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1、概率及其计算概率及其计算本课内容4.24.2.1 概率的概念概率的概念 在同样的条件下，某一随机事务可能发在同样的条件下，某一随机事务可能发生也可能不发生，那么，它发生的可能性原生也可能不发生，那么，它发生的可能性原委有多大？能否用数值来进行刻画呢？委有多大？能否用数值来进行刻画呢？我们来看两个试验：我们来看两个试验：1.在一个箱子里放有在一个箱子里放有1个白球和个白球和1个红球，它们除颜色个红球，它们除颜色 外，大小、质地都相同外，大小、质地都相同.从箱子中随机取出从箱子中随机取出1个球，个球，它可能是红球也可能是白球，由于球的大小和质地它可能是红球也可能是白球，由于球的大小和质地 都相同，
2、又是随机摸取，所以每个球被取到的可能都相同，又是随机摸取，所以每个球被取到的可能 性是一样大的性是一样大的.很自然地，我们用很自然地，我们用 表示取到红球的表示取到红球的 可能性，同理，取到白球的可能性也是可能性，同理，取到白球的可能性也是 .一个能自由转动的游戏转盘如图所示，红、黄、绿一个能自由转动的游戏转盘如图所示，红、黄、绿3个个扇形的圆心角度数均为扇形的圆心角度数均为120，让转盘自由转动，当它，让转盘自由转动，当它停止后，指针指向的区域可能是红色、黄色、绿色这停止后，指针指向的区域可能是红色、黄色、绿色这3种情况中的种情况中的1种种.由于每个扇形的圆心角度数相等，对指由于每个扇形的圆
3、心角度数相等，对指针指向针指向“红色区域红色区域”、“黄色区域黄色区域”“”“绿色区域绿色区域”这这3个事件，发生的条件完全相同，所以出现每种情况的可个事件，发生的条件完全相同，所以出现每种情况的可能性大小相等能性大小相等.很自然地，我们用很自然地，我们用 表示指针指向红色表示指针指向红色区域、黄色区域和绿色区域的可能性大小区域、黄色区域和绿色区域的可能性大小.2.上述例子和其他大量例子表明，在随机现象中，上述例子和其他大量例子表明，在随机现象中，出现的每一个结果的可能性大小，能够用一个不超出现的每一个结果的可能性大小，能够用一个不超过过1 1的非负数来刻画的非负数来刻画.一般地，对于一个随机
4、事务一般地，对于一个随机事务A A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件件A A发生的概率，记为发生的概率，记为P P（A A）.例如，上述摸球试验中，例如，上述摸球试验中，P（摸出红球（摸出红球)=，P（摸出白球（摸出白球)=又如，在转盘试验中，又如，在转盘试验中，P（指针指向红色区域）（指针指向红色区域）=动脑筋动脑筋 把分别写有数字把分别写有数字1 1，2 2，3 3，4 4，5 5的的5 5张一样的小纸片捻成张一样的小纸片捻成小纸团放进盒子里，摇匀后，随机取出一个小纸团，试问：小纸团放进盒子里，摇匀后，随机取出一个小纸团，试问：（1
5、 1）取出的序号可能出现几种结果，每一个小纸团被取出）取出的序号可能出现几种结果，每一个小纸团被取出 的可能性一样吗？的可能性一样吗？（2 2）“取出数字取出数字3”3”是什么事务？它的概率是多少？是什么事务？它的概率是多少？（3 3）“取出数字小于取出数字小于4”4”是什么事务？它的概率是多少？是什么事务？它的概率是多少？（4 4）“取出数字小于取出数字小于6”6”是什么事务？它的概率是多少？是什么事务？它的概率是多少？（5 5）“取出数字取出数字6”6”是什么事务？它的概率是多少？是什么事务？它的概率是多少？（1 1）在上述试验中，可能取出序号为）在上述试验中，可能取出序号为1 1，2 2
6、，3 3，4 4，5 5 中的随意一个小纸团，而且这中的随意一个小纸团，而且这5 5个纸团被取出的个纸团被取出的 可能性都相等可能性都相等.（2）“取出数字取出数字3”是随机事件，它包含是随机事件，它包含5种可能结果种可能结果 中的中的1种可能结果种可能结果.因此，因此，P（取出数字（取出数字3）=（3）“取出数字小于取出数字小于4”是随机事件，它包含是随机事件，它包含5种可能种可能 结果中的结果中的3种可能结果，即取出数字种可能结果，即取出数字1，2，3.因此，因此，P（取出数字小于（取出数字小于4）=（4）“取出数字小于取出数字小于6”是必然事件，它包含全部是必然事件，它包含全部5种种 可
7、能结果，即取出数字可能结果，即取出数字1，2，3，4，5，无论取，无论取 到其中的哪个数字都小于到其中的哪个数字都小于6.因此，因此，P（取出数字小于（取出数字小于6）=1.（5）由于盒子中没有数字）由于盒子中没有数字“6”这个小纸团，因此，这个小纸团，因此，这一事件是不可能事件，它包含的结果数是这一事件是不可能事件，它包含的结果数是0.因此，因此，P（取出数字（取出数字6）=0.一般地，如果在一次试验中，有一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，种可能的结果，其中每一种结果发生的可能性相等，那么出现每一种其中每一种结果发生的可能性相等，那么出现每一种结果的概率都是结果的概率都是 如果事件
8、如果事件A包含其中的包含其中的m种可能的种可能的结果，那么事件结果，那么事件A发生的概率发生的概率个个事件事件A包含的可能结果数包含的可能结果数一次试验所有可能出现的结果数一次试验所有可能出现的结果数在在式中，由式中，由m和和n的含义可知的含义可知0mn，特殊地，当特殊地，当A A为必定事务时，为必定事务时，P P（A A）=1=1；当当A A为不行能事务时，为不行能事务时，P P（A A）=0.=0.因此因此 0 1.即即 0P（A）1.不可能事件不可能事件必然事件必然事件概率为概率为0概率为概率为1事件发生的可能性越来越大事件发生的可能性越来越大事件发生的可能性越来越小事件发生的可能性越来
9、越小事务发生的概率越大，则该事务就越有可能发生事务发生的概率越大，则该事务就越有可能发生.例例1 假定按同一种方式掷两枚匀整硬币，假定按同一种方式掷两枚匀整硬币，假如第一枚出现正面（即正面朝上），假如第一枚出现正面（即正面朝上），其次枚出现反面，就记为（正，反），其次枚出现反面，就记为（正，反），如此类推（如图）如此类推（如图）.举举例例解解 掷两枚匀整硬币，全部可能的结果有掷两枚匀整硬币，全部可能的结果有4 4个，个，即（正，正），（正，反），（反，正），即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），而且这（反，反），而且这4 4个结果出现的可能性个结果出现的可能性 相等相等.（1 1）
10、写出掷两枚硬币的全部可能结果）写出掷两枚硬币的全部可能结果.（2 2）写出下列随机事务发生的全部可能结果）写出下列随机事务发生的全部可能结果.A A：“两枚都出现反面两枚都出现反面”；B B：“一枚出现正面、一枚出现反面一枚出现正面、一枚出现反面”；C C：“至少有一枚出现反面至少有一枚出现反面”.”.A，B，C事件发生的所有可能结果分别是：事件发生的所有可能结果分别是：A：（反，反）；：（反，反）；B：（正，反），（反，正）；：（正，反），（反，正）；C：（反，正），（正，反），（反，反）：（反，正），（正，反），（反，反）.解解（3 3）求事务）求事务A A，B B，C C的概率的概率.由
11、（由（1）、（）、（2）可知，）可知，P（A）=解解P（B）=P（C）=1.掷一枚匀整的骰子，骰子的掷一枚匀整的骰子，骰子的6个面上分别刻有个面上分别刻有2.1，2，3，4，5，6点，求下列事务的概率：点，求下列事务的概率：3.（1）点数为）点数为3；（2）点数为偶数；）点数为偶数；4.（3）点数为）点数为7；（4）点数大于）点数大于2小于小于6.练习练习答：答：（1）点数为）点数为3的概率为的概率为（2）点数为偶数）点数为偶数的概率为的概率为（3）点数为）点数为7的概率为的概率为0;（4）点数大于）点数大于2小于小于6的概率为的概率为2.一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示的一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示的 方格地面上（每个小方格都是边长相等的正方形），方格地面上（每个小方格都是边长相等的正方形），则小鸟落在阴影方格地面上的概率为则小鸟落在阴影方格地面上的概率为_.结结 束束