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1、211矩阵的不雅观点1坐标平面上的点向量矩阵设O(0,0)，P(2,3)，那么向量=(2,3)，将的坐标排成一列，并简记为yx23OP(2,3)23232一样往常生活矩阵1某电视台进行唱歌比赛，甲、乙两名选手初、复赛效果如下：初赛复赛甲8090乙86882某牛仔裤市廛经销A、B、C、D、E五种差异牌子的牛仔裤，其腰围大小分不有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该市廛的销售状况可用以下矩阵办法表示：ABCDE28英寸1301230英寸5861232英寸2356034英寸011033图矩阵0110101011010010ABCDABCD0110101011010010BAC
2、DABCA031B300C102ACB矩阵：灯号：A，B，C，或aij(其中i,j分不元素aij所在的行跟列)要素：行列元素矩阵相当行列数目相当同时对应元素相当。特不：121矩阵，22矩阵二阶矩阵，23矩阵2零矩阵3行矩阵：a11,a12列矩阵：，一般用a，b等表示。4行向量与列向量例1用矩阵表示三角形ABC，A1，0，B0，2，C2，0BACD例2用矩阵表示以下关系图2.1.2矩阵的乘法1生活实例1某电视台进行唱歌比赛，甲、乙两名选手初、复赛效果如下：初赛复赛甲8090乙8688假设规那么唱歌比赛最后效果由初赛跟复赛综合裁定，其中初赛占40%，决赛占60%，那么甲、乙的最后效果可用如下矩阵的
3、办法表示：=2某牛仔裤市廛经销A、B、C、D、E五种差异牌子的牛仔裤，其腰围大小分不有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该市廛的销售状况可用以下矩阵办法表示ABCDE28英寸1301230英寸5861232英寸2356034英寸01103假设差异牌子的每条牛仔裤的平均利润分不为：A为30元，B为35元，C为40元，D为25元，E为40元，试征询28英寸牛仔裤在该星期内获得的总利润是多少多？28英寸牛仔裤的销售量：ABCDE13012差异牌子的平均利润3035402540M=130+335+040+125+240=240元假设恳求各种规格大小的牛仔裤的总利润，就自然地得出
4、以下的矩阵乘法130123024028英寸牛仔裤的利润586123577530英寸牛仔裤的利润235604051532英寸牛仔裤的利润011032519534英寸牛仔裤的利润一般地：1行矩阵与列矩阵的乘法则那么2二阶矩阵与列向量的乘法则那么2二阶矩阵乘列向量多少多何意思1=矩阵平面上每个向量点变成了向量点，因此它是平面到平面的一个变卦谁人变卦理论上是把平面上的图形在y轴倾向拉伸了两倍一般地：1平面变卦的定义2平面变卦的灯号3平面变卦的规那么2.2平面变卦恒等变卦1恒等变卦将图中所示的四边形ABCD保持位置波动，能否用矩阵M来表示？2伸压变卦能否用矩阵来表示以以下列图形的变卦？例1已经清楚曲线y
5、sinx经过变卦T感染后变为新的曲线ysin2x，画出相关的图象，并求出变卦T对应的矩阵M。例2验证圆C：x2y21在矩阵A对应的伸压变卦下变为一椭圆，并求出此椭圆的方程。3反射变卦例3求直线y4x在矩阵感染下变卦所得的图形。一般地：二阶非零矩阵对应的变卦将直线变卦为直线。在矩阵M感染下，直线l1al2b变成直线l1Mal2Mb，素日称这种变卦为线性变卦。4旋改动更例4已经清楚A0，0，B2，0，C2，1，D0，1，求矩形ABCD绕原点逆时针改动90后掉掉落的图形，并求出其顶点的坐标。5投影变卦6切变变卦例5已经清楚矩形ABCD在变卦T的感染下变成图形ABCD，试求变卦对应的矩阵M。例6已经清
6、楚矩形ABCD在变卦T的感染下变成图形ABCD，试求变卦对应的矩阵M。矩阵的乘法一、征询题：已经清楚ABC，A0，0，B2，0，C1，2，对它先作M对应的变卦，再作N对应的变卦，1试研究两次变卦后的结果。2两次变卦能否用一个变卦矩阵表示。二、二阶矩阵的乘法则那么及多少多何意思三、n次变卦的表示办法Mn例1打算： A，BA=，B，C解： AB=BA=结论：矩阵乘法不称心交换律。3、打算：X=X=解：X=X=可以验证结论：矩阵乘法称心结合律。4已经清楚ABC，A0，0，B2，0，C1，2，对它先作关于x轴的反射的变卦，再将图形绕原点顺时针改动90。1求两次连续的变卦对应的变卦矩阵M；2求A，B，C
7、在变卦感染下所掉掉落的结果。5假设3=，试求x的值。解：3=3x=1x=6A，B，求AB，A2，A3，An四、初等变卦及初等变卦矩阵矩阵乘法的庞杂性质乘法的运算律：1交换律例1已经清楚正方形ABCD，A0，0，B1，0，C1，1，D0，1变卦T1对应矩阵为M，变卦T2对应矩阵为N对应的变卦，打算MN，NM，比较它们能否一样，并从多少多何变卦的角度阐明。2结合律ABCABC3消去律例2已经清楚：A=，B，C，打算AB，AC。逆矩阵与逆变卦一、引入例1关于以下给出的变卦矩阵A，能否存在变卦矩阵B，使得连续停顿两次变卦先TA后TB的结果与恒等变卦的结果一样？1以x为反射轴的反射变卦；2绕原点逆时针改
8、动60作旋改动更；3横坐标波动，沿y轴倾向将纵坐标拉伸为原本的2倍作伸压变卦；4沿y轴倾向，向x轴作投影变卦；5纵坐标y波动，横坐标依纵坐标的比例增加，且称心x，yx2y，y二、逆变卦与逆矩阵假设逆矩阵存在，那么可以证明其存在唯一性。三、用多少多何变卦的不雅观念求解逆矩阵A=，B，C，D四、用代数办法求解逆矩阵AB五、从多少多何变卦的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵假设二阶矩阵A，B均可逆，那么AB也可逆，且(AB)1B1A1例41A，B2A，B六、研究：二阶矩阵称心消去律的条件反例：书P46习题2二阶矩阵与二元一次方程组一、消元法二求解元一次方程组当adbc0时，方程组的解为二、二阶行列式定义：
9、det(A)adbc因此方程组的解为记：D，Dx，Dy，因此，方程组的解为例1求以下行列式的值2解：=14-23=-2=14-2-3=10=-14-20=-42=2ad-bc例2假设x=R试求f(x)=x2+2x-3的最值。解：x=con2-sin2=con2-1x1f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4当x=-1时f(x)获得最小值-4；当x=1时f(x)获得最大年夜值0例3运用行列式求解二元一次方程组例4运用行列式求解A的逆矩阵运用：一、用逆矩阵办法求二元一次方程组的解解：已经清楚方程组可以写为：=令M=其行列式=31-3-2=90M-1=M-1=即方程组的解为：二、用多少多何变卦的不
10、雅观念讨论方程的解12AXB，其中A，B2.5特色值与特色向量变卦的波动量1操纵矩阵特色值与特色向量的定义，能从多少多何变卦的角度阐明特色向量的意思。2会求二阶方阵的特色值与特色向量只要要特色值是两个差异实数的状况。引例：按照以下条件试揣摸M能否与共线：M=，非零向量=M=，非零向量=M，非零向量a，解：M=3，因此M与共线。M=，而与不共线。即现在M与不共线。M与共线。二、特色向量与特色值设二阶矩阵A，关于实数l，存在一个非零向量a，使得Aala，那么l称为A的一个特色值，而a称为A的属于特色值l的一个特色向量。多少多何不雅观念：特色向量的倾向经过变卦矩阵A的感染后，保持在同不时线上。l0倾
11、向波动；l0倾向相反；l0，特色向量就被变卦成零向量。代数办法：特色多项式例2求初等变卦矩阵的特色值与特色向量，并作出多少多何阐明。例3求矩阵M=的特色值跟特色向量：解：矩阵M的特色值称心方程=(+1)(-3)-(-)(-2)=2-2-8=0解得，矩阵M的两个特色值1=4，2=-2设属于特色值1=4的特色向量为，那么它称心方程：(1+1)x+(-2)y=0即：(4+1)x+(-2)y=0也的确是5x-2y=0,那么可取为属于特色值1=4的一个特色向量。设属于特色值1=-2的特色向量为，那么它称心方程：(2+1)x+(-2)y=0即：(-2+1)x+(-2)y=0也的确是x+2y=0那么可取为属
12、于特色值2=-2的一个特色向量。综上所述：M=有两个特色值1=4，2=-2，属于1=4的一个特色向量为，属于2=-2的一个特色向量为。例3已经清楚：矩阵M=，向量=求M3解：由上题可知1=,2=是矩阵M=分错误应特色值1=4，2=-2的两个特色向量，而1与2不共线。又=3+=31+2M3=M3(31+2)=3M31+M32=3131+232=343+(-2)3=192-8=例4已经清楚M，b，试打算M50b例5自然界生物种群的成长受到多种条件要素的阻碍，比如降生率、去世亡率、资源的可运用性与竞争、捕食者的猎杀致使自然灾害等等。因此，它们跟周边状况是一种既相生又相克的生活关系。但是，假设不任何限制，种群也会浩繁成灾。现假设两个互相阻碍的种群X，Y随时辰段变卦的数目分不为an，bn，并有关系式，其中a16，b14，试分析20个时段后这两个种群的数目变卦趋势。