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1、导数的几多何意思编稿：赵雷审稿：李霞【深造目标】1理解导数的几多何意思。2理解导数的单方面涵义。3操纵运用导数求函数图象的切线的歪率。4会求过点或在点处的切线方程。【要点梳理】按照课标恳求停顿适当的深化与拓展。要点一、导数几多何意思1. 平均变卦率的几多何意思曲线的割线函数的平均变卦率的几多何意思是表示连接函数图像上两点割线的歪率。如以下列图，函数的平均变卦率的几多何意思是：直线AB的歪率。理想上，。换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，那么有。要点说明：按照平均变卦率的几多何意思，可求解有关曲线割线的歪率。2.导数的几多何意思曲线的切线图1如图1，当沿着曲线趋近于点时，割
2、线的变卦趋势是什么？我们觉察,当点沿着曲线无限濒临点P即x0时,割线趋近于判定的位置，谁人判定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.定义：如右图，当点沿曲线无限濒临于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线。T也的确是：事前，割线歪率的极限，的确是切线的歪率。即：。要点说明：1曲线上一点切线的歪率值只与该点的位置有关。2切线歪率的本质函数在处的导数。3曲线的切线的歪率的标志可以描述函数的增减性。假设曲线在点处的导数不存在，但有切线，那么切线与轴垂直。，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减。4曲线的切线可以跟曲线有多个群众点；
3、什么缘故要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只要一个群众点的直线叫做切线？过去我们定义圆的切线的确是“与圆有且只要一个群众点的直线，谁人定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线C都用“与C有且只要一个群众点来定义C的切线呢？如图1-1-2-1的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx的一部分，直线2显然与曲线C有唯一群众点M，但我们不克不迭说直线2与曲线C相切；而直线1尽管与曲线C有不止一个群众点，但我们可以说直线1是曲线C在点N处的切线。要点二、曲线的切线1用导数的几多何意思求曲线的切线方程的方法步伐：求出切点的坐标;求出函数在点处的导数得切线方程2在点处的切线与过点x0，y0
4、的切线的区不。在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点x0，y0的切线，那么夸张切线是过点x0，y0，此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点x0，y0的切线方程时，先应揣摸点x0，y0能否为曲线上的点，假设是那么为第一类解法，假设差异那么必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点x0，y0代入，求得切点的坐标，进而求过点x0，y0的切线方程。要点三、导数的不雅念导函数定义：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,事前,是一个判定的数，那么,当x变卦时,的确是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，即:要点说明：函数在点处的导数、导函数之间的区不与联系。1函
5、数在一点处的导数，的确是在该点的函数的修改量与自变量的修改量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2函数的导数，是指某一区间内任一点x而言的，也的确是函数f(x)的导函数。3函数在点处的导数的确是导函数在处的函数值。导函数也简称导数，因此因此求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再打算这点的导数函数值。导函数求法：由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：1.求函数的修改量。2.求平均变卦率。3.取极限，得导数。要点四、导数的定义的几多种方法：割线的极限即为切线，即为导数，从谁人几多何意思上看导数式可以有多种表达方法，如：；或：；。要点说明：只要是时，极限式所表示的是割线的歪率或其假
6、设干倍，就能表示为导数式。【模典范题】典范一、求曲线的切线方程【高清课堂：导数的几多何意思385147例1】例1曲线的方程为，那么求此曲线在点P1，2处的切线的歪率，以及切线的方程.【分析】运用导数的几多何意思，曲线在点P1，2处的切线的歪率等于函数在处的导数值，再运用直线的点歪式方程写出切线方程.由得，因此曲线在点处的切线歪率为，过点P的切线方程为，即.【总结升华】求曲线上一点处切线的步伐：求函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在处切线的歪率。由点歪式写出直线方程：；假设y=f(x)在的切线平行于y轴现在导数不存在时，由切线定义知：切线方程为：.举一反三：【变式1】西藏一模已经清
7、楚曲线的一条切线的歪率为，那么切点的横坐标为A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】已经清楚曲线的一条切线的歪率为，那么切点的横坐标为1，应选A.【变式2】已经清楚：曲线上一点，求：点处的切线方程。【答案】对于函数，那么点处的切线的歪率：，切线方程：。【变式3】春东港区校级期末已经清楚函数的图象在点处的切线方程是，那么的值等于A.1B.C.3D.0【答案】【分析】由已经清楚点在切线上，因此，切点处的导数为切线歪率，因此，即，应选C。例2已经清楚函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P作直线l.(1)求使直线l跟yf(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l跟yf(x
8、)相切且切点异于点P的直线方程yg(x)【分析】(1)y3x23.那么过点P且以P(1，2)为切点的直线的歪率k1f(1)0，所求直线方程为y2.(2)设切点坐标为(x0，3x0)，那么直线l的歪率k2f(x0)33，直线l的方程为y(3x0)(33)(xx0)又直线l过点P(1，2)，2(3x0)(33)(1x0)，3x02(33)(x01)，解得x01(舍去)或x0.故所求直线歪率k33，因此：y(2)(x1)，即yx.【总结升华】求曲线的切线时，要留心区分差异的说法：素日情况下，求曲线在某点处的切线时，该点即为切点；求曲线经过某点的切线时，该点不用定是切点。同时此题也说清楚曲线的切线与曲
9、线可以有逾越一个以上的群众点.举一反三：【高清课堂：导数的几多何意思385147例2】【变式1】求曲线经过点的切线方程.【分析】此题要分点是切点跟不是切点两类停顿求解.假设点是切点，由得，那么，因此切线方程为，即；假设点不是切点，设切点为：那么切线率，因此解之得，因此，因此切线方程是，即.【变式2】已经清楚曲线。1求曲线过点A1，0的切线方程；2求称心歪率为的曲线的切线方程。【答案】1设过点A1，0的切线的切点坐标为，因为，因此该切线的歪率为，切线方程为。将A1，0代入式，得。因此所求的切线方程为y=4x+4。2设切点坐标为，由1知，切线的歪率为，那么，。那么切点为或。因此所求的切线方程为或。
10、【变式3】已经清楚直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2跟x轴所围成的三角形的面积【答案】(1)y|x1因此l1的方程为：y3(x1)，即y3x3.设l2过曲线yx2x2上的点B(b，b2b2)，y|xb2b1，因此l2的方程为：y(b2b2)(2b1)(xb)，即y(2b1)xb22.因为l1l2，因此3(2b1)1，因此b，因此l2的方程为：.(2)由得即l1与l2的交点坐标为.又l1，l2与x轴交点坐标分不为(1,0)，因此所求三角形面积.典范二、运用定义求导函数例3已经清楚，求，【分析】因为
11、，因此。当x0时，当x=2时，。【总结升华】求导数的步伐跟求导数值的步伐一样，叫三步法求导。举一反三：【变式1】求函数在内的导函数。【答案】，【变式2】求函数在x=2处的导数。分析解法一：导数定义法，。解法二：导函数的函数值法，。典范三、导数的几多种方法例4.假设，那么_。【分析】按照导数定义：这时=k，因此。【总结升华】1有一种差错的解法：按照导数的定义：这时x=k，因此。2在导数的定义中，增量x的方法是多种多样的，但不论x选择哪种方法，y也必须选择与之相对应的方法。运用函数在x=x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的方法。不雅念是处置征询题的要紧按照，只要熟练操纵不雅念的本质属性，操纵其内涵与内涵，才能敏锐地运用不雅念停顿解题。举一反三：【变式1】函数称心，那么当x无限趋近于0时，12【答案】12【变式2】.假设1求的值。2求的值。【答案】【变式3】设函数在点x0处可导，那么_。【答案】原式。