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1、中考数学复习 反比例函数在中考中的常见题型知识讲解 1反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y=(k0) 2反比例函数y=(k0)的性质 (1)当k0时函数图像的两个分支分别在第一,三象限内在每一象限内,y随x的增大而减小 (2)当k0 点A在反比例函数y=的图像上,得3a=,解得a1=2,a2=2,经检验a1=2,a2=2是原方程的根,但a2=2不符合题意,舍去 点A的坐标为(2,6) (2)由题意,设点B的坐标为(0,m) m0,m= 解得m=,经检验m=是原方程的根, 点B的坐标为(0,) 设一次函数的解析式为y=kx+ 由于这个一次函数图像过点A(2,6), 6=2k+,得k= 所求一
2、次函数的解析式为y=x+ 例2 如图,已知RtABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=的图像在第一象限内的交点,且SAOB=3 (1)该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定?如能确定,请写出它们的解析式;如不能确定,请说明理由 (2)如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点,过D作DEx轴于E,那么ODE的面积与AOB的面积的大小关系能否确定?(3)请判断AOD为何特殊三角形,并证明你的结论 【分析】AOB是直角三角形,所以它的面积是两条直角边之积的,而反比例函数图像上任一点的横坐标,纵坐标之积就是反比例函数中的系数由题意不难确定m,则所求一次函数,反比例函数的解
3、析式就确定了 由反比例函数的定义可知,过反比例函数图像上任一点作x轴,y轴的垂线,该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的 【解答】(1)设B(x,0),则A(x0,),其中00,m0 在RtABO中,AB=,OB=x0 则SABO =x0=3,即m=6 所以一次函数的解析式为y=x+6;反比例函数的解析式为y= (2)由得x2+6x6=0, 解得x1=3+,x2=3 A(3+,3+),D(3,3) 由反比例函数的定义可知,对反比例函数图像上任意一点P(x,y),有 y=即xy=6 SDEO =xDyD=3,即SDEO =SABO (3)由A(3+,3+)和D(3,3)可得AO=4,D
4、O=4,即AO=DO 由图可知AOD90,AOD为钝角等腰三角形 【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系通过对直观图形的观察,借助代数运算验证,便不难判断强化训练一、填空题1(2006,南通)如图1,直线y=kx(k0)与双曲线y=交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则2x1y27x2y1的值等于_ 图1 图2 图32(2006,重庆)如图2,矩形AOCB的两边OC,OA分别位于x轴,y轴上,点B的坐标为B(,5),D是AB边上的一点,将ADO沿直线OD翻折,使A点恰好落在对角线OB上的点E处,若点E在一反比例函数的图像上,那么该函数的解析式是_3近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x
5、(m)成反比例,已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m,则y与x的函数关系式为_4若y=中,y与x为反比例函数,则a=_若图像经过第二象限内的某点,则a=_5反比例函数y=的图像上有一点P(a,b),且a,b是方程t24t2=0的两个根,则k=_;点P到原点的距离OP=_6已知双曲线xy=1与直线y=x+无交点,则b的取值范围是_7反比例函数y=的图像经过点P(a,b),其中a,b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根,那么点P的坐标是_8(2008,咸宁)两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图像如图3所示,点P在y=的图像上,PCx轴于点C,交y=的图像于点A,PDy轴于点D,交y=
6、的图像于点B,当点P在y=的图像上运动时,以下结论: ODB与OCA的面积相等; 四边形PAOB的面积不会发生变化; PA与PB始终相等 当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点 其中一定正确的是_(把你认为正确结论的序号都填上,少填或错填不给分)二、选择题9(2008,济南)如图4所示,等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB,AC分别平行于x轴,y轴,若双曲线y=(k0)与ABC有交点,则k的取值范围是( ) A1k2 B1k3 C1k4 D1k0)的第一象限内的图像如图5所示,P为该图像上任意一点,PQ垂直于x轴
7、,垂足为Q,设POQ的面积为S,则S的值与k之间的关系是( ) AS= BS= CS=k DSk11如图6,已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y=的图像在第一象限内的交点,点B在x轴的负半轴上,且OA=OB,那么AOB的面积为( ) A2 B C D212函数y=与y=mxm(m0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是( )13如果不等式mx+n4,点(1,n)在双曲线y=上,那么函数y=(n1)x+2m的图像不经过( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限14(2006,攀枝花)正比例函数y=2kx与反比例函数y=在同一坐标系中的图像不可能是( )15已知P为函数y=的图像
8、上一点,且P到原点的距离为,则符合条件的P点数为( ) A0个 B2个 C4个 D无数个16如图,A,B是函数y=的图像上关于原点O对称的任意两点,AC平行于y轴,交x轴于点C,BD平行于y轴,交x轴于点D,设四边形ADBC的面积为S,则( )AS=1 B1S2三、解答题17已知:如图,反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像交于A,B两点,求:(1)A,B两点的坐标; (2)AOB的面积18(2006,广州白云区)如图,已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=的图像交于A,B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是2,求:(1)一次函数的解析式; (2)AOB的面积19已知函数y=的图像
9、上有一点P(m,n),且m,n是关于x方程x24ax+4a26a8=0的两个实数根,其中a是使方程有实根的最小整数,求函数y=的解析式20(2006,北京市)在平面直角坐标系Oxy中,直线y=x绕点O顺时针旋转90得到直线L直线L与反比例函数y=的图像的一个交点为A(a,3),试确定反比例函数的解析式21(2008,南通)如图所示,已知双曲线y=与直线y=x相交于A,B两点第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线y=上的动点过点B作BDy轴交x轴于点D过N(0,n)作NCx轴交双曲线y=于点E,交BD于点C (1)若点D的坐标是(8,0),求A,B两点的坐标及k的值;(2)若B是CD的
10、中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式;(3)设直线AM,BM分别与y轴相交于P,Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求pq的值22如图,在等腰梯形ABCD中,CDAB,CD=6,AD=10,A=60,以CD为弦的弓形弧与AD相切于D,P是AB上的一个动点,可以与B重合但不与A重合,DP交弓形弧于Q (1)求证:CDQDPA; (2)设DP=x,CQ=y,试写出y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)当DP之长是方程x28x20=0的一根时,求四边形PBCQ的面积答案:120 2y= 3y= 42或1;1 52;2 60b4 7(2,2)8 9C 10B 11C
11、12C 13B 14D 15A 16C17(1)由,解得, A(2,4),B(4,2) (2)当y=0时,x=2,故y=x+2与x轴交于M(2,0),OM=2SAOB=SAOM +SBOM =OMyA+OMyB=24+22=4+2=618(1)y=x+2 (2)SAOB =619由=(4a)24(4a26a8)0得a, 又a是最小整数, a=1 二次方程即为x2+4x+2=0,又mn=2,而(m,n)在y=的图像上,n=,mn=k,k=2,y=20依题意得,直线L的解析式为y=x A(a,3)在直线y=x上, 则a=3即A(3,3) 又A(3,3)在y=的图像上, 可求得k=9 反比例函数的解
12、析式为y=21(1)D(8,0),B点的横坐标为8,代入y=x中,得y=2 B点坐标为(8,2),而A,B两点关于原点对称,A(8,2) 从而k=82=16 (2)N(0,n),B是CD的中点,A,B,M,E四点均在双曲线上, mn=k,B(2m,),C(2m,n),E(m,n) S矩形DCNO=2mn=2k,SDBO=mn=k,SOEN =mn=k, S四边形OBCE=S矩形DCNOSDBO SOEN =k k=4 由直线y=x及双曲线y=,得A(4,1),B(4,1), C(4,2),M(2,2) 设直线CM的解析式是y=ax+b,由C,M两点在这条直线上,得 解得a=b= 直线CM的解析式是y=x+(3)如图所示,分别作AA1x轴,MM1x轴,垂足分别为A1,M1 设A点的横坐标为a,则B点的横坐标为a,于是p= 同理q=, pq=222(1)证CDQ=DPA,DCQ=PDA (2)y=(8x) (3)S四边形PBCQ=489