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1、A 2牛顿功和动量2013_4 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望2022/11/22坐标系如图，系统受力坐标系如图，系统受力：T、mgB端下落长度为端下落长度为x时时，右半段绳索速度为右半段绳索速度为右半段绳索长度为右半段绳索长度为研究对象：整个绳索研究对象：整个绳索 质点系质点系时刻时刻 t，系统动量为系统动量为解：解：例例2022/11/23时刻时刻 t，系统动量为系统动量为根据牛顿定理：根据牛顿定理：解：解：例例2022/11/24题意：题意：
2、煤粉受力矢量煤粉受力矢量传送带受力矢量传送带受力矢量2-T92022/11/25n 应用动量定理处理应用动量定理处理质量流动问题质量流动问题u为为-dm 对对 主体的速度主体的速度研究对象：火箭主体和喷出气体研究对象：火箭主体和喷出气体t时刻时刻系统的动量：系统的动量：t+dt 时刻时刻系统的动量：系统的动量：主体动量：主体动量：气体动量：气体动量：t+dt 时刻系统的动量：时刻系统的动量：时刻时刻时刻时刻设设u为为-dm 对地的速度对地的速度 主体动量主体动量 气体动量气体动量2022/11/26质量流入质量流入质量流出质量流出 u为为-dm 相对火箭的速度相对火箭的速度有质量进出的有质量进
3、出的 变质量系统的运动方程变质量系统的运动方程时刻时刻时刻时刻n 应用动量定理处理应用动量定理处理质量流动问题质量流动问题2022/11/2考虑外太空，系统的合外力为零火箭主体对地的速度火箭主体对地的加速度注意矢量符号火箭主体受推力火箭主体所受推力与u相反n 应用动量定理处理应用动量定理处理质量流动问题质量流动问题时刻时刻时刻时刻7质量流入质量流入质量流出质量流出2022/11/28例例 喷沙机车将沙沿水平方向喷进货车，机车与货车无联系，喷沙机车将沙沿水平方向喷进货车，机车与货车无联系，但距离保持定值。喷沙速率为但距离保持定值。喷沙速率为 dm/dt，沙对货车的速度为沙对货车的速度为 u，货车
4、初始质量为货车初始质量为 m0 0，初速度为零，地面光滑，求，初速度为零，地面光滑，求 t 时刻后时刻后货货 车的速度。车的速度。根据变质量系统方程根据变质量系统方程:解：解：设时刻设时刻 t，货车与所装沙子的总质量为货车与所装沙子的总质量为系统系统:沙、货车沙、货车2022/11/29例例 喷沙机车将沙沿水平方向喷进货车，机车与货车无联系，喷沙机车将沙沿水平方向喷进货车，机车与货车无联系，但距离保持定值。喷沙速率为但距离保持定值。喷沙速率为 dm/dt，沙对货车的速度为沙对货车的速度为 u，货车初始质量为货车初始质量为 m0 0，初速度为零，地面光滑，求，初速度为零，地面光滑，求 t 时刻后
5、时刻后货货 车的速度。车的速度。根据变质量系统方程根据变质量系统方程:解：解：货车受力：货车受力：系统系统:沙、货车沙、货车2022/11/210变质量系统运动方程变质量系统运动方程有质量进出的有质量进出的力的时间累积效应动量定理动量定理动量守恒定律动量守恒定律2022/11/211所谓质点所谓质点的角动量就是用角量描述质点的动量的角动量就是用角量描述质点的动量。质点的动量：质点的动量：质点的角动量定义为：质点的角动量定义为：角动量的单位是：角动量的单位是：kg m2/s 质点运动按描述量的不同，有不同的表述方法。质点运动按描述量的不同，有不同的表述方法。线量：线量：角量：角量：4.4.角动量
6、角动量 角动量定理角动量定理2022/11/212方向：垂直于方向：垂直于 共同决定的平面共同决定的平面力矩力矩动量矩动量矩角动量的时间变化率：角动量的时间变化率：角动量定理角动量定理动量矩动量矩2022/11/213与动量定理类比有与动量定理类比有:角动量定理角动量定理5.5.角动量守恒定律角动量守恒定律质点所受的合外力对某固定点的力矩质点所受的合外力对某固定点的力矩为零时，质点对该点的角动量守恒。为零时，质点对该点的角动量守恒。其中：其中：质点对力心的角动量永远守恒！质点对力心的角动量永远守恒！力心力心2022/11/214质点作圆周运动时对圆心的角动量大小：质点作圆周运动时对圆心的角动量
7、大小：注意注意:质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。同一运动质点对不同定点的角动量是不同的。同一运动质点对不同定点的角动量是不同的。匀速匀速圆周运动时对圆心的角动量守恒圆周运动时对圆心的角动量守恒质点对某点的角动量守恒，动量不一定守恒。质点对某点的角动量守恒，动量不一定守恒。2022/11/215例例 用角动量守恒定律推导行星运动开普勒第二定律：行星对用角动量守恒定律推导行星运动开普勒第二定律：行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积.设在时间设在时间 t t 内，行星的矢径扫过扇形面积内，行
8、星的矢径扫过扇形面积 s s太太阳阳行星行星面积时间变化率：面积时间变化率：恒矢量恒矢量命题得证。命题得证。解解：恒量恒量2022/11/216显然显然对于轨道上的人造卫星：对于轨道上的人造卫星：近地点近地点远地点远地点轨道上的人造卫星受到有心力，角动量守恒：轨道上的人造卫星受到有心力，角动量守恒：解解：2-11 我国第一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心我国第一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心 为该为该椭圆的一个焦点，如图所示。已知地球的平均半径椭圆的一个焦点，如图所示。已知地球的平均半径R=6378km ，人造卫星，人造卫星距地面最近距离距地面最近距离 ，最远距离
9、，最远距离 ，若，若人造卫星在近地点人造卫星在近地点A1 1 的速度的速度 ，求人造卫星在远地点，求人造卫星在远地点 A2 2 的速度。的速度。2022/11/217作业（作业（P.5-6P.5-6）2022/11/218有质量进出的 变质量系统的运动方程考虑拉直部分为研究主体，系统的合外力：主体对地的速度主体对地的加速度主体受力常数注意矢量符号182022/11/219当提起绳长为 时，拉力F 的功：讨论：得到矛盾结果关键：微质量元加入主体是完全非弹性碰撞，有机械能的损失。上式不成立微质量元与主体作用是内力，系统动量守恒。完全非弹性碰撞机械能的损失：微质量元相对主体动能损失考虑拉直部分为研究
10、主体192022/11/220完全非弹性碰撞机械能的损失：微元相对主体动能损失系统：主体+微元当提起绳长为 时，拉力F 的功先损失一部分：得到结果统一内力不影响系统的动量，影响系统机械能考虑拉直部分为研究主体202022/11/2 功的定义：6.6.动能定理动能定理(1)变力的功力在一个微分段ds上的功：xyzo212022/11/222各段的微功的代数和是总功各段的微功的代数和是总功对于合力对于合力功是力对空间的积累效应。功是力对空间的积累效应。xyzo2022/11/223mmXAXBABX(2)求变力功的实例弹簧弹力的功弹簧弹力的功m 在合力的作用下，由在合力的作用下，由A到到B点运动。
11、点运动。弹力作正功。弹力作正功。弹力作负功。弹力作负功。从弹力功的数值大小能否得到质点通过平衡点的次数？从弹力功的数值大小能否得到质点通过平衡点的次数？质点运动的快慢和均匀与否是否会影响功的数值？质点运动的快慢和均匀与否是否会影响功的数值？2022/11/224重力的功重力的功不规则的光滑斜面，有一物体不规则的光滑斜面，有一物体m，由平衡态下滑，由平衡态下滑，求物体下滑过程中合力的功。求物体下滑过程中合力的功。由于支持力的功数值是零，所谓合力的功，在本例的由于支持力的功数值是零，所谓合力的功，在本例的情况下，就是重力的功。情况下，就是重力的功。2022/11/225 任意矢量 与其增量 的标积
12、等于该矢量的模 B 与其模的增量 dB的乘积。2022/11/226计算两质点间的万有引力的功。计算两质点间的万有引力的功。引力的功引力的功2022/11/227对单个质点：合外力对质点所做的功合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。等于质点动能的增量。质点的动能质点的动能质点的动能定理质点的动能定理(3)动能定理2022/11/228质点系的动能定理 质点系质点系动能定理动能定理 系统的内力不改变质点系的总动量，系统的内力不改变质点系的总动量，但是但是内力改变质点系的总动能内力改变质点系的总动能。注意注意 对整个质点系，有对整个质点系，有 对第对第 i 个质点，有个质点，有内力成对出现，内力
13、成对出现，成对内成对内力作功一般不为零。力作功一般不为零。2022/11/229俯视图俯视图研究对象：滑块研究对象：滑块坐标：沿轨迹的切向合法向建坐标坐标：沿轨迹的切向合法向建坐标分析：变力作功，用动能定理必须先找出分析：变力作功，用动能定理必须先找出末态的末态的v2受力分析：受力分析：运动方程：运动方程：法向法向切向切向例例 如图半圆形屏障固定在光滑的水平桌面上，质量为如图半圆形屏障固定在光滑的水平桌面上，质量为 m m 的滑的滑块以初速块以初速v1沿屏障一端的切线方向进入屏障内。滑块与屏障间的沿屏障一端的切线方向进入屏障内。滑块与屏障间的摩擦系数为摩擦系数为。求：当滑块从屏障另一端滑出时，
14、摩擦力对它所求：当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功作的功解：解：2022/11/230设滑块进入屏障后，速度为v时，已沿屏障转动了 角，引入变量 ：因合外力的功只有摩擦力的功,N不作功.根据动能定理2022/11/231 保守力保守力 势能势能 在讨论力的功时，有些力的功与物体运动的具体过程无在讨论力的功时，有些力的功与物体运动的具体过程无关。关。如果如果力所作的功与路径无关力所作的功与路径无关，而只与相互作用的质点的，而只与相互作用的质点的始、末位置有关，则该对力称为始、末位置有关，则该对力称为保守力保守力。7.7.机械能守恒定律机械能守恒定律 保守力的功与质点运动的路程无关，使得
15、复杂的积分运保守力的功与质点运动的路程无关，使得复杂的积分运算转化为代数运算。算转化为代数运算。万有引力的功：万有引力的功：重力的功：重力的功：弹力的功：弹力的功：2022/11/232AB保守力的功可统一表述为：保守力的功可统一表述为：每一保守力对应一个空间位置函数，称为势能函数。每一保守力对应一个空间位置函数，称为势能函数。l1l2保守力对空间的环路积分为零。保守力对空间的环路积分为零。保守力保守力 f 的特征的特征(数学语言描述数学语言描述)：2022/11/233 势能属于系统，在上述差值为定值时，函数势能属于系统，在上述差值为定值时，函数EP可取任意值。则：可取任意值。则：令终点的势
16、能为零，有：令终点的势能为零，有：势能零点确定后，空间任意势能零点确定后，空间任意A点的势能可以唯一确定。点的势能可以唯一确定。rB是势能函数为零的位置是势能函数为零的位置质点在保守力场质点在保守力场中某点的势能中某点的势能把质点由该点移到势能零点把质点由该点移到势能零点过程中保守力所做的功过程中保守力所做的功2022/11/2万有引力势函数万有引力势函数：重力势函数重力势函数：弹力势函数弹力势函数：保守力的功可统一表述为：保守力的势函数：342022/11/235无穷远定义为势能函数为零的位置。无穷远定义为势能函数为零的位置。在势能函数零点确定后，空间任意在势能函数零点确定后，空间任意A A
17、点的引力势能函数点的引力势能函数可以唯一确定。可以唯一确定。万有引力势能万有引力势能2022/11/236空间任意空间任意A点的引力势点的引力势能函数可以唯一确定。能函数可以唯一确定。AhR以地球表面为零势能点以地球表面为零势能点势能零点势能零点2022/11/237例例 质量为质量为m的人造地球卫星，角动量为的人造地球卫星，角动量为L，在半径为，在半径为r的圆轨道上运行。试求其动能、势能和机械能。的圆轨道上运行。试求其动能、势能和机械能。ArR卫星动能：卫星动能：卫星势能：卫星势能：卫星机械能：卫星机械能：解：解：2022/11/238机械能守恒定律机械能守恒定律:系统的动能定理：系统的动能
18、定理：AfA保守内力保守内力AnfA非保守内力非保守内力 当一个系统所受的外力的功和非保守内力的功的代数当一个系统所受的外力的功和非保守内力的功的代数和为零时，系统机械能守恒。和为零时，系统机械能守恒。外力功外力功内力功内力功2022/11/239一切外力的功非非保保守守内内力力的的功功 (1)(1)外力中有可能是保守力外力中有可能是保守力,只有保守只有保守的内力才能增加系统的势能的内力才能增加系统的势能,(1),(1)没有指没有指明是保守力是否内力明是保守力是否内力,得不到结论。得不到结论。(2)是保守力的定义,为正确结论。(3)是明显错误。2022/11/2402022/11/2412-T
19、15 2-T15 将一质点沿一个半径为将一质点沿一个半径为r的光滑半球形碗的内面水平投射，的光滑半球形碗的内面水平投射，碗保持静止，设碗保持静止，设v0 0是质点恰好到达碗口所需要的初速率。求是质点恰好到达碗口所需要的初速率。求v0 0作为作为 0 0的函数表达式，的函数表达式，0 0是用角度表示的质点的初位置是用角度表示的质点的初位置。外力矩方向在水平面内，外力矩方向在水平面内，角动量在竖直角动量在竖直(OO)方向守恒。方向守恒。仅重力作功，质点机械能守恒。仅重力作功，质点机械能守恒。解解：小球受力小球受力：、mg2022/11/242代入（代入（3 3）4-244-24 一飞船环绕某星球作
20、圆周轨道运动，半径为一飞船环绕某星球作圆周轨道运动，半径为R0 0，速度为，速度为v0 0。要使飞船从圆轨道变成近距离为。要使飞船从圆轨道变成近距离为R0 0，远距离为，远距离为3 3R0 0的椭圆轨的椭圆轨道。则飞船的速率道。则飞船的速率v 应变为多大？应变为多大？2-16解：解：2022/11/2434-234-23 一颗卫星环绕地球作圆轨道运动，半径为一颗卫星环绕地球作圆轨道运动，半径为r。速度为。速度为v1 1。点。点燃一火箭，其冲力使卫星附加一个向外的径向分速度燃一火箭，其冲力使卫星附加一个向外的径向分速度v2 2(v2 2v1 1)，使卫星的轨道变成椭圆形。求卫星与地球的最近与最远
21、距离。使卫星的轨道变成椭圆形。求卫星与地球的最近与最远距离。卫星所受引力、火箭反冲力均通过卫星所受引力、火箭反冲力均通过力心，故卫星在火箭点燃前或后对地心力心，故卫星在火箭点燃前或后对地心的的角动量角动量始终不变，是始终不变，是守恒守恒的。的。解：解：2022/11/244由由(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)可得关于可得关于 r 的二次方程的二次方程并由此解得并由此解得 r1，r2解：解：2022/11/245例例 半径为半径为R R的光滑的水平圆槽内，放有质量分别为的光滑的水平圆槽内，放有质量分别为m和和M两个两个小球。两球可在圆槽内自由滑动。现将一不计长度的压缩的轻弹小球。两球可在
22、圆槽内自由滑动。现将一不计长度的压缩的轻弹簧置于两球之间。将弹簧压缩释放后，两球沿相反方向被射出，簧置于两球之间。将弹簧压缩释放后，两球沿相反方向被射出，而弹簧本身仍留在原处不动。问：而弹簧本身仍留在原处不动。问：(1)(1)两球将在槽内何处发生碰撞？两球将在槽内何处发生碰撞？(1)(1)设两小球被射出后的角速度分别设两小球被射出后的角速度分别为为 m m 和和 M M解：解：根据根据角动量守恒角动量守恒有：有：解得：解得：R2022/11/246R由机械能守恒定律得：(2)设压缩弹簧具有弹性势能E0。两球射出后，经多少时间发生碰撞？解：解：2022/11/247下滑时：下滑时：上滑时：上滑时
23、：其中：其中：例题：例题：如图，自动卸料车连同料重为如图，自动卸料车连同料重为G1 1，静止开始沿斜面下滑，静止开始沿斜面下滑，滑倒底端与自然状态的轻弹簧相碰，当弹簧压缩到最大时，卸料滑倒底端与自然状态的轻弹簧相碰，当弹簧压缩到最大时，卸料车就自动翻斗卸料，此时卸料车下降高度为车就自动翻斗卸料，此时卸料车下降高度为h，然后依靠被压缩弹，然后依靠被压缩弹簧的弹性作用力作用下又沿斜面回到原高度。设斜坡倾斜为簧的弹性作用力作用下又沿斜面回到原高度。设斜坡倾斜为，空，空车重为车重为G2 2，摩擦力是车身重的，摩擦力是车身重的0.20.2倍，求倍，求G1 1和和G2 2的比值。的比值。2022/11/2482022/11/249作业（作业（P.7-8P.7-8）