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1、1东南大学薛晖hxueseueducn Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望2经典问题之一经典问题之一q一逻辑学家误入某部落，被囚于牢狱，酋长欲一逻辑学家误入某部落，被囚于牢狱，酋长欲意放行，他对逻辑学家说：意放行，他对逻辑学家说：“今有两门，一为今有两门，一为自由，一为死亡，你可任意开启一门。现从两自由，一为死亡，你可任意开启一门。现从两个战士中选择一人负责解答你所提的任何一个个战士中选择一人负责解答你所提的任何一个问题（问题（Y/N），其中一个天性诚
2、实，一人说谎），其中一个天性诚实，一人说谎成性，今后生死任你选择。成性，今后生死任你选择。”逻辑学家沉思片逻辑学家沉思片刻，即向一战士发问，然后开门从容离去。逻刻，即向一战士发问，然后开门从容离去。逻辑学家应如何发问？辑学家应如何发问？3经典问题之二经典问题之二q某汽车司机违章驾驶，交警向他宣布处理决定：某汽车司机违章驾驶，交警向他宣布处理决定：“要么扣留驾驶执照三个月，要么罚款要么扣留驾驶执照三个月，要么罚款1000元。元。”司机说：司机说：“我不同意。我不同意。”如果司机坚持己见，如果司机坚持己见，那么，以下哪项实际上是他必须同意的？那么，以下哪项实际上是他必须同意的？A、扣照但不罚款。、
3、扣照但不罚款。B、罚款但不扣照。、罚款但不扣照。C、既不罚款也不扣照。、既不罚款也不扣照。D、既罚款又扣照。、既罚款又扣照。E、如果做不到既不罚款也不扣照，那么就必、如果做不到既不罚款也不扣照，那么就必须接受既罚款又扣照。须接受既罚款又扣照。4经典问题之二经典问题之二q某汽车司机违章驾驶，交警向他宣布处理决定：某汽车司机违章驾驶，交警向他宣布处理决定：“要么扣留驾驶执照三个月，要么罚款要么扣留驾驶执照三个月，要么罚款1000元。元。”司机说：司机说：“我不同意。我不同意。”如果司机坚持己见，如果司机坚持己见，那么，以下哪项实际上是他必须同意的？那么，以下哪项实际上是他必须同意的？A、扣照但不罚
4、款。、扣照但不罚款。B、罚款但不扣照。、罚款但不扣照。C、既不罚款也不扣照。、既不罚款也不扣照。D、既罚款又扣照。、既罚款又扣照。E、如果做不到既不罚款也不扣照，那么就必、如果做不到既不罚款也不扣照，那么就必须接受既罚款又扣照。须接受既罚款又扣照。5数理逻辑与计算机数理逻辑与计算机q一切能用数理逻辑抽像出来的逻辑问题，全都一切能用数理逻辑抽像出来的逻辑问题，全都可以用计算机程序来解决可以用计算机程序来解决q罗素和怀海德的巨著数学原理里给出了很罗素和怀海德的巨著数学原理里给出了很多经典数学定理的证明过程，在若干年以后，多经典数学定理的证明过程，在若干年以后，书中越来越多的定理已能够用计算机程序自
5、动书中越来越多的定理已能够用计算机程序自动证明出来证明出来6数理逻辑与计算机数理逻辑与计算机q1959年，美籍华人王浩教授只用年，美籍华人王浩教授只用9分钟的机器分钟的机器时间，就在计算机上证明了罗素和怀特海数时间，就在计算机上证明了罗素和怀特海数学原理一书中的一阶逻辑部分的全部定理学原理一书中的一阶逻辑部分的全部定理350多条，让罗素惊叹不已多条，让罗素惊叹不已7幻方幻方q据传说，大禹在据传说，大禹在4000多年前就观察到神龟多年前就观察到神龟背上的幻方背上的幻方q1977年美国旅行者年美国旅行者1 号、号、2号宇宙飞船就带号宇宙飞船就带上了幻方以作为人类上了幻方以作为人类智慧的信号智慧的信
6、号8幻方幻方q幻方可以看作是一个幻方可以看作是一个3阶方阵，其元素是阶方阵，其元素是1到到9的正整数，每行、每列以及两条对角线的的正整数，每行、每列以及两条对角线的和都是和都是154923578169幻方幻方q一个一个n阶幻方是由整数阶幻方是由整数1，2，3，n2按下述按下述方式组成的方式组成的nn方阵：方阵：该方阵每行上的整数的和、每列上的整数该方阵每行上的整数的和、每列上的整数的和以及两条对角线中每条对角线上的整数的的和以及两条对角线中每条对角线上的整数的和都等于同一个数和都等于同一个数s s-幻和幻和10幻方幻方81635 749216321351011896712415141问题：哪些
7、n存在幻方？如果有，则构造方法如何？11构造幻方构造幻方构造奇数阶幻方的方法：构造奇数阶幻方的方法：将将1放在最上一行的中间，其后的整数沿着自左放在最上一行的中间，其后的整数沿着自左下到右上的这条对角线按照自然顺序放置，同时下到右上的这条对角线按照自然顺序放置，同时作修正：作修正：q在到达顶行时，下一个整数要放在底行，所放位在到达顶行时，下一个整数要放在底行，所放位置就是把底行当作顶行上边一行时该数应该放置置就是把底行当作顶行上边一行时该数应该放置的位置的位置q当到达最右边的一列时，下一个整数要放在最左当到达最右边的一列时，下一个整数要放在最左边的一列上，所放位置就是把最左边的一列当作边的一列
8、上，所放位置就是把最左边的一列当作最右边那列的右边的列时该数应该放置的位置最右边那列的右边的列时该数应该放置的位置q当要放的位置上已经填好了整数，或上一个整数当要放的位置上已经填好了整数，或上一个整数已经放在了幻方的右上角时，则当前要摆放的整已经放在了幻方的右上角时，则当前要摆放的整数将放在紧挨上述位置的下方数将放在紧挨上述位置的下方12Konigsberg七桥问题q在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来。问是否可尔河中两个岛及岛与河岸连接起来。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座能从这四块陆地中任一块出发，恰
9、好通过每座桥一次，再回到起点？桥一次，再回到起点？13一笔画问题一笔画问题q欧拉于欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题年研究并解决了此问题，他把问题归结为归结为“一笔画一笔画”问题，证明上述走法是不可问题，证明上述走法是不可能的能的q连通图可以一笔画的连通图可以一笔画的充要条件充要条件是它们是连通的，是它们是连通的，且奇顶点且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数通过此点弧的条数是奇数)的个数为的个数为0或或2 14中国邮递员问题中国邮递员问题q邮递员从邮局出发送信，要求对辖区内每条街，邮递员从邮局出发送信，要求对辖区内每条街，都至少通过一次，再回邮局。在此条件下，怎都至少通过一次，再回邮局。
10、在此条件下，怎样选择一条最短路线样选择一条最短路线?q中国邮递员问题由中国邮递员问题由管梅谷管梅谷教授在教授在1960年提出，年提出，美国国家标准和技术研究院美国国家标准和技术研究院（NIST）首先将此）首先将此问题命名为问题命名为中国邮递员问题中国邮递员问题 15中国邮递员问题中国邮递员问题q假设有一个镇有假设有一个镇有14条路条路及及9个路口（路口分别个路口（路口分别编号为编号为 1,2,9），如），如何找到一条最短路线何找到一条最短路线?16欧拉回路欧拉回路q若图中有欧拉回路（图若图中有欧拉回路（图G的一个的一个回路回路，若它恰，若它恰通过通过G中每条边一次中每条边一次），则任何一个欧拉
11、回路），则任何一个欧拉回路即为此问题的解即为此问题的解q若图中不存在欧拉回路，其中必存在有奇数个若图中不存在欧拉回路，其中必存在有奇数个边的端点，且这类的端点一定大于边的端点，且这类的端点一定大于2个。因此个。因此有些边需要再重复一次，使奇数边的端点变为有些边需要再重复一次，使奇数边的端点变为偶数边的端点偶数边的端点17重复边重复边q不存在欧拉回路，其中有不存在欧拉回路，其中有4个路口（编号个路口（编号 1,3,6 及及9）有奇数条路通过有奇数条路通过q现在要做：在图中使几个边现在要做：在图中使几个边重复，使图中所有的端点均重复，使图中所有的端点均有偶数边通过有偶数边通过 问题：确定重复哪个边
12、可以问题：确定重复哪个边可以使原图的端点都有偶数边通使原图的端点都有偶数边通过，且增加长度最少过，且增加长度最少？18选择重复边选择重复边q画出所有奇数边的端点的画出所有奇数边的端点的完全完全图图 K4，边上的数字是从一端，边上的数字是从一端点到另一端点的最短长度点到另一端点的最短长度q选择边选择边 1,6 及及 3,9，所有端，所有端点都经过一次，而总长度点都经过一次，而总长度 4+2=6最短最短19问题的解问题的解q原来的图中，连接端点原来的图中，连接端点 1 和和 6,端点端点 3 和和 9 的边再重复一次，的边再重复一次，所有端点均有偶数个边通过所有端点均有偶数个边通过q任一个欧拉路径
13、即为此问题的任一个欧拉路径即为此问题的解答，如以下的端点顺序解答，如以下的端点顺序 1,2,3,4,9,3,1,8,7,3,9,7,6,9,5,6,7,8,1 即为一解。图即为一解。图中红色的部份即为重复的边中红色的部份即为重复的边20其它问题其它问题q网页推荐网页推荐q地铁门控制地铁门控制q通讯网络的布局通讯网络的布局q航空调度和航班的设定航空调度和航班的设定q城市的交通管理和交通规划城市的交通管理和交通规划q。21离散数学Discrete MathematicsDiscrete Mathematics？22什么是离散数学什么是离散数学q研究离散量的结构及相互关系的数学科学v离散结构：集合、
14、关系、图等 离散量是指分散开来的、不存在中间值的量 q研究对象:有限或可数个元素v自然数、整数，真假值，有限节点等q计算机技术的支撑科学：计算机只能处理离散的或离散化了的数量关系23与其他专业课关系与其他专业课关系数据结构基础数据结构基础离散数学离散数学数据库原理数据库原理软件工程软件工程操作系统操作系统编译原理编译原理人工智能人工智能可计算性理论可计算性理论24离散数学的特点离散数学的特点q知识点集中，概念和定理多q方法性强 -构造模型的能力；算法设计的能力；程序设计的能力q学数学就要做数学25教材及参考书教材及参考书q离散数学 屈婉玲、耿素云、张立昂著，高等教育出版社，2008qDiscr
15、ete Mathematics and Its Applications（影印版）K.H.Rosen著，机械工业出版社，2003 q离散数学 孙吉贵、杨凤杰、欧阳丹彤、李占山著，高等教育出版社，2002q离散数学左孝凌、李为鑑、刘永才编著，上海科学技术文献出版社，199426课程安排课程安排数理逻辑数理逻辑集合论集合论代数结构代数结构图论图论27课程安排课程安排数理逻辑数理逻辑集合论集合论代数结构代数结构图论图论28数理逻辑数理逻辑q逻辑学分类v辩证逻辑：是研究事物发展的客观规律v形式逻辑：是研究思维的概念、判断和推理的问题v数理逻辑q数理逻辑v数学方法研究形式逻辑的一门科学v一般认为由莱布尼
16、兹（Leibnitz）率先提出v最基本组成部分：命题演算、谓词演算v应用：逻辑电路、自动控制、人工智能等29q主要内容主要内容l命题逻辑基本概念命题逻辑基本概念l命题逻辑等值演算命题逻辑等值演算l命题逻辑推理理论命题逻辑推理理论l一阶逻辑基本概念一阶逻辑基本概念l一阶逻辑等值演算一阶逻辑等值演算第一部分第一部分 数理逻辑数理逻辑30第一章命题逻辑基本概念第一章命题逻辑基本概念命题与联结词命题与联结词命题及其分类命题及其分类联结词与复合命题联结词与复合命题命题公式及其赋值命题公式及其赋值31第一节：命题与联结词第一节：命题与联结词321.1 命题命题与联结词与联结词q命题：具有唯一真值的陈述句v
17、唯一性：或真或假但不能两者都是的v命题所用符号：常用小写个英文字母q例子v十是整数v2100年人类将在月球生活vx=3v现在是几点？v1+1=2v我现在说假话v我现在说真话悖论！悖论！331.1 命题命题与联结词与联结词q判断下列语句是否为命题v明天下雨v加拿大是一个国家vx+y4 注：v命题是陈述句，陈述句不一定是命题v命题有唯一真值，但真值可能受范围、时空、环境、判断标准、认识程度限制，一时无法确定341.1 命题与命题与联结词联结词q命题分类v简单命题：不能被分解成更简单的命题v复合命题：简单命题+联结词q例子v豆沙包是由面粉和红豆做的v今天没有天晴v王华的成绩很好并且品德很好v小李是学
18、数学或者计算机科学v如果天下雨，那么地下湿351.1 命题与命题与联结词联结词q否定联结词v符号,读作“非”，“否定”q定义：命题 pvp的否定式：复合命题“p的否定”（“非p”）v符号：p(符号称作否定联结词)vp为真当且仅当p为假q例子v今天没有天晴 p：今天天晴ppTFFTp 361.1 命题与命题与联结词联结词q合取联结词v符号,读作“合取”q定义：命题 p，qvp与q的合取式：复合命题“p并且q”v符号：pq(符号称作合取联结词)vpq为真当且仅当p和q同时为真q例子v王华的成绩很好并且品德很好 pqp：王华的成绩很好q：王华的品德很好p qpqF FFF TFT FFT TT371
19、.1 命题与命题与联结词联结词q析取联结词v符号,读作“析取”q定义：命题 p，qvp与q的析取式：复合命题“p或q”v符号：pq(符号称作析取联结词)vpq为假当且仅当p和q同时为假q例子v小李是学数学或者计算机科学pqp：小李是学数学q：小李是学计算机科学p qpqF FFF TTT FTT TT381.1 命题与命题与联结词联结词 析取联结词（相容或）“排斥或”q排斥或：v符号 q定义：命题 p，qv符号：pqv等价于(pq)(pq)vpq为假当且仅当p和q同时为假或 同时为真q例子：v小李在教室看书或在图书馆上网v小李在看书或者听音乐 p qpqF FFF TTT FTT TF391.
20、1 命题与命题与联结词联结词q例子例子v2或3是素数v小元元只能拿一个苹果或一个梨v王小红生于1988年或1989年401.1 命题与命题与联结词联结词q蕴涵联结词v符号,读作“如果则”、“蕴涵”q定义：命题 p，qvp与q的蕴涵式：复合命题“如果p，则q”v符号：pq(符号称作蕴涵联结词)vpq为假当且仅当p为真，q为假q例子v如果天下雨，那么地下湿 pqp：天下雨q：地下湿p qpqF FTF TTT FFT TT411.1 命题与命题与联结词联结词q更多关于蕴含联结词qpq：q是p的必要条件q其他：vpq的叙述方式：“只要p，就q”，“因为p，所以q”等v p为假，pq永远为真v 如果给
21、我一个支点，我能把 地球撬起来 v区别于自然语言的“如果p,则q”p和q有内在联系p qpqF FTF TTT FFT TT421.1 命题与命题与联结词联结词q更多例子v如果天晴，则雪是白的v如果不天晴，则雪是不是白的 v由于交通阻塞，他迟到了v如果交通不阻塞，他就不会迟到v他没迟到，所以交通没阻塞v除非交通阻塞，否则他不会迟到v除非他迟到，否则交通没有阻塞v他迟到仅当交通阻塞431.1 命题与命题与联结词联结词q给定命题pqv它的逆命题qpv它的反命题pqv它的逆反命题 qpq各种命题关系vpq qpvqp pq441.1 命题与命题与联结词联结词q等价式v符号,读作“当且仅当”q定义：命
22、题 p，qvp与q的等价式：复合命题“p当且仅当q”v符号：pq(符号称作等价联结词)vpq为真当且仅当p与q真值相同q例子v当且仅当2+3=5，才有2是素数 pqp：2+3=5q：2是素数p qpqF FTF TFT FFT TT451.1 命题与命题与联结词联结词q联结词的定义总结pqppqpqpqpqFFTFFTTFTTFTTFTFFFTFFTTFTTTT461.1 命题与命题与联结词联结词q联结词的优先级v、q括号最优先q同一优先级：从左到右q例子：求于命题pqr含义相同的命题v(p)q)rv(pq)rvp(qr)v(pqr)471.1 命题与命题与联结词联结词q例：vp：北京比天津人
23、口多vq：224vr：乌鸦是白色的q求下列命题真值v(p q)(p q)rv(qr)(pr)v(pr)(pr)TTF481.1 命题与命题与联结词联结词q课堂练习：符号化下面命题v小强虽然不聪明，但很用功v小李学过英语或者法语v小李是上海人或者苏州人v金无足赤，人无完人v得道多助，失道寡助pqpqpq(pq)(pq)pq491.1 命题与命题与联结词联结词q课堂练习：vp：2+3=5vq：大熊猫产在中国vr：太阳从西方升起q求下列命题真值v(r(pq)(pr)TFTFF50第二节：命题公式及其赋值第二节：命题公式及其赋值511.2 命题公式命题公式及其赋值及其赋值q命题常项：简单命题q命题变项
24、：表示命题的变量v真值可以变化的陈述句v命题变项不是命题v命题变项用确定命题代入才能确定真值v命题所用符号：常用小写个英文字母 命题变量不同于代数式的变量vx+y4的x，y不是命题变量521.2 命题公式命题公式及其赋值及其赋值q合式公式（命题公式）的递归定义：1.单个命题常项或命题变项是合式公式（原子命题公式）2.A为合式公式，则A是合式公式3.A，B为合式公式,则（AB），（AB），（AB），（AB）为合式公式4.有限次应用1-3形成的符号串为合式公式q子公式B：给定合式公式AvB是A的一部分vB是合式公式531.2 命题公式命题公式及其赋值及其赋值q符号说明v大写字母A，B表示合式公式q
25、公式简写法则：v公式最外层括号可以省略v（A）的括号可以省略v根据运算符优先级省略括号 省略括号不能影响公式解释541.2 命题公式命题公式及其赋值及其赋值q合式公式的树状展开 (AB)(C)(DC)ABA B(C)(DC)(C)DCCDC551.2 命题公式命题公式及其赋值及其赋值q例子v(AB)Cv(pq)(qr)v(B)vpqr561.2 命题公式命题公式及其赋值及其赋值q公式层次v若公式A是单个的命题变元，则称A为0层合式v称公式A是n+1(n0)层公式是指下面情况之一：a)A B，B是n层公式b)AB C，其中B，C分别为i层和j层公式，且nmax(i,j)c)AB C，其中B，C的
26、层次及n同(b)d)AB C，其中B，C的层次及n同(b)e)AB C，其中B，C的层次及n同(b)v若公式A的层次为k，则称A是k层公式q层次联结词数571.2 命题公式命题公式及其赋值及其赋值q例子：例子：p,q,r,s为命题变元为命题变元v(pq)r)sv(pq)(qr)v(pq r)s(p q r)435581.2 命题公式及其命题公式及其赋值赋值q命题公式的真值v命题变项的常量化：常项替换（解释）q例子：公式pqrv真值为T的解释p:3是奇数；q:7是奇数；r:3乘7是奇数v真值为F的解释p:3是奇数；q:7是奇数；r:3乘7是偶数q赋值v命题变项赋真命题命题变项的真值为Tv命题变项
27、赋假命题命题变项的真值为F591.2 命题公式及其命题公式及其赋值赋值q命题变项赋值vA中命题变项：p1,pnv对p1,pn赋值v：v(pi)=i，i T,Fv对A的真值递归定义v(B)=T iff v(B)=Fv(BC)=T iff v(B)=v(C)=Tv(BC)=F iff v(B)=v(C)=Fv(BC)=F iff v(B)=T，v(C)=Fv(BC)=T iff v(B)=v(C)v赋值（解释）简写：1,2,nvn个变项的公式，共有2n个不同赋值601.2 命题公式及其命题公式及其赋值赋值q命题变项赋值v成真赋值：v(A)=Tv成假赋值：v(A)=Fq例子：公式(pq)rvFFF(
28、p=F,q=F,r=F)vTFF?(pq)rFFF611.2 命题公式及其命题公式及其赋值赋值q真值表：A所有赋值列成表q真值表构造：v找出A中命题变项：p1,pnv列出2n个赋值（2进制加法形式）v从低到高写成公式各个层次v各个赋值：计算各层的真值621.2 命题公式及其命题公式及其赋值赋值q例：(pq)p)p q pq(pq)p(pq)p)00001011011011011110631.2 命题公式及其命题公式及其赋值赋值q例：(p q)(pqpq)p q p q p qpqpq公式公式0011111011000110010011100111641.2 命题公式及其命题公式及其赋值赋值q命
29、题公式分类：Av重言式(永真式)：v(A)=T，对任意vv矛盾式(永假式)：v(A)=F，对任意vv可满足式：v(A)=T，对某个vq关系v重言式是可满足式，反之不一定成立q真值表判断v重言式：真值表最后一列全为Tv矛盾式：真值表最后一列全为Fv可满足式：真值表最后一列至少一个T651.2 命题公式及其命题公式及其赋值赋值q真值表有限性：给定n个命题变项v共有22n个真值表q例题：下列哪些具有相同真值？a)pqb)qpc)(pq)d)(pq)p661.2 命题公式及其命题公式及其赋值赋值q例题例题p qpqqp(pq)(pq)p001110011011100100111110671.2 命题公
30、式及其命题公式及其赋值赋值q例题：下列哪些具有相同真值？例题：下列哪些具有相同真值？a)pqb)p(q r)c)(p q)(p r)p)681.2 命题公式及其命题公式及其赋值赋值q例题例题pqrpq p(qr)(pq)(pr)p)0001 01 0011 01 0101 01 0111 01 1000 10 1010 10 1101011111 11 69第一章第一章 习题课习题课q主要内容主要内容l命题、真值、简单命题与复合命题、命题符号化命题、真值、简单命题与复合命题、命题符号化l联结词联结词,及复合命题符号化及复合命题符号化l命题公式及层次命题公式及层次l公式的类型公式的类型l真值表及
31、应用真值表及应用q基本要求基本要求l深刻理解各联结词的逻辑关系深刻理解各联结词的逻辑关系,熟练地将命题符号化熟练地将命题符号化l会求复合命题的真值会求复合命题的真值l深刻理解合式公式及重言式、矛盾式、可满足式等深刻理解合式公式及重言式、矛盾式、可满足式等l熟练地求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值与成熟练地求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值与成假赋值及判断公式类型假赋值及判断公式类型701.将下列命题符号化将下列命题符号化 (1)苹果树和梨树都是落叶乔木苹果树和梨树都是落叶乔木 (2)王小红和李大明组成一个物理小组王小红和李大明组成一个物理小组 (3)王小红或李大明是物理组成员王小红或李
32、大明是物理组成员 (4)王小红或李大明中的一人是物理组成员王小红或李大明中的一人是物理组成员 (5)只要只要天冷，小王就穿羽绒服天冷，小王就穿羽绒服 (6)因为天冷，所以小王穿羽绒服因为天冷，所以小王穿羽绒服 (7)若小王不穿羽绒服，则天不冷若小王不穿羽绒服，则天不冷 (8)只有天冷，小王才穿羽绒服只有天冷，小王才穿羽绒服 (9)除非天冷，小王才穿羽绒服除非天冷，小王才穿羽绒服 (10)除非小王穿羽绒服，否则天不冷除非小王穿羽绒服，否则天不冷 (11)如果天不冷，则小王不穿羽绒服如果天不冷，则小王不穿羽绒服 (12)小王穿羽绒服当且仅当天冷的时候小王穿羽绒服当且仅当天冷的时候练习练习1712.
33、设设 p:2是素数是素数 q:中国的国土面积比日本大中国的国土面积比日本大 r:江苏的省会是无锡江苏的省会是无锡 求下面命题的真值求下面命题的真值 (1)(p q)r (2)(q r)(pr)(3)(qr)(pr)(4)(qp)(pr)(rq)0练习练习2100723.用真值表判断下面公式的类型用真值表判断下面公式的类型 (1)p r(qp)(2)(pq)(qp)r (3)(pq)(pr)练习练习373练习练习3解答解答(1)p r(qp)矛盾式矛盾式p q rqp (qp)p r(qp)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 11001111 001
34、10000 00000000 74练习练习3解答解答(2)(pq)(qp)r 永真式永真式11111111 11110011 11110011 0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1(pq)(qp)r qp pq p q r75练习练习3解答解答(3)(pq)(pr)非永真式的可非永真式的可满满足式足式p q rpq pr (pq)(pr)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 11110011 11110101 11111001 76作业作业q14q19：（：（3），（），（5）q20：（：（3）q21：（：（3）