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1、第12讲 与相交有关概念及平行线判定考点方法破译1了解在平面内，两条直线两种位置关系：相交与平行.2掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角定义，并能用图形或几何符号表示它们.3掌握直线平行条件，并能根据直线平行条件说明两条直线位置关系.经典考题赏析【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪几对对顶角？一共ABCDEF构成哪几对邻补角？【解法指导】对顶角和邻补角是两条直线所形成图角.对顶角：有一个公共顶点，并且一个角两边是另一个角两边反向延长线.邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角.ABCDEFPQR【变式题组】01如右图所示
2、，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，那么：ARC对顶角是 . 邻补角是 .中有几对对顶角，几对邻补角？02当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例】如下图，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分BOC、AOCABCEFO 求EOF度数； 写出BOE余角及补角.【解法指导】解这类求角大小问题，要根据所涉及角定义，以及各角数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】OE、OF平分BOC、AOC EOCBOC，FOCAOC EOFEOCFOCBOCAOC 又BOC
3、AOC180 EOF18090 BOE余角是：COF、AOF；BOE补角是：AOE.【变式题组】01如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分EOC，且EOC100，那么BOD度数是 A20 B40 C50 D80EAACDO第1题图1432第2题图02杭州12362，那么4 .ABOl2l1【例】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上点，试用三角尺完成以下作图：经过点A画直线l2垂线.画出表示点B到直线l1垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】01P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA4cm，PB5cm，PC6cm，那么点P到直线l距离
4、为 A4cm B5cm C不大于4cm D不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧村庄； 设汽车行驶到路AB上点P位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中公路上分别画出点P、Q位置. 当汽车从A出发向B行驶过程中，在 路上距离M村越来越近.在 路上距离村庄N越来越近，而距离村庄越来越远.FBAOCDE【例】如图，直线AB、CD相交于点O，OECD，OFAB，DOF65，求BOE和AOC度数.【解法指导】图形定义现可以作为判定图形依据，也可以作为该图形具备性质，由图可得：AOF90，OFAB 【变式题组】CDBAEO01如
5、图，假设EOAB于O，直线CD过点O，EODEOB13，求AOC、AOE度数.02如图，O为直线AB上一点，BOC3AOC，OC平分AODBACDO求AOC度数；试说明OD与AB位置关系.ABAED03如图，ABBC于B，DBEB于B，并且CBEABD12，请作出CBE对顶角，并求其度数.CFEBAD142365【例】如图，指出以下各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到，并说出它们名称：1和2：1和3：1和6：2和6：2和4：3和5：3和4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角思路是：首先弄清所判断是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在直线即截线，其余两条边所在直线就是被截两条直线
6、，最后确定它们名称.ABDCHEF【变式题组】01如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中同旁内角共有 A4对 B8对 C12对 D16对71568412乙丙3234561234甲02如图，找出图中标出各角同位角、内错角和同旁内角.1ABC23456703如图，按各组角位置判断错误是 A1和2是同旁内角 B3和4是内错角C5和6是同旁内角D5和7是同旁内角【例】如图，根据以下条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由ABCDOCBDADB；BCDADC180ACDBAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ 即有内错角.【解法指导】由CBDADB，可推得ADBC；根据内错角相等，两直
7、线平行.由BCDADC180，可推得ADBC；根据同旁内角互补，两直线平行.由ACDBAC可推得ABDC；根据内错角相等，两直线平行.ABDEF【变式题组】01如图，推理填空. A ACED C ACED C A ABDF 02如图，AD平分BAC，EF平分DEC，且12，试说明DE与AB位置关系. 解：AD是BAC平分线ABCDEF12 BAC21角平分线定义 又EF平分DEC 又12 ABDE ABCDE03如图，AE平分CAB，CE平分ACDCAEACE90，求证：ABCD04如图，ABCACB，BE平分ABC，CD平分ACB，EBFEFB，求证：CDEF.ABCDEFl1l2l3l4l
8、5l6图l1l2l3l4l5l6图【例】如图，平面内有六条两两不平行直线，试证：在所有交角中，至少有一个角小于31.【解法指导】如图，我们可以将所有直线移动后，使它们相交于同一点，此时图形为图.证明：假设图中12个角中每一个角都不小于31那么1231372360这与一周角等于360矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31【变式题组】01平面内有18条两两不平行直线，试证：在所有交角中至少有一个角小于11.02在同一平面内有2021条直线a1,a2,，a2021,如果a1a2,a2a3，a3a4，a4a5那么a1与a2021位置关系是 .03nn2个点P1，P2，P3Pn.在同一平面内没有任何三
9、点在同一直线上，设Sn表示过这几个点中任意两个点所作所有直线条数，显然：S21，S33，S46，S510那么Sn .演练稳固反应提高01如图，EACADB90.以下说法正确是 A余角只有B B邻补角是DAC CACF是余角 D与ACF互补AEBCFDABCDFEMN第1题图第2题图ABDC第4题图02如图，直线AB、CD被直线EF所截，那么EMB同位角为 AAMF BBMF CENC DEND03以下语句中正确是 A在同一平面内，一条直线只有一条垂线B过直线上一点直线只有一条C过直线上一点且垂直于这条直线直线有且只有一条D垂线段就是点到直线距离04如图，BAC90，ADBC于D，那么以下结论中
10、，正确个数有 ABAC AD与AC互相垂直 点C到AB垂线段是线段AB 线段AB长度是点B到AC距离 垂线段BA是点B到AC距离 ADBDA0 B2 C4 D605点A、B、C是直线l上三点，点P是直线l外一点，且PA4cm，PB5cm，PC6cm，那么点P到直线l距离是 A4cm B5cm C小于4cm D不大于4cm06将一副直角三角板按图所示方法旋转直角顶点重合，那么AOBDOC .ABCDOABCDEFGHabc第6题图第7题图第9题图12345678107如图，矩形ABCD沿EF对折，且DEF72，那么AEG .08在同一平面内，假设直线a1a2,a2a3,a3a4,那么a1 a10
11、.a1与a10不重合09如下图，直线a、b被直线c所截，现给出以下四个条件：15，17，23180，47，其中能判断ab条件序号是 .10在同一平面内两条直线位置关系有 .ACDEB11如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且EABEEDC试说明ABCD？12如图，BE平分ABC，CF平分BCD，12，那么直线AB与CD位置关系如何？ABCDEF1213如图，推理填空： A ACED 2 ACED A 180ABFD14如图，请你填上一个适当条件 使ADBCABCDEF第14题图培优升级奥赛检测01平面图上互不重合三条直线交点个数是 A1，3 B0，1，3 C0，2，3 D0，1，2，3ABC
12、DEF02平面上有10条直线，其中4条是互相平行，那么这10条直线最多能把平面分成 局部.A60 B55 C50 D4503平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来6个点之外，这些直线最多还有 个交点.A35 B40 C45 D5504如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有 _交点.05如图是某施工队一张破损图纸，a、b是一个角两边，现在要在图纸上画一条与这个角平分线平行直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你正确性.ab 06平面上三条直线相互间交点个数是 A3 B1或3 C1或2或3 D不一定是1，2，307请你在平面上画出6条直线没有三条共点使得它们中每条直线都恰好
13、与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？ ABC09如图，在一个正方体2个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线夹角等于 A60 B75 C90 D13510在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面两个条件？ 任意两条直线都有交点； 总共有29个交点.第13讲 平行线性质及其应用考点方法破译1掌握平行线性质，正确理解平行线判定与性质定理之间区别和联系；2初步了解命题，命题构成，真假命题、定理；3灵活运用平行线判定和性质解决角计算与证明，确定两直线位置关系，感受转化思想在解决数学问题中灵活应用.经典考题赏析
14、【例】如图，四边形ABCD中，ABCD， BCAD，A38，求CCBAD度数. 【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.平行线性质是推导角关系重要依据之一，必须正确识别图形特征，看清截线，识别角关系式关键.【解】：ABCD BCADAB180 BC180(两条直线平行，同旁内角互补)AC A38 C38【变式题组】01如图，ADBC，点E在BD延长线上，假设ADE155，那么DBC度数为 A155B50C45D25第1题图EDCBA321l1l2第2题图EABD12CF第3题图02安徽如图，直线l1 l2,155，265，那么3为 A 50
15、B 55 C 60 D6503如图，FCABDE，：D：B2: 3: 4, 试求、D、B度数.EAFGDCB【例】如图，ABCDEF，GCCF，B60，EFC45，求BCG度数.【解法指导】平行线性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置角度数，但注意看清角位置.【解】ABCDEF BBCD FFCD(两条直线平行，内错角相等)又B60 EFC45 BCD60 FCD45 又GCCF GCF90垂直定理 GCD904545 BCG604515【变式题组】01如图，AFBC, 且AF平分EAB，B48，那么C度数_BAMCDNP第3题图ABCDOEFAEBC第1题图第2题图02.如
16、图,ABCACB120，BO、CO分别ABC、ACB，DE过点O与BC平行，那么BOC_03如图，AB MPCD, MN平分AMD，A40，D50，求NMP度数.【例】如图，12，CD 求证：AF. 【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明AF，即要证明DFAC 要证明DFAC, 即要证明DDBC180，即：CDBC180；要证明CDBC180即要证明DBEC 要证明DBEC即要证明13.CDABEF132证明：12，23对顶角相等所以13 DBEC同位角相等两直线平行DBCC180两直线平行，同旁内角互补CD DBCD180 DFAC同旁内角，互补两直线平行AF两直线平行，内错角相等
17、GB3CA1D2EF第1题图【变式题组】01如图，ACFG，12，求证：DEFGA2CF3ED1B第2题图02如图，12180，3B 求证：AEDACB03如图，两平面镜、夹角，入射光线AO平行O/OB于入射到上，经两次反射后出射光线OB平行于，那么角等于_.【例】如图，EGBC，ADBC，13. 31ABGDCE求证：AD平分BAC【解法指导】抓住题中给出条件目，仔细分析条件给我们带来结论，对于不能直接直接得出结论条件，要准确把握住这些条件意图.题目中：13证明：EGBC，ADBC EGCADC90垂直定义EGAD同位角相等，两条直线平行 13 3BAD两条直线平行，内错角相等 AD平分BA
18、C角平分线定义【变式题组】DA2E1BC01如图，假设AEBC于E，12，求证：DCBCBFEACD02如图，在ABC中，CEAB于E,DFAB于F, ACED，CE平分ACB 求证：EDFBDF. 3如图，ABCD，B40，CN是BCE平分线. CMCN，求：BCM度数.ADMCNEB【例】，如图，ABEF，求证：ABCBCFCFE360FED21ABC【解法指导】从考虑360这个特殊角入手展开联想，分析类比，联想周角.构造两个“平角或构造两组“互补角.过点C作CDAB即把条件ABEF联系起来，这是关键.【证明】：过点C作CDAB CDAB 1ABC180(两直线平行，同旁内角互补) 又AB
19、EF，CDEF平行于同一条直线两直线平行 2CFE180(两直线平行，同旁内角互补) ABC12CFE180180360 即ABCBCFCFE360【变式题组】01如图，ABCD，分别探究下面四个图形中APC和PAB、PCD关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究结论正确性.结论：_ _ _BAPCACCDAAPCBDPBPDBD【例】如图，ABCD，那么、之间关系是3214DEBCAFH180PBCDAP【解法指导】根本图形善于从复杂图形中找到根本图形，运用根本图形规律翻开思路.【解】过点E作EHAB 过点F作FGAB ABEH 1两直线平行，内错角相等又FGAB EHFG平行于同
20、一条直线两直线平行23 又ABCD FGCD平行于同一条直线两直线平行4180两直线平行，同旁内角互补134124180【变式题组】01如图， ABEF，C90，那么、关系是 A B180C90 D90FDEBCAFDEBCA02如图，ABCD，ABE和CDE平分线相交于点F，E140，求BFD度数.【例】如图，平移三角形ABC，设点A移动到点A/，画出平移后三角形A/B/C/.BCAAlBC【解法指导】抓住平移作图“四部曲定，找，移，连.定：确定平移方向和距离.找：找出图形关键点.移：过关键点作平行且相等线段，得到关键点对应点. 连: 按原图形顺次连接对应点.【解】连接AA/ 过点B作AA/
21、平行线l 在l截取BB/AA/,那么点B/就是B对应点，用同样方法作出点C对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后三角形A/B/C/.【变式题组】01如图，把四边形ABCD按箭头所指方向平移21cm，作出平移后图形.DBCA02如图,三角形ABC中，C90, BC4，AC4，现将ABC沿CB方向平移到A/B/C/位置，假设平移距离为3, 求ABC与A/B/C/重叠局部面积. BB/AA/CC/03原来是重叠两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移BE距离，就得到此图形，求阴影局部面积.单位：厘米D538AFCBE西B30A北东南演练稳固 反应提高01如图，由A测B得方向
22、是 A南偏东30B南偏东60C北偏西30 D北偏西6002命题：对顶角相等；相等角是对顶角；垂直于同一条直线两直线平行；平行于同一条直线两直线垂直.其中真命题有 A1个B2个C3个D4个03一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来方向一样，两次拐弯角度可能是 A第一次向左拐30，第二次向右拐30B第一次向右拐50，第二次向左拐130C第一次向左拐50，第二次向右拐130D第一次向左拐60，第二次向左拐12004以下命题中，正确是 A对顶角相等B同位角相等 C内错角相等D同旁内角互补05学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线平行线新方法，是通过折一张半透明纸得到如图P .
23、P .P .P .从图中可知，小敏画平行线依据有 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行.ABCD06在A、B两座工厂之间要修建一条笔直公路，从A地测得B地走向是南偏东52.现A、B两地要同时开工，假设干天后，公路准确对接，那么B地所修公路走向应该是 A北偏东52 B南偏东52 C西偏北52 D北偏西3807以下几种运动中属于平移有 水平运输带上砖运动；笔直高诉公路上行驶汽车运动忽略车轮转动；升降机上下做机械运动；足球场上足球运动.A1种B2种C3种D4种08如图，网格中房子图案正好处于网格右下角位置.平移这个图案，使它正好位于左上角位置
24、不能出格09观察图，哪个图是由图平移而得到 10如图，ADBC，ABCD，AEBC，现将ABE进展平移. 平移方向为射线AD方向. 平移距离为线段BC长，那么平移得到三角形是图中 图阴影局部. DEABCEDBCEDABCEDABCEDABC11判断以下命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.对顶角是相等角；相等角是对顶角；两个锐角和是钝角；同旁内角互补，两直线平行.12把以下命题改写成“如果那么形式，并指出命题真假.互补角是邻补角；两个锐角和是锐角；直角都相等.13如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处A120，第二个拐弯处B150，第三个拐弯处C，这时道路CE恰好和道路AD平
25、行，问C是多少度？并说明理由. 150120DBCE湖14如图，一条河流两岸是平行，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点视线FB、FD恰好有12，34关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成角BFD度数吗？4321ABEFCD15如图，ABCD，12，试说明E和F关系.4P231ABEFCD培优升级奥赛检测FADECB01如图，等边ABC各边都被分成五等分，这样在ABC内能与DEF完成重合小三角形共有25个，那么在ABC内由DEF平移得到三角形共有 个.B.O. A02如图，一足球运发动在球场上点A处看到足球从B点沿着BO方向匀速滚来，运发
26、动立即从A处以匀速直线奔跑前去拦截足球.假设足球滚动速度与该运发动奔跑速度一样，请标出运发动平移方向及最快能截住足球位置.运发动奔跑于足球滚动视为点平移CB1AA1C1D1BD03如图，长方体长AB4cm，宽BC3cm，高AA12cm. 将AC平移到A1C1位置上时，平移距离是_,平移方向是_.04如图是图形操作过程五个矩形水平方向边长均为a，竖直方向边长为b；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1 即阴影局部如图;将折现A1A2 A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 即阴影局部如图; 在图中，请你类似地画出一条有两个折
27、点直线，同样向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.请你分别写出上述三个阴影局部面积S1_, S2_, S3_.联想与探究：如图，在一矩形草地上，有一条弯曲柏油小路小路在任何地方水平宽度都是1个单位，请你猜测空白局部草地面积是A2B2A3B3B4A4A1B1草地 草地 A1B2B1A2B2A1B1A3B3A2多少？05一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转0180，被称为一次操作，假设5次后发现赛车回到出发点，那么角为 A720B108或144C144D720或14406两条直线a、b互相平行，直线a上顺次有10个点A1、A2、A10，直线b上顺次有10个点B1
28、、B2、B9，将a上每一点与b上每一点相连可得线段.假设没有三条线段相交于同一点，那么这些选段交点个数是 A90 B1620 C6480 D200607如图，ABCD，B100，EF平分BEC，EGEF. 求BEG和DEG.FEBACGD100FEBACGD08如图，ABCD，BAE30，DCE60，EF、EG三等分AEC 问：EF与EG中有没有与AB平行直线？为什么？09如图，直线CBOA，COAB100，E、F在CB上，且满足FOBAOB，OE平分COF.求EOB度数；假设平行移动AB，那么OBC：OFC值是否随之发生变化？假设变化，找出变化规律；假设不变，求出这个比值.FEBACO在平行
29、移动AB过程中，是否存在某种情况，使OECOBA？假设存在，求出其度数；假设不存在，说明理由. 10平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成角中，至少有一个角不超过36,请说明理由.ABCD11如图，正方形ABCD边长为5,把它对角线AC分成n段，以每一小段为对角线作小正方形，这n个小正方形周长之和为多少？12如图将面积为a2小正方形和面积为b2大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影局部面积？BDCFAE第06讲 实 数考点方法破译1平方根与立方根：假设a(a0)那么x叫做a平方根，记为：a平方根为x，其中a平方根为x叫做a算术平方根假设x3a，那么x叫做a立方根记
30、为：a立方根为x 2无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数实数与数轴上点一一对应任何有理数都可以表示为分数p、q是两个互质整数，且q0形式3非负数：实数绝对值，实数偶次幂，非负数算术平方根或偶次方根都是非负数即0，0n为正整数，0(a0) 经典考题赏析【例1】假设2m4与3m1是同一个数平方根，求m值【解法指导】一个正数平方根有两个，并且这两个数互为相反数2m 4与3ml是同一个数平方根，2m4 3ml0，5m5，ml【变式题组】01一个数立方根与它算术平方根相等，那么这个数是_02m是小于最大整数，那么m平方根是_03立方根是_04如图，有一个数值转化器，当输入x为64时，输出y是
31、_输入x取算术平方根输出y是无理数是有理数【例2】全国竞赛非零实数a、b满足，那么ab等于( )A1 B 0 C1 D2【解法指导】假设有意义，a、b为非零实数，b20a30 a3，应选C【变式题组】0l在实数范围内，等式0成立，那么ab_02假设，那么平方根是_03天津假设x、y为实数，且，那么值为 A1 B1 C2 D204x是实数，那么值是( )A B C D无法确定【例3】假设a、b都为有理效，且满足求ab平方根【解法指导】任何两个有理数和、差、积、商除数不为0还是有理数，但两个无理数和、差、积、商除数不为0不一定是无理数， 即，a b12 1325ab平方根为：【变式题组】01西安市
32、竞赛题m、n是有理数，且2m(32)n70求m、n02希望杯试题设x、y都是有理数，且满足方程xy40，那么xy_ 【例4】假设a为2整数局部，b1是9平方根，且，求ab值 【解法指导】一个实数由小数局部与整数局部组成，2整数局部小数局部整数局部估算可得2，那么小数局部2 24a2，b13 ，b2或4 ab ，a2， b4，即ab6【变式题组】01假设3小数局部是a，3小数局部是b，那么ab值为_02整数局部为a，小数局部为b，那么ab_演练稳固 反应提高0l以下说法正确是( )A2是(2)2算术平方根 B3是9算术平方根C 16平方根是4 D27立方根是302设，b 2，那么a、b、c大小关系是( )Aabc Bacb C bac Dcab03以下各组数中，互为相反数是( )A9与81平方根 B4与 C4与 D3与04在实数，0.1()5()，5，3.1()4()，中无理数有( )A2个