《2022年2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案：第二章2.3数学归纳法Word版含解析 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案：第二章2.3数学归纳法Word版含解析 .pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数学归纳法预习课本P92 95，思考并完成下列问题(1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？(2)数学归纳法的证题步骤是什么？新知初探 1数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n 都成立这种证明方法叫做数学归纳法2数学归纳法的框图表示点睛 数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“
2、k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n k 到 n k1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项(3)利用假设是核心在第二步证明n k1 成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk 时命题成立”作为条件来导出“nk 1”，在书写 f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是 f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心不用归纳假设的证明就不是数学归纳法小试身手 1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤
3、缺一不可()答案：(1)(2)(3)2如果命题p(n)对所有正偶数n 都成立，则用数学归纳法证明时须先证n_成立答案：2 3已知 f(n)112131n(nN*)，计算得f(2)32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，由此推测，当n2 时，有 _文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T
4、10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码
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9、5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C
10、9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10答案：f(2n)n22用数学归纳法证明等式典例 用数学归纳法证明：12132235n2(2n 1)(2n1)n(n1)2(2n 1)(nN*)证明(1)当 n1 时，12131223成立(2)假设当 n k(nN*)时等式成立，即有12132235 k2(2k1)(2k1)k(k1)2(2k1)，则当 n k1 时，121 32235k2(2k1)(2k1)(k 1)2(2k1)(2k3)k(k1)2(2k1)(k1)2(2k 1)(2k3)(k1)(k2)2(2k3)，即当 n k1 时等式也
11、成立由(1)(2)可得对于任意的nN*等式都成立用数学归纳法证明恒等式应注意的三点用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n 取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从 nk到 nk1 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n k1 证明目标的表达式变形活学活用 求证：112131412n 112n1n 11n212n(nN*)证明：(1)当 n1时，左边 11212，右边11112，左边右边文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5
12、 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9
13、S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T1
14、0文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:
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18、10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10(2)假设 nk(kN*)时等式成立，即112131412k112k1k11k2 12k，则当 n k1 时，112131412k 112k12k112k21k11k212k12k112k21k21k312k112k2.即当 n k1 时，等式也成立综合(1)，(2)可知，对一切nN*，等式成立用数学归纳法证
19、明不等式典例 已知 nN*，n 2，求证：112131nn1.证明(1)当 n3 时，左边 11213，右边31 2，左边右边，不等式成立(2)假设当 n k(kN*，k3)时，不等式成立，即 112131kk1.当 nk 1 时，11213 1k1k1k11k1k11k1k2k 1.因为k2k 1k2k2k2(k 1)1，所以 112131k1k 1(k1)1.所以当 nk1 时，不等式也成立由(1)，(2)知对一切 nN*，n2，不等式恒成立一题多变 1变条件，变设问将本题中所要证明的不等式改为：1n11n21n313n56(n 2，nN*)，如何证明？文档编码:CN8J7N5S4X5 H
20、I7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M1
21、0I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5
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23、3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10
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27、13(k1)1k11k2 13k13k113k 213k31k15613k113k213k31k156313k31k156.所以当 nk1 时，不等式也成立由(1)，(2)可知，原不等式对一切n2，nN*都成立2变条件，变设问将本题中所要证明的不等式改为：113115 112n12n12(n2，nN*)，如何证明？证明：(1)当 n2时，左边 11343，右边52.左边右边，所以原不等式成立(2)假设当 n k(k2，k N*)时不等式成立，即 113115 112k12k 12.则当 n k1 时，左边113115 112k1112(k 1)12k122k22k12k222k 14k28k4
28、22k14k28k322k12k3 2k122k12(k1)12.所以，当nk1 时不等式也成立由(1)和(2)可知，对一切n 2，nN*不等式都成立用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n 的值时，要注意n0不一定为1，若 nk(k 为正整数)，则 n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从nk 到 nk 1 的推导过程中，一定要用到归纳假设，文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P
29、7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档
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32、X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7
33、Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I
34、8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD
35、8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前 n 个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk 时成立得nk 1 时成立，主要方法有比较法、分析
36、法、综合法、放缩法等归纳 猜想 证明典例 考察下列各式221 3441 3 4568 135 5678 161357 你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？解 由 题 意 得，2 2 1,34 413,4 56 8135,5678 16 1357，猜想：(n1)(n2)(n 3)2n2n 1 3 5 (2n1)，下面利用数学归纳法进行证明：证明：(1)当 n1时，显然成立；(2)假设当 n k时等式成立，即(k1)(k 2)(k 3)2k2k 1 3 5 (2k1)，那么当 nk1 时，(k11)(k 12)(k13)2(k 1)(k1)(k2)2k(2k1)2 2k 1 3 5 (2k
37、1)(2k1)2 2k1 1 3 5 (2k1)2k1 1 3 5 2(k 1)1 所以当 nk1 时等式成立根据(1)(2)可知对任意正整数等式均成立(1)“归纳 猜想 证明”的一般环节文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P
38、7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档
39、编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8
40、J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4
41、X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7
42、Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I
43、8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD
44、8C9S3P7T10(2)“归纳 猜想 证明”的主要题型已知数列的递推公式，求通项或前n 项和由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题活学活用 数列 an中，a11，a214，且 an1(n1)ann an(n2)，求 a3，a4，猜想 an的表达式，并加以证明解：a214，且 an1(n 1)annan(n2)，a3a22 a21421417，a42a33a3217317110.猜想：an13n 2(nN*)下面用数学归纳法证明猜想正确(1)当 n1,2 易知猜想正确(2)假设当
45、n k(k2，k N*)时猜想正确，即 ak13k2.当 nk 1 时，ak1(k1)akkak(k1)13k 2k13k 2k13k23k22k13k2文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S
46、4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI
47、7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10
48、I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 Z
49、D8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3
50、P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文档编码:CN8J7N5S4X5 HI7Y9M10I8T5 ZD8C9S3P7T10文