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1、第一节第一节 大数定律大数定律一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结一、问题的引入一、问题的引入第一章曾经讲过第一章曾经讲过,事务事务A发生的频率发生的频率 f n(A),随着随着n的增大的增大,呈现出一种稳定性呈现出一种稳定性.当当n趋趋于无穷时于无穷时,会趋于事务会趋于事务A的概率的概率P(A).但这种趋但这种趋近近,并非高等数学中极限意义上的趋近并非高等数学中极限意义上的趋近,而是而是概率意义上的趋近概率意义上的趋近.二、二、基本定理（两个大数定律）基本定理（两个大数定律）.(.(弱大数定理弱大数定理)辛钦大数定律辛钦大数定律 若若X
2、Xk k,k=1.2,.,k=1.2,.为为独立同分布独立同分布的随机变量序列的随机变量序列,E,E(X(Xk k)=0,有有上式表明上式表明,对于随意对于随意 0,当当n 时时,事务事务发生的概率会趋于发生的概率会趋于1。通俗地说，辛钦大数定律是说，对于独立同分布通俗地说，辛钦大数定律是说，对于独立同分布且具有均值且具有均值的随机的随机变变量量X1,X2,Xn,当当n很大时，很大时，它们的算术平均接近于它们的算术平均接近于的概率很大。的概率很大。设设 n n 为随机变量序列，为随机变量序列，a为一个常数，若任给为一个常数，若任给 0,0,有有则称则称YYn n 依概率收敛于依概率收敛于a.可
3、记为可记为概念：概念：依概率收敛依概率收敛依概率收敛具有以下的性质依概率收敛具有以下的性质.而函数而函数g(x,y)在点在点(a,b)连续连续.则则 a而而意思是意思是:意思是意思是:当当时时,X,Xn n落在落在,当当内的概率越来越大内的概率越来越大.(弱大数定理弱大数定理)辛钦大数定律辛钦大数定律 若若XXk k,k=1.2,.,k=1.2,.为为独立同分布独立同分布的随机变量序列的随机变量序列,E,E(X(Xk k)=0,0,有有证明证明:设设第第i i次试验事务次试验事务A A发生发生第第i i次试验事务次试验事务A A不发生不发生则则伯努利大数定理的结果表明伯努利大数定理的结果表明,
4、对于随意对于随意 0,只只要重复独立试验的次数要重复独立试验的次数n充分大充分大,事务事务是小概率事务是小概率事务.这就是频率的稳定这就是频率的稳定性性.依据实际推断原理依据实际推断原理,在现实中这样的小概率事在现实中这样的小概率事务务几乎不发生几乎不发生.所以在实际应用中所以在实际应用中,当试验次数很当试验次数很大时大时,我们便可以用事务的频率来代替事务的我们便可以用事务的频率来代替事务的概率概率.一、问题的引入一、问题的引入实例实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和小误差的总和
5、,这些因素包括这些因素包括:瞄准误差、测量瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等如外形、重量等)的的误差以及射击时武器的振动、气象因素误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、如风速、风向、能见度、温度等风向、能见度、温度等)的作用的作用,全部这些不同全部这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的因素所引起的微小误差是相互独立的,并且它并且它们中每一个对总和产生的影响不大们中每一个对总和产生的影响不大.问题问题:某个随机变量是由大量相互独立且匀整小某个随机变量是由大量相互独立且匀整小的随机变量相加而成的的随机变量相加而成的,探讨其概率分布状况探讨其概率分布状
6、况.二、基本定理二、基本定理定理四（定理四（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）定理四表明定理四表明:李雅普诺夫李雅普诺夫定理五定理五(李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量定理五表明定理五表明:(照实例中射击偏差听从正态分布照实例中射击偏差听从正态分布)下面介绍的定理六是定理四的特殊状况下面介绍的定理六是定理四的特殊状况.证明证明 依据第四章其次节例题可知依据第四章其次节例题可知德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理六定理六(德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理)依据定理四得依据定理四得定理六表明定理六表明:正态分布是二项分布的极限分布正态
7、分布是二项分布的极限分布,当当n充分充分大时大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率.下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的靠近正态分布是二项分布的靠近.三、典型例题三、典型例题解解由定理四由定理四,随机变量随机变量 Z 近似听从正态分布近似听从正态分布 N(0,1),例例1其中其中 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭遇一次海浪已知每遭遇一次海浪的冲击的冲击,纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶遭遇若船舶遭遇了了90 000次波浪冲击次波浪冲击,问其中有问其中有29 50030 500次次纵摇角大于纵摇角大于 3 的
8、概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭遇一次海将船舶每遭遇一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,例例2所求概率为所求概率为分布律为分布律为干脆计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理干脆计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参与万人参与,每每人每年交人每年交200元元.若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家属属1万元万元.设老年人死亡率为设
9、老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率一年内的这项保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例3保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率 对于一个学生而言对于一个学生而言,来参与家长会的家长来参与家长会的家长人数是一个随机变量人数是一个随机变量.设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名名家长、家长、2名家长来参与会议的概率分别为名家长来参与会议的概率分别为0.05，0.8，0.15.若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参与设各学生参与会议的家长数相互独立会
10、议的家长数相互独立,且听从同一分布且听从同一分布.(1)求参与会议的家长数求参与会议的家长数 X 超过超过450的概率的概率;(2)求求有有1名家长来参与会议的学生数不多于名家长来参与会议的学生数不多于340的概的概率率.解解例例4依据独立同分布的中心极限定理，依据独立同分布的中心极限定理，由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,证证例例5依据独立同分布的中心极限定理，依据独立同分布的中心极限定理，四、小结四、小结三个中心极限定理三个中心极限定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明,在相当一般的条件下在相当一般的条件下,当独立随机变量的个数增加时当独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于其和的分布趋于正态分布正态分布.