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1、.第二章 数列极限P.27 习题2按 N定义证明：（1）1limn证明 因为 n1，所以 0，取 1N， n，必有n1. 故lin（2） 231lim2证明 因为 nnnn325)1(23)1(322 )1(n，于是 0，取,axN， N，有 . 所以 23lim2（3）!lin证明 因为 nnn121)(!0 ，于是 0，取1N， n，必有1. 所以0!lim（4）0silm证明 因为 nnsi，于是 0，取 N， n，必有n0si. 所以0il（5）)1(liman证明 因为 ，设 )(h，于是 22)1()1( hnnhann ，从而22)1()(0hnn ，所以 0，取12N，N，有2
2、)(an. 故limna3根据例 2，例 4 和例 5 的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：.（1） nlim；（2）n3li；（3） 31limn（4） 3li；（ 5） n1；（6） 0li；（7） n21li解 （1）0li21n（用例 2 的结果，a） ，无穷小数列. （2） lim， （用例 5 的结果， 3a）（3）03n， （用例 2 的结果， ） ，无穷小数列. （4）1lilin， （用例 4 的结果， 31q） ，无穷小数列. （5）02limlinnn， （用例 4 的结果， 2） ，无穷小数列. （6） 10， （用例 5 的结果， 1a）. （7）li2lin
3、n,（用例 5 的结果，） . 4证明：若 a，则对任一正整数 k ，有 aknlim证明 因为 nlim，所以 |,0,Nn，于是，当Nk时，必有 N，从而有 |akn，因此 kli. 5试用定义 1 证明：（1）数列 n不以 1 为极限；（2）数列 )1(n发散. 证明（用定义 1 证明） 数列 na不以 a 为极限（即 anlim）的定义是：0， N， 0， 0|0（1）取 2， ，取 N2，有 00 1)(1n，故数列 n1不以 1 为极限. 另证（用定义 1证明） 取 20，则数列 中满足 2的项（有无穷多个）显然都落在 1 的邻域 )3,1();0U之外，故数列 n1不以 1 为极
4、限. （2）数列 (n=654,，对任何 Ra，取 0，则数列)(n中所有满足“ n 为偶数，且 an”的项（有无穷多个） ，都落在 a 的邻域.)1,();(0aaU之外，故数列 )1(n不以任何数 a 为极限，即数列1n发散. 6证明定理 2.1，并应用它证明数列 n)(的极限是 1. 定理 2.1 数列 na收敛于 a 充要条件是： an为无穷小数列. （即anlim的充要条件是 0)(lim）证明 （必要性）设 n，由数列极限的定义， ,0,Nn，有 |0)(|nn ，所以 0)(lin. （充分性）设 lia，由数列极限的定义， ,，有 |)(|ann，所以 anli. 下面证明：数
5、列 n)1(的极限是 1. 因为 nn)1()1(是无穷小数列，所以数列n的极限是 1. 7证明：若 anlim，则 |lian. 当且仅当 a 为何值时反之也成立？证明 设 ，由数列极限的定义， ,0,Nn，|ann，所以也有 |lin. 但此结论反之不一定成立，例如数列 )1(. 当且仅当 a = 0 时反之也成立. 设 0|limna，于是 ,0,n，|n，所以 anli. 8按 N定义证明：（1） )1(limn； （2）0321linn（3） 1lina，其中 为 奇 数为 偶 数nn2,证明 （1）因为 n1| . 于是 0，取 21N，Nn，必有n1|，从而 )(limn. （2
6、）因为 n122)323，于是 0，取1， n，必有nn1013，所以3lin.（3）因为当 n 为偶数时， nan1|1| 当 n 为奇数时， nn 1| 222 ，故不管 n 为偶数还是奇数，都有 na1|. 于是 0，取 N， ，必有a1|，所以 limn. P.33 习题1求下列极限： 根据 P.24 例 2 01lian， ，可得 4134lim34li 23 nnn 0)1(li21li2nn根据 P.25 例 4 q， 1|，可得 3)2(3lim)2(li 11nnnn 21limli)li 2 nnnn这是因为由 P.29 例 1 若 anli，则 anli. 于是由1)(l
7、imn，得1limnn. 0)2(linn，因为 1limn（ 0a） 2311li31322limnnnn2设 anli， bnli，且 a. 证明：存在正数 N，使得当 n时，有.nba. 证明 由 ba，有ba2. 因为 2limban，由 P.24 保号性定理2.4，存在 01N，使得当 1Nn时有 2an. 又因为lin，所以，又存在 2，使得当 2时有b. 于是取 ,ax21N，当n时，有 nna. 3设 为无穷小数列， 为有界数列，证明： nba为无穷小数列. 证明 因为 nb为有界数列，所以存在 0M，使得 ,21,|. 由na为无穷小数列，知 ,0,Nn， n|. 从而当 N
8、n时，有Mbn|，所以 limba，即 nba为无穷小数列. 4求下列极限（1）1li 132li)1(321lim nnnn （2）因为 nn 2121841284，而)(11nn，于是 lim21n，从而2li2lim184 nn（3） 323lim2129725li132 nnnnn（4）当 时，1n，n，而1lilin，所以1limn. （5）因为)(,01)2()(0 2222 nnn，所以01)(1li22 n.（6）因为112122222 nnnn，且limli n，所以 121li 22 nnn 5设 a与 b中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明 nba是发散数列. 又问
9、n和)0(n是否必为发散数列. 证明 （用反证法证明）不妨设 na是收敛数列， n是发散数列. 假设数列nba收敛，则 nnba)(收敛，这与 nb是发散数列矛盾，所以，数列发散. 同理可得数列 发散. n和)0(n不一定是发散数列. 例如，若 na是无穷小数列， nb是有界的发散数列. 则 nba和)(n是无穷小数列，当然收敛. 但是，有下列结果：如果 0lima， nb是发散数列，则 n和)0(nab一定是发散数列 . 6证明以下数列发散：（1） 1)(n证明 设 1)(nan，则)(,12nan，而212nan，由 P.33，定理 2.8 知 发散. （2） )1(证明 的偶数项组成的数
10、列 na2，发散，所以 n)1(发散. （3） 4cosn证明 设an，则子列 )(,18nan，子列)(,148n ，故 4cos发散. 7判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）：（1）若 2ka和 2k都收敛，则 na收敛. .解 结论不一定成立. 例如，设nna)1(，则 12ka， 2k都收敛，但nna)1(发散. 注 若 12k和 2ka都收敛，且极限相等（即 kk212limli） ，则 na收敛. （2）若 3， 13和 3k都收敛，且有相同的极限，则 n收敛. 证明 设 akk 312limlilim，则由数列极限的定义，知 0，01K， 1， |3；同样
11、也有 02K， 2k， |13k；3， ， ak. 取 ,x31N，当 N时，对任意的自然数 n ，若 ，则必有 1k，从而 |n；同样若 n，则必有 2k，从而也有 |n；若 n3，则必有 3，从而 |a. 所以 anlim，即 收敛.8求下列极限：（1） nk2143li解 因为 650 12)(12)(32731 nnn而02limnk，所以 041limk另解 因为 2534n，设 nSn243，1253nTn，则 nTS. 于是 1T，所以 12nS.（2） 答案见教材 P.312 提示.（3） 10,)(limk解 )1()(0 nn,01n所以， )(lik另解 因为 ，所以 1
12、)(n，于是11)()( n，从而 ),00n. （4） 答案见教材 P.312 提示.9设 ma,21为 m 个正数，证明： ,axli 21mnnn 证明 因为 ,ax,x 2121 mnnn .而 1limn，所以 ,maxli 2121 mnnna 10设 a，证明：（1） nli； （2）若 0,n，则 lin.证明 （ 1）因为 1naa，所以 naa1. 由于nnalimli，且 lim，从而 nli.（2）因为 0，由 P.29 定理 2.4，存在 0N，使得当 Nn时，有an3. 于是 nnaa23，并且123limlina，所以1li.P.38 习题1利用ennlim求下列
13、极限：（1）ennn 11lim1li1li （2）enn 1lili1（3） nnnn 1lim1li 1（4）ennnn 22lili2li注：此题的求解用到事实（P.29 例 1）：若 a，且 ,21,0n，则anlim.（5）nn21li解 因为数列 n单调增加，且有上界 3，于是 )(,11122 nnnn，所以.1lim2nn2试问下面的解题方法是否正确：求n2lim解 不正确. 因为极限n2li是否存在还不知道（事实上极限n2lim不存在） ，所以设anli是错误的 .3证明下列数列极限存在并求其值：（1）设 ,1,11nan证明 先证数列 的有界性，用数学归纳法证明：2 是 n
14、a的一个上界. 21a，假设 n，则 21nn，所以 有上界 2.其次证明 na单调增加. 0)(nnaaa，所以 n1，即 n单调增加. 从而 n极限存在，设 nlim，在21的两端取极限，得a2，解之得 a = 0 (舍去) 和 2，所以 .注： n的单调增加也可以如下证明： 21nnnaa，所以1.还可以如下得到： 12142142 nnann（2）设 ,),0(11 acc证明 先证数列 n的有界性，用数学归纳法证明： na的一个上界是 1 + c . ca1，假设 a，则 cnn 221 ，所以 n有上界 1 + c.其次证明 n单调增加（用数学归纳法证明）. 21aa，假设n1，于
15、是 n1，从而 nncc1，即 1n. 故 n单调增加. 所以 a极限存在，设 lim，在 21的两端取极限，得ac2，解之得 24. 由于 an 0 ，所以 a 0 . 故 2limna. （3）,1),0(!ncn证明 先证 n从某一项以后单调减少. 取自然数 N 使得 N c ，于是当 N时，nnnn acaa !)!1(1，即从第 N 项开始 na单调减少.由于 n的各项都大于零，所以 有下界 0. 从而 n极限存在. 设 lim，.在 nnac1的两端取极限，得 a0，故 ，即 0limna.4利用 为递增数列的结论，证明 1为递增数列.证明 设nnna121，要证： ,32,1nan，即因为 为递增数列，所以有1，即121nn，于是 nnnnn aa 1212111.其中用到事实： )(22.5应用柯西收敛准则，证明以下数列 na收敛：（1） nasi2si1证明 不妨设 m，则有 nmn 2si)i()i(| 21 nmnm 211isn2)si( 221 nmn2111m21所以， 0，取 N， Nn,，有 |mna，由柯西收敛准则， na收敛.（2） 22131an证明 不妨设 m，则有 222)()1(| nn )1( mnnmm1211