《2022年数学同步练习题考试题试卷教案高三数学二面角及平面的垂直.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学同步练习题考试题试卷教案高三数学二面角及平面的垂直.docx（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 94 二面角及平面的垂直一、明确复习目标1. 把握两平面垂直的判定和性质,并用以解决有关问题 2. 把握二面角及其平面角的概念,能敏捷作出二面角的平面角,并能求出大小 3在讨论垂直和求二面角的问题时,要能敏捷运用三垂线定理及逆定理二建构学问网络1. 二面角、平面角的定义；范畴： 0, . 900 二面角时,叫两个平面垂直. 两个平面相交成2判定两平面垂直的方法：利用“ 面面垂直的定义” ,即证“ 两平面所成的二面角是直二面角；利用“ 面面垂直的判定定理” ,即由“ 线面垂直 面面垂直” .3二面角的平面角的作法：直接利用定义；利用三垂线定理及其
2、逆定理 ; 作棱的垂面 . 三、双基题目练练手1. 在三棱锥 ABCD 中,如 ADBC,BDAD, BCD 是锐角三角形, 那么必有 A. 平面 ABD平面 ADCB. 平面 ABD平面 ABCC. 平面 ADC平面 BCD D. 平面 ABC平面 BCD名师归纳总结 - - - - - - -2. 设 m、 n是两条不同的直线,、是两个不同的平面. 考查以下命题,其中正确的命题是（）A m,n,mnB./,m,n/mnC.,m,n/mnD.,m nmn3. 设两个平面 、 ,直线 l ,以下三个条件：l ; l ; , 如以其中两个作为条件,另一个作为结论,可构成正确命题的个数是（）第 1
3、 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - A.3 B.2 C. 1 D. 0 4. P 为 ABC 所在平面外的一点,就点P 在此三角形所在平面上的射影是ABC 垂心的充分必要条件是A. PA=PB=PCB. PA BC,PBAC C. 点 P 到 ABC 三边所在直线距离相等D. 平面 PAB、平面 PBC、平面 PAC 与 ABC 所在的平面所成的角相等5如图在四棱锥 P- ABCD 中, PA底面 ABCD ,底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满意 _时,平面 MBD 平面 PCD . 6. 夹在相互垂直的两个平面之间长为 2a 的线段和这两个
4、平面所成的角分别为 45和 30 ,过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线,就两垂足间的距离为_. 答案提示 ：1-4. CBBB； 5. MD PC 或 MB PC ; 6. a四、典型例题做一做【例 1】 如下图,在三棱锥（1）求证： ABBC；SABC 中, SA平面 ABC,平面 SAB平面 SBC. （2）如设二面角S BCA 为 45 , SA=BC,求二面角ASCB 的大小 . SEH A CB证明（ 1）：作 AH SB 于 H,平面 SAB平面 SBC,AH平面 SBC. AHBC ,又 SA平面 ABC,SABC. SA SB=S,BC平面 SAB. BCAB.
5、解（ 2）： SA平面 ABC, SA BC. 平面 SABBC, SBA 为二面角 SBCA 的平面角 . SBA=45 . 设 SA=AB=BC=a. 作 AESC 于 E,连结 EH. 由1 知 AH平面 SBC, AE 在面 SBC内的射影 EHSC, AEH 为二面角名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - A SCB 的平面角,AH= 2 a,AC= 2 a,SC= 3 a,AE= 6 a,2 3sin AEH= 3 ,二面角 ASCB 为 60 .2【例 2】 已知正三棱柱 ABCA1B1C1,如过面对角线A
6、B1 且与另一面对角线BC1 平行的平面交上底面A1B1C1的一边 A1C1于点 D. （1）确定 D 的位置,并证明你的结论；（2）证明：平面 AB1D平面 AA 1D；（3）如 ABAA1= 2 ,求平面 AB1D 与平面 AB1A1所成角的大小 . _ A 1 B1 _ C1 _A C B 分析：此题结论不定,是“ 开放性” 的,点D 位置的确定假如仅凭已知条件推理难以得出 . 由于 AB1 与 BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线,于是可考虑将 BC1沿 BA 平行移动, BC1取 AE1 位置,就平面 AB1E1 肯定平行 BC1,问题可以解决 . （1）解：如下图,将正三棱
7、柱 ABCA1B1C1补成始终平行六面体 ABCEA1B1C1E1,由 AE 1 BC1,AE1 平面 AB1E1,知 BC1 平面 AB1E1,故平面 AB1E1应为所求平面,此时平面 AB1E1交 A1C1 于点 D,由平行四边形对角线相互平行性质知,D 为 A1C1 的中点 . E1D C1A 1 B 1E CABB1D,就 B1DA1C1; 从直三棱柱定义知AA1底面 A1B1C1,（2）证明：连结AA1B1D, 又 A1DAA 1=A1,B1D平面 AA1D,又 B1D 平面 AB1D,平面 AB1D平面 AA1D. （3）解：由于平面 AB1D平面 AA1D=AD,所以过 A1 作
8、 A1HAD 于点 H. 作 HF AB1于点 F,连结 A1F,从三垂线定理知 A1FAB1. 故 A1FH 是二面角 A1AB1D 的平面角 . 名师归纳总结 设侧棱 AA1=1,侧棱 AB=2 . 第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是 AB1=2 122= 3 . 在 Rt AB1A1中, A1F= AA 1 A 1 B 1 = 1 2 = 6 ,AB 1 3 3在 Rt AA1D 中, AA1=1,A1D= 1 A1C1= 2 ,2 2AD= AA 1 2A 1 D 2= 6 . 2A1H= AA 1 A 1 D =
9、3 . AD 3在 Rt A1FH 中, sinA1FH = A 1 H= 2 , A1FH =45 .A 1 F 2因此知平面 AB1D 与平面 AB1A1所成角为 45 0 或 135 0. 【例 3】在四棱锥 P- ABCD 中,已知 ABCD 为矩形, PA 平面 ABCD ,设 PA=AB=1,BC=2,求二面角 B- PC- D 的大小 . 解析 1. 定义法 过 D 作 DE PC 于 E,过 E 作 EF PC,交 BC 于 F,连接FD,就 DEF 是所求二面角 B- PC- D的平面角 . 求解二面角 B- PC- D 的大小,只需解DEF 即可 . 所求角为arccos2
10、10P A E D F B 解析一 C 解析 2. 垂面法 易证面 PAB面 PBC,过 A 作 AM BP 于 M,明显 AM 面 PBC,从而有 AM PC,同法可得 AMN 交 PC 于 Q,AN PC,再由 AM 与 AN 相交与 A 得 PC 面 AMN . 设面名师归纳总结 就MQN 为二面角 B-PC-D 的平面角；第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - MAN 为它的补角,在三角形P B A C D 解析二AMN 中可解 . 运算较繁 . 解析 3. 利用三垂线求解把四棱锥 P- ABCD 补成如图的直三棱柱 PAB-
11、 EDC ,明显二面角 E- PC- D 与二面角 D- PC- B 互补,转化为求二面角 E- PC- D. 易证面 PEDA PDC ,过 E 作 EF PD于 F,明显 PF 面 PDC ,在面 PCE 内,过 E 作 EG PC 于 G,连接 GF,由三线得 GF PC 即EGF 为二面角 E- PC- D 的平面角,只需解EFG 即可 . P E G F A D B C 解析三解析 4. 射影面积法；由解析3 知, PFC 为 PEC在面 PDC 上的射影,由射影面积公式得cos2,所求角为arccos21010P E G F B A C D 解析四名师归纳总结 - - - - -
12、- -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 5. 在面 PDC 内,分别过D、B 作 DE PC 于 E, BF PC 于 F,连接 EF即可 . 利用平面学问求BF、EF、DE 的长度,再利用空间余弦定理求出q 即可 . P A D B C 解析五 思悟提炼： 想一想求二面角都用了哪些方法：其中【例 4】由一点 S 引不共面的三条射线SA、SB、SC,设ASB= , BSC= , ASC= , , 均为锐角,就平面ASB 平面 BSC 的充要条件是coscos =cos 证明：必要性如图1过点 A 作 ADSB 于 D. 平面 ASB 平面 BSCA
13、D平面 BSC过 D 作 DESC 于 E,连 AE,就 AE SC在 Rt ADS 中, cos =SD ；SA在 Rt DES 中, cos =SE；SDASDB名师归纳总结 EC第 6 页,共 11 页1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在 Rt AES 中, cos = SE ,由此可得SAcos cos = SD SE= SE=cos 必要性得证SA SD SA充分性如图 2,过点 A 作 AA1 SB 于 A1,过点 A1作 A1C1 SC 于 C1. 在 Rt AA1S 中, cos =SA1 ；SASC ; SA 1SC1 , SA在
14、 Rt A1C1S中, cos =cos =coscos =SA1SC 1SA 1=SASC1=SA cos ASA1 BC1 C1C2 过 A 作 AC1 SC,垂足为 C1 ,在 Rt AC1 S 中, SC1 =SA cos 由此得 SC1 =SC1,即 C1 与 C1重合,故 SC AC1而 SC A1C1,且 AC1 A1C1=C1,SC 平面 AA1C1, SC AA1又 SB AA1,SB SC=S,AA1 平面 BSC,而 AA1 平面 ASB,平面 ASB 平面 BSC充分性得证五提炼总结以为师1. 留意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化和应用 . 2求二面角的方法是：找
15、（或作）平面角,用射影法. : cos =s底；s侧用异面直线上两点间距离公式3作平面角的方法： （1）定义法名师归纳总结 （2）三垂线定理；（3）垂面法 . 第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同步练习 9.4 二面角、面面垂直【挑选题】1. PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面,C 为圆上异于 A、B 的任一点,就以下关系不正确选项 A PABC B ACPBC PCBC D BC平面 PAC2在边长为 a 的正三角形 ABC 中,ADBC 于 D,沿 AD 折成二面角 BADC 后,BC1 a,且二面角 BAD C 的
16、大小为（）2A 30B.45 C 60 D 903在 120 0的二面角 l 内,有一点 P 到面 、 的距离分别是 6 和 9 ,就点P 到棱 l 的距离等于（）A3 7 B. 21 C. 2 21 D. 12 【填空题】4. 设 a、b 是异面直线, 、是两个平面,且a ,b ,a ,b ,就当_（填上一种条件即可）时,有 . 52005 浙江 设 M、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点, DEAB 于 E 如图 现将 ADE 沿 DE 折起,使二面角 ADE B 为 45,此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B,就 M、N 的连线与 AE 所成角的大小等于 _D CNAEB6一
17、条直线与直二面角的两个面所成的角分别是 答案提示 ： 1-3. BCB; 4. ab; 5. 90 ; 6.0 ,90 ； 和 ,就 的范畴是 _提示 :3. l平面 PAB 于 C, PC 是 PAB 外接圆直径,用余、正弦定理. 【解答题】7在直三棱柱ABC- A1B1C1中,底面三角形ABC 为等腰直角三角形, 且 ABC=90,E 为 C1C 的中点,F是 BB1上是 BF=1 BB1,AC=AA1=2 a , 求平面 EFA 与面 ABC 所成角的大小 4答案：1 arctan 28已知矩形ABCD 中, AB=1, BC=a a 0, PA面 ABCD , PA=1 （1）问 BC
18、 边上是否存在一点Q,使得 PQQD 并且说明理由名师归纳总结 （2）如 BC 边上有且只有一个点Q 使得 PQQD,求这时二面角QPDA 大小第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P A DBQC解：（1） a=2 时只有一点； a2 时有两点； a2 时没有点；（2）arctan 59（2004 天津）如图,在四棱锥PABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD底面 ABCD ,PD=DC ,E 是 PC 的中点,作（）证明 PA/ 平面 EDB；（）证明 PB平面 EFD ；（）求二面角 CPBD 的大小 . EFPB 交
19、PB 于点 F. （1）证明：连结 AC,AC 交 BD 于 O,连结 EO. 底面 ABCD 是正方形,点 O 是 AC 的中点在 PAC 中, EO 是中位线, PA / EO而 EO 平面 EDB 且 PA 平面 EDB,所以, PA / 平面 EDB（2）证明： PD 底面 ABCD 且 DC 底面 ABCD ,PD DC PD=DC,可知 PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线,DEPC. 同样由 PD底面 ABCD ,得 PDBC. 底面 ABCD 是正方形,有 DC BC,BC平面 PDC . 名师归纳总结 而 DE平面 PDC ,BCDE. 第 9 页,共 1
20、1 页由和推得DE平面 PBC. 而 PB平面 PBC,DEPB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又EFPB且DEEFE,所以 PB平面 EFD . （3）解：由（ 2）知,PBDF,故EFD 是二面角 CPBD 的平面角 . 由（ 2）知,DEEF,PDDB. 设正方形 ABCD 的边长为 a,就PDDCa ,BD2a, ABCD 是边长为2 的正方PBPD2BD23 a,PCPD2DC22a,DE1PC2a. 22在RtPDB中,DFPDBDa2a6a. PB中,3 a3在RtEFDsinEFDDE2a3, 2DF6a23EFD3,二面角 CPBD
21、 的大小为3. 10（ 2005 福建 如图,直二面角DABE 中,四边形形, AE=EB,F 为 CE 上的点,且BF平面 ACE. （）求证AE平面 BCE；（）求二面角BACE 的大小；（）求点D 到平面 ACE 的距离 . 分析：本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础学问,考查空间想象才能,规律思维才能与运算才能 . 解法一：（）BF平面 ACE. BFAE . CB平面 ABE. 二面角 DABE 为直二面角,且CBAB,名师归纳总结 CBAE.AE平面BCE.第 10 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
22、（）连结 BD 交 AC 于 C,连结 FG,正方形 ABCD 边长为 2,BGAC,BG= 2 ,BF 平面 ACE,由三垂线定理的逆定理得 FG AC. BGF 是二面角 BACE 的平面角 . 由（） AE平面 BCE, 又 AE EB,在等腰直角三角形 AEB 中, BE= 2 . 又 直角 BCE中 ,2 2EC BC BE 6,BF BC BE 2 2 2 3,EC 6 32 3直角 BFG中 , sin BGF BF 3 6.BG 2 3二面角 BACE 等于 arcsin 6 .3（）过点 E 作 EO AB 交 AB 于点 O. OE=1. 二面角 DABE 为直二面角,EO平面 ABCD . 设 D 到平面 ACE 的距离为 h,VDACEV EACD,1SACBh1SACDEO .33AE 平面 BCE,名师归纳总结 AEEC.233.第 11 页,共 11 页h1ADDCEO1221221AEEC1262223点 D 到平面 ACE 的距离为3- - - - - - -