标准？今天我们一起来探索这个问题。今天我们一起来探索这个问题。情境一：情境一：甲，乙两名射击手都很优甲，乙两名射击手都很优秀，现只能挑选一名射击秀，现只能挑选一名射击手参加比赛手参加比赛. .若你是教练，你认为挑选若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？哪一位比较适宜？教练的烦恼教练的烦恼情境二：情境二：第一次第一次 第二次第二次 第三次第三次 第四次第四次 第五次第五次甲甲命中环数命中环数688810乙乙命中环数命中环数1061068甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下： 请分别计算两名射手的平均成绩；请分别计算两名射手的平均成绩；教练的
4、烦恼教练的烦恼乙x=8（环）=8（环）甲甲x第一次第一次 第二次第二次 第三次第三次 第四次第四次 第五次第五次甲甲命中环数命中环数688810乙乙命中环数命中环数1061068012234546810甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：成绩（环）成绩（环）射击次序射击次序 请分别计算两名射手的平均成绩；请分别计算两名射手的平均成绩； 请根据这两名射击手的成绩在请根据这两名射击手的成绩在下图中画出折线统计图；下图中画出折线统计图；教练的烦恼教练的烦恼他们的极差分别是多少？他们的极差分别是多少？第一次第一次 第二次第二次 第三次第三次 第四次第四次 第五次第五
5、次甲甲命中环数命中环数688810乙乙命中环数命中环数1061068012234546810甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：成绩（环）成绩（环）射击次序射击次序 请分别计算两名射手的平均成绩；请分别计算两名射手的平均成绩； 请根据这两名射击手的成绩在请根据这两名射击手的成绩在下图中画出折线统计图；下图中画出折线统计图；教练的烦恼教练的烦恼第一次第一次 第二次第二次 第三次第三次 第四次第四次 第五次第五次甲甲命中环数命中环数688810乙乙命中环数命中环数1061068012234546810甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：甲，乙两名射击手的测试成绩
6、统计如下：成绩（环）成绩（环）射击次序射击次序 请分别计算两名射手的平均成绩；请分别计算两名射手的平均成绩； 请根据这两名射击手的成绩在请根据这两名射击手的成绩在 下图中画出折线统计图；下图中画出折线统计图； 现要挑选一名射击手参加比现要挑选一名射击手参加比 赛，若你是教练，你认为挑赛，若你是教练，你认为挑 选哪一位比较适宜？为什么？选哪一位比较适宜？为什么？教练的烦恼教练的烦恼甲甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：射击成绩与平均成绩的偏差的和：乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：（6-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（10-8）=0（10-8）+（6-8）+
7、（10-8）+（6-8）+（8-8）=0第一次第一次 第二次第二次 第三次第三次 第四次第四次 第五次第五次甲甲命中环数命中环数688810乙乙命中环数命中环数1061068（10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2=（6-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（10-8）2=甲甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：找到啦！有区别了！找到啦！有区别了！816第一次第一次 第二次第二次 第三次第三次 第四次第四次 第五次第五次甲甲命中环数命中环数688
8、810乙乙命中环数命中环数1061068上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？与射击次数有关！与射击次数有关！所以要进一步用所以要进一步用各偏差平方的平均数各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性来衡量数据的稳定性设一组数据设一组数据x1、x2、xn中，各数据与它们的平均数中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是的差的平方分别是(x1x)2、(x2x)2 、 (xnx)2 ，那那么我们用它们的平均数，即用么我们用它们的平均数，即用S2= (x1x)2 (x2x)2 (xnx)2 1n方差的定义：方差的定义： 我们采用各偏差平方的我们采用各偏差平方的平均数平均数
9、来衡量数来衡量数据的稳定性，据的稳定性，即即叫做这组数据的方差（用叫做这组数据的方差（用S2来表示）。来表示）。 222212)(.)()(1xxxxxxnSn方差方差越大越大,说明数据的波动越大说明数据的波动越大,越不稳定越不稳定.方差方差用来衡量一批数据的波动大小用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小即这批数据偏离平均数的大小).S2= (x1x)2 (x2x)2 (xnx)2 1n第一次第一次 第二次第二次 第三次第三次 第四次第四次 第五次第五次甲甲命中环数命中环数688810乙乙命中环数命中环数1061068）（环），（环乙甲22222 . 36 . 1ss22乙甲s
10、s挑选甲较适宜试一试计算甲，乙两组数据的方差试一试计算甲，乙两组数据的方差由由方差的定义，要注意：方差的定义，要注意：1、方差是衡量数据稳定性的一个统计量；、方差是衡量数据稳定性的一个统计量；2、要求某组数据的方差，要先求数据的平均数；、要求某组数据的方差，要先求数据的平均数；3、方差的、方差的单位单位是所给数据是所给数据单位的平方单位的平方；4、方差越大，波动越大，越不稳定；、方差越大，波动越大，越不稳定； 方差越小，波动越小，越稳定。方差越小，波动越小，越稳定。例题精选例题精选 例例 为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽出抽出10株苗，测得苗高如下（单
11、位：株苗，测得苗高如下（单位：cm）：）：甲：甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；乙：乙：11，16，17，14，13，19， 6， 8，10，16； 问：哪种小麦长得比较整齐？问：哪种小麦长得比较整齐？X甲甲 （ cm）13)161086191314171611(101X乙乙 （cm） 13)11151113161015141312(101S2甲甲 （cm2）S2乙乙 （cm2） 6 . 3)1311()1313()1312(1012228 .15)1316()1316()1311(101222因为因为S2甲甲 S2乙乙，所以甲种小麦长得比较整齐。，所以甲种小麦长
12、得比较整齐。 解解:乒乓球的标准直径为乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从，质检部门从A、B两厂生产的两厂生产的乒乓球中各抽取了乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检只，对这些乒乓球的直径了进行检测。结果如下（单位：测。结果如下（单位：mm）：）：A厂：厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2， 39.8，40.0，39.9，40.0，40.1； B厂：厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9， 40.1，39.8，40.2，39.8，40.2.你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢?现在可以判断了吗？
13、试试看。现在可以判断了吗？试试看。小试牛刀：小试牛刀：标准差的定义标准差的定义 为了使得与数据单位一致，可用方差的为了使得与数据单位一致，可用方差的算术平方根来表示（即标准差）：算术平方根来表示（即标准差）：，S为标准差。为标准差。22221)()()(1xxxxxxnSn特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据都没有偏差，即每个数都一样都没有偏差，即每个数都一样 。一般来说，一组数据的方差或标准差越小，这组数一般来说，一组数据的方差或标准差越小，这组数据离散程度越小，这组数据就越稳定。据离散程度越小，这组数据就越稳定。练习：练习：1.若甲组数据的方差比乙组
14、数据的方差大，那若甲组数据的方差比乙组数据的方差大，那么下列说法正确的是（么下列说法正确的是（ ）A.甲组数据的平均数比乙组数据的平均数大甲组数据的平均数比乙组数据的平均数大B.甲组数据比乙组数据稳定甲组数据比乙组数据稳定C.乙组数据比甲组数据稳定乙组数据比甲组数据稳定D.甲，乙组的稳定性不能确定甲，乙组的稳定性不能确定C练习：2.一组数据的一组数据的7、8 、9 、10 、11 、12 、13的方差是的方差是_.标准差是标准差是_.3.已知一组数据已知一组数据-1，x，0，1，-2的平均数的平均数是是0，那么这组数据的方差是，那么这组数据的方差是_. 反映数据离散程度的指标是什么？反映数据离
15、散程度的指标是什么？在一次数学测试中，甲、乙两班的在一次数学测试中，甲、乙两班的平均成绩相同，甲班成绩的方差为平均成绩相同，甲班成绩的方差为42，乙班成绩的方差为，乙班成绩的方差为35，这样的，这样的结果说明两个班的数学学习状况各结果说明两个班的数学学习状况各有什么特点？有什么特点？ 总结：总结： 若若x1，x2，x3，x4，xn方差为方差为S2，则则x1a，x2a，x3a，x4a，xna的的方差仍是方差仍是S2，而，而ax1，ax2，ax3，ax4，axn的的方差是方差是a2S2。 若若x1，x2，x3，x4，xn平均数为平均数为x，则则x1a，x2a，x3a，x4a，xna的的平均数是平均
16、数是x+a，而，而ax1，ax2，ax3，ax4，axn的的平均数是平均数是ax。（探究题）已知数据（探究题）已知数据x1、x2、x3、x4、x5的的平均数是平均数是2，方差是，方差是 ， 那么另一组数据那么另一组数据2x11，2x21，2x31，2x41，2x51的的平均数和方差分别是（平均数和方差分别是（ ） A、2， B、4， C、2， D、3， 31313132D34 已知一组数据已知一组数据1，2，n的方差的方差是是a。平均数是。平均数是b则数据则数据1-4,2-4,n4的方差是的方差是 ；平均数；平均数_. 数据数据 31，32，3n的方差的方差是是 。平均数是。平均数是_. 数据
17、数据31，32，3n 方差是方差是.平均数是平均数是_.ab-49a3b3b-49a今天我们一起探索了数学的有关什么今天我们一起探索了数学的有关什么知识？你取得了哪些收获？知识？你取得了哪些收获？平均数是反映一组数据总体趋势的指标，方差、平均数是反映一组数据总体趋势的指标，方差、标准差均是表示一组数据离散程度的指标标准差均是表示一组数据离散程度的指标.计算方差的步骤可概括为计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，先平均，后求差，平方后，再平均平方后，再平均”.方差和标准差的区别与联系：方差和标准差的区别与联系：联系：联系：方差和标准差都是用来衡量（或描述）一组数据方差和标准差都是用来衡量（或描
18、述）一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况。来比较两组数据的波动情况。区别：区别：方差是用方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标。更敏感的指标。在实际使用时，往
19、往计算一组数据的方差，来衡量一组数在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。据的波动大小。标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。 极差、方差和标准差的区别与联系：极差、方差和标准差的区别与联系：联系：联系：极差、方差和标准差都是用来衡量极差、方差和标准差都是用来衡量 （或描述）一组数据（或描述）一组数据偏离平均数的大小偏离平均数的大小（即（即波动大小）的指标，常用来比较两组数波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况。据
20、的波动情况。区别：区别：极差极差是用一组数据中的最大值与最是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要反小值的差来反映数据的变化范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感。对其他的数据的波动不敏感。 方差方差是用是用“先平均，再求差，然后平方，最先平均，再求差，然后平方，最后再平均后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变化离散程度的一个重要指标，每个数年据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标。在实际使用时，往往计算情况更敏感的指标。在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。标准差实际是方差的一个变形标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。数据单位相同。观察下面的图，指出其中谁的标准差较大，观察下面的图，指出其中谁的标准差较大， 并说说为什么并说说为什么