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1、第10讲圆的综合应用1圆的基本性质的研究2切线性质及其判定的运用研究3圆及正多边形的关系研究4及圆相关的计算研究学生在解决圆知识问题时往往忽视圆中角边关系等隐藏的条件，及其对辅助线的处理往往考虑不到位，致使问题缺少条件，对计算问题公式不能熟悉对圆知识重点在于四个方面的处理，垂径定理、圆周角圆心角关系、切线性质及判定及其弧线长、扇形面积计算公式的灵活应用1.垂径定理及其逆定理：根据垂径定理及推论可得出线段相等、角相等、弧相等、三角形全等等结论；同时利用构造勾股定理列出方程求出圆环的面积；2. 圆心角及圆周角：当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路在证明有关问题中注意90的圆
2、周角的构造同时注意同弧所对圆周角是圆心角的一半的关系；3. 点及圆、直线及圆的位置关系：圆的切线的判定常见方法有两种类型：(1)当已知条件中已明确给出直线及圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线这种方法简称“连半径，证垂直”(2)当已知条件中没有明确给出直线及圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长这种方法简称“作垂直，证半径”；4、圆的相关计算：(1)扇形的周长等于弧长及经过弧的两个端点的半径的和，千万不要错误地认为扇形的周长等于扇形的弧长(2)计算圆锥的侧面积时，要注意各量之间的关系，不要把圆锥底面圆的半径当成
3、扇形的半径，也不要把圆锥的母线长当成扇形的弧长5. 及圆有关的综合运用问题：解决动态问题的关键是善于抓住运动变化中暂时静止的一瞬间，进行观察、猜想，分析“主动”及“被动”，并探索“变”中的“不变”寻找等量关系式，达到解题的目的；【典例解析】【例题1】（2017山东临沂）如图，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若BAC=90，BD=4，求ABC外接圆的半径【分析】（1）由角平分线得出ABE=CBE，BAE=CAD，得出，由圆周角定理得出DBC=CAD，证出DBC=BAE，再由三角形的外角性质得出DBE=DEB，即可得出DE=DB；（2
4、）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，BDC=90，由勾股定理求出BC=4，即可得出ABC外接圆的半径【解答】（1）证明：BE平分BAC，AD平分ABC，ABE=CBE，BAE=CAD，DBC=CAD，DBC=BAE，DBE=CBE+DBC，DEB=ABE+BAE，DBE=DEB，DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，CD=BD=4，BAC=90，BC是直径，BDC=90，BC=4，ABC外接圆的半径=4=2【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键【例题2】如图，在ABC
5、中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交O于点F（1）求证：DEAC；（2）若DE+EA=8，O的半径为10，求AF的长度【分析】（1）欲证明DEAC，只需推知ODAC即可；（2）如图，过点O作OHAF于点H，构建矩形ODEH，设AH=x则由矩形的性质推知：AE=10x，OH=DE=8（10x）=x2在RtAOH中，由勾股定理知：x2+（x2）2=102，通过解方程得到AH的长度，结合OHAF，得到AF=2AH=28=16【解答】（1）证明：OB=OD，ABC=ODB，AB=AC，ABC=ACB，ODB=ACB，ODACDE是O的切线
6、，OD是半径，DEOD，DEAC；（2）如图，过点O作OHAF于点H，则ODE=DEH=OHE=90，四边形ODEH是矩形，OD=EH，OH=DE设AH=xDE+AE=8，OD=10，AE=10x，OH=DE=8（10x）=x2在RtAOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x2）2=102，解得x1=8，x2=6（不合题意，舍去）AH=8OHAF，AH=FH=AF，AF=2AH=28=16【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定及性质解题时，利用了方程思想，属于中档题【例题3】（2017新疆）如图，AC为O的直径，B为O上一点，ACB=30，延长CB至点D，使得CB
7、=BD，过点D作DEAC，垂足E在CA的延长线上，连接BE（1）求证：BE是O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积【考点】ME：切线的判定及性质；MO：扇形面积的计算【分析】（1）连接BO，根据OBC和BCE都是等腰三角形，即可得到BEC=OBC=OCB=30，再根据三角形内角和即可得到EBO=90，进而得出BE是O的切线；（2）在RtABC中，根据ACB=30，BC=3，即可得到半圆的面积以及RtABC的面积，进而得到阴影部分的面积【解答】解：（1）如图所示，连接BO，ACB=30，OBC=OCB=30，DEAC，CB=BD，RtDCE中，BE=CD=BC，BEC=BCE=30，
8、BCE中，EBC=180BECBCE=120，EBO=EBCOBC=12030=90，BE是O的切线；（2）当BE=3时，BC=3，AC为O的直径，ABC=90，又ACB=30，AB=tan30BC=，AC=2AB=2，AO=，阴影部分的面积=半圆的面积RtABC的面积=AO2ABBC=33=【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【例题4】（2017山东烟台）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线
9、段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（s）（t0），以点M为圆心，MB长为半径的M及射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；（2）当t为何值时，线段EN及M相切？（3）若M及线段EN只有一个公共点，求t的取值范围【考点】MR：圆的综合题【分析】（1）连接MF只要证明MFAD，可得=，即=，解方程即可；（2）当线段EN及M相切时，易知BENBOA，可得=，即=，解方程即可；（3）由题意可知：当0t时，M及线段EN只有一个公共点当F及N重合时，则有t+2t=16，解得t=，
10、观察图象即可解决问题；【解答】解：（1）连接MF四边形ABCD是菱形，AB=AD，ACBD，OA=OC=6，OB=OD=8，在RtAOB中，AB=10，MB=MF，AB=AD，ABD=ADB=MFB，MFAD，=，=，BF=t（0t8）（2）当线段EN及M相切时，易知BENBOA，=，=，t=t=s时，线段EN及M相切（3）由题意可知：当0t时，M及线段EN只有一个公共点当F及N重合时，则有t+2t=16，解得t=，关系图象可知，t8时，M及线段EN只有一个公共点综上所述，当0t或t8时，M及线段EN只有一个公共点【专项训练】一、选择题：1. （2017毕节）如图，AB是O的直径，CD是O的弦
11、，ACD=30，则BAD为（）A30B50C60D70【考点】M5：圆周角定理【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得ADB=90，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得ABD=ACD，从而可得到BAD的度数【解答】解：连接BD，ACD=30，ABD=30，AB为直径，ADB=90，BAD=90ABD=60故选C2. （2017日照）如图，AB是O的直径，PA切O于点A，连结PO并延长交O于点C，连结AC，AB=10，P=30，则AC的长度是（）ABC5D【考点】MC：切线的性质【分析】过点D作ODAC于点D，由已知条件和圆的性质易求OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，进而可求出AC
12、的长【解答】解：过点D作ODAC于点D，AB是O的直径，PA切O于点A，ABAP，BAP=90，P=30，AOP=60，AOC=120，OA=OC，OAD=30，AB=10，OA=5，OD=AO=2.5，AD=，AC=2AD=5，故选A3. （2017山东泰安）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线及边AD所在直线垂直于点M，若ABC=55，则ACD等于（）A20B35C40D55【考点】MC：切线的性质；M6：圆内接四边形的性质【分析】由圆内接四边形的性质求出ADC=180ABC=125，由圆周角定理求出ACB=90，得出BAC=35，由弦切角定理得出MCA=ABC=55，
13、由三角形的外角性质得出DCM=ADCAMC=35，即可求出ACD的度数【解答】解：圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，ADC+ABC=180，ACB=90，ADC=180ABC=125，BAC=90ABC=35，过点C的切线及边AD所在直线垂直于点M，MCA=ABC=55，AMC=90，ADC=AMC+DCM，DCM=ADCAMC=35，ACD=MCADCM=5535=20；故选：A4. 5. （2017山东临沂）如图，AB是O的直径，BT是O的切线，若ATB=45，AB=2，则阴影部分的面积是（）A2BC1D+【分析】设AC交O于D，连结BD，先根据圆周角定理得到ADB=90，则可判断AD
14、B、BDC都是等腰直角三角形，所以AD=BD=CD=AB=，然后利用弓形AD的面积等于弓形BD的面积得到阴影部分的面积=SBTD【解答】解：BT是O的切线；设AT交O于D，连结BD，AB是O的直径，ADB=90，而ATB=45，ADB、BDT都是等腰直角三角形，AD=BD=TD=AB=，弓形AD的面积等于弓形BD的面积，阴影部分的面积=SBTD=1故选C【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质把阴影部分的面积转化为三角形的面积二、填空题：6. （2017浙江衢州）如图，在直角坐标系中，A的圆心A的坐标为（1，0），半径为1，点P为直线y=x+
15、3上的动点，过点P作A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是2【考点】MC：切线的性质；F5：一次函数的性质【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP直线y=x+3时，PQ最小，根据两点间的距离公式得到AP=3，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP直线y=x+3时，PQ最小，A的坐标为（1，0），y=x+3可化为3x+4y12=0，AP=3，PQ=27. （2017黑龙江佳木斯）如图，BD是O的切线，B为切点，连接DO及O交于点C，AB为O的直径，连接CA，若D=30，O的半径为4，则图中阴影部分的面积为【考点】MC：切线的性质；MO
16、：扇形面积的计算【分析】由条件可求得COA的度数，过O作OECA于点E，则可求得OE的长和CA的长，再利用S阴影=S扇形COASCOA可求得答案【解答】解：如图，过O作OECA于点E，DB为O的切线，DBA=90，D=30，BOC=60，COA=120，OC=OA=4，OAE=30，OE=2，CA=2AE=4S阴影=S扇形COASCOA=24=4，故答案为：48. （2017江苏徐州）如图，AB及O相切于点B，线段OA及弦BC垂直，垂足为D，AB=BC=2，则AOB=60【考点】MC：切线的性质【分析】由垂径定理易得BD=1，通过解直角三角形ABD得到A=30，然后由切线的性质和直角三角形的两
17、个锐角互余的性质可以求得AOB的度数【解答】解：OABC，BC=2，根据垂径定理得：BD=BC=1在RtABD中，sinA=A=30AB及O相切于点B，ABO=90AOB=60故答案是：609. 如图，AB是半圆直径，半径OCAB于点O，D为半圆上一点，ACOD，AD及OC交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：OD平分COB；BD=CD；CD2=CECO，其中正确结论的序号是【分析】由OCAB就可以得出BOC=AOC=90，再由OC=OA就可以得出OCA=OAC=45，由ACOD就可以得出BOD=45，进而得出DOC=45，从而得出结论；由BOD=COD即可得出BD=CD；由AOC=90
18、就可以得出CDA=45，得出DOC=CDA，就可以得出DOCEDC进而得出，得出CD2=CECO【解答】解：OCAB，BOC=AOC=90OC=OA，OCA=OAC=45ACOD，BOD=CAO=45，DOC=45，BOD=DOC，OD平分COB故正确；BOD=DOC，BD=CD故正确；AOC=90，CDA=45，DOC=CDAOCD=OCD，DOCEDC，CD2=CECO故正确故答案为：【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，圆的性质，圆心角及弦的关系定理的运用，相似三角形的判定及性质；熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定及性质是解决问题的关键10. （2017甘肃张掖）如图，在ABC中
19、，ACB=90，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于（结果保留）【考点】MN：弧长的计算；KO：含30度角的直角三角形【分析】先根据ACB=90，AC=1，AB=2，得到ABC=30，进而得出A=60，再根据AC=1，即可得到弧CD的长【解答】解：ACB=90，AC=1，AB=2，ABC=30，A=60，又AC=1，弧CD的长为=，故答案为：三、解答题：1.2.3.4. （2017内蒙古赤峰）如图，点A是直线AM及O的交点，点B在O上，BDAM垂足为D，BD及O交于点C，OC平分AOB，B=60（1）求证：AM是O的切线；（2）若DC=2，求图
20、中阴影部分的面积（结果保留和根号）【考点】ME：切线的判定及性质；MO：扇形面积的计算【分析】（1）由已知条件得到BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到1=2=60，由角平分线的性质得到1=3，根据平行线的性质得到OAM=90，于是得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到OAC=60，根据三角形的内角和得到CAD=30，根据勾股定理得到AD=2，于是得到结论【解答】解：（1）B=60，BOC是等边三角形，1=2=60，OC平分AOB，1=3，2=3，OABD，BDM=90，OAM=90，AM是O的切线；（2）3=60，OA=OC，AOC是等边三角形，OAC=60，OAM=90，CAD=30，CD=2，AC=2CD=4，AD=2，S阴影=S梯形OADCS扇形OAC=（4+2）2=619 / 19