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1、第3讲函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2017肇庆三模)在函数yxcosx，yexx2，ylg，yxsinx中，偶函数的个数是()A.3B.2C.1D.0剖析yxcosx为奇函数，yexx2为非奇非偶函数，ylg与yxsinx为偶函数.谜底B2.(湖南卷)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，那么f(x)是()A.奇函数，且在(0，1)内是增函数B.奇函数，且在(0，1)内是减函数C.偶函数，且在(0，1)内是增函数D.偶函数，且在(0，1)内是减函数剖析易知f(x)的界说域为(1，1)，且f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，那么yf(x)为奇函数，又yln(1x)与yln(1x)
2、在(0，1)上是增函数，因此f(x)ln(1x)ln(1x)在(0，1)上是增函数.谜底A3.(2017赣中南五校联考)曾经明白yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)x2ax，且f(3)6，那么a的值为()A.5B.1C.1D.3剖析yf(x)是奇函数，且f(3)6.f(3)6，那么93a6，解得a5.谜底A4.曾经明白函数f(x)x，假定f(x1)x2B.x1x20C.x1x2D.x0时，f(x)0，f(x)在0，)上为增函数，由f(x1)f(x2)，得f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，x0的x的聚集为_.剖析由奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f0，得函数yf(x)在(，0)
3、上递增，且f0，f(x)0时，x或x0.谜底三、解答题9.设f(x)是界说域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)断定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1，2上的表白式.解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x).又f(x2)f(x)，f(x)f(x).又f(x)的界说域为R，f(x)是偶函数.(2)当x0，1时，x1，0，那么f(x)f(x)x；进而当1x2时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)10.曾经明白函数f(x)是奇函数.(1)务实数m的值；(2)假定函数f(x)在区间1，a2上枯燥递增，务实数a的
4、取值范畴.解(1)设x0，因此f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，因此f(x)f(x).因此x0时，f(x)x22xx2mx，因此m2.(2)要使f(x)在1，a2上枯燥递增，联合f(x)的图象知因此1a3，故实数a的取值范畴是(1，3.11.(2017石家庄一模)曾经明白f(x)是界说在R上的以3为周期的偶函数，假定f(1)1，f(5)，那么实数a的取值范畴为()A.(1，4)B.(2，0)C.(1，0)D.(1，2)剖析f(x)是界说在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a4.谜底A12.对恣意的实数x都有f(
5、x2)f(x)2f(1)，假定yf(x1)的图象对于x1对称，且f(0)2，那么f(2015)f(2016)()A.0B.2C.3D.4剖析yf(x1)的图象对于x1对称，那么函数yf(x)的图象对于x0对称，即函数f(x)是偶函数，令x1，那么f(12)f(1)2f(1)，f(1)f(1)2f(1)0，即f(1)0，那么f(x2)f(x)2f(1)0，即f(x2)f(x)，那么函数的周期是2，又f(0)2，那么f(2015)f(2016)f(1)f(0)022.谜底B13.(2017西南四市联考)曾经明白f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，那么函数yf(x)
6、的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_.剖析因为当0x2时，f(x)x3x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，那么f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点有7个.谜底714.设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，因此f(x)是以4为周期的周期函数，因此f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x).故知函数yf(x)的图象对于直线x1对称.又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象对于原点成核心对称，那么f(x)的图象如以下列图所示.当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，那么S4SOAB44.