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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 授课章节第四章不定积分学习必备欢迎下载第一节不定积分的概念与性质目的要求 原函数与不定积分概念重点难点 原函数与不定积分的关系及不定积分的性质；复习 3 分钟第一节 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念原函数定义定义（原函数定义） ：如在区间I 上存在Fxfx,就称Fx 为fx在区间 I上的原函数；如：原函数存在条件Fx原函数存在定理：假如函数xfx在区间I 上连续,就在区间I 上存在可导函数,使对任意xI都有Fx成立,即连续函数肯定有原函数；f不定积分分析：（同一函数的原函数之间的关系）定义（不定积分） ：函数 f x 的全部原函数
2、所构成的集合称为不定积分,记f x dx（积分号；积分变量 x；被积表达式 f x dx；被积函数 f x ）注： f x dx 只是一个符号,不是乘积关系；如设 F x 是 f x 的任意一个原函数, 就 f x dx F x C（C 为任意常数） ； f x dx F x dx dF x 分析：举例例 1例 2例 3例 4求dx求x2dx求1dx（分别争论x0 x0时的情形；）x设曲线通过点（,） ,且曲线上任意一点处的切线斜率等于这点横轴坐标的两倍,求该曲线方程； 分钟二、基本公式表名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - -
3、- - 学习必备 欢迎下载p186例 5求1dxx3例 6求1xdxx 3三、不定积分的性质设fx,gx原函数存在,就42 分钟性质fx gx dxfx dxgx dx性质kfx dxkfxdxk0 例 7求xx25 dx例 8求xx1 3dx2例 9求ex3cosx dx例 10 求2xexdx例 111xx2dxx 1x2例 12tan2x dx例 13sin2xdx2 内容小结：原函数与不定积分的关系及不定积分的性质摸索题：偶函数的原函数肯定是奇函数对吗？. 作业：要求同学回家背三角的和差化积与积化和差公式,下次课用；P190 1357911131517,2备注： 分钟授课章节第四章不定
4、积分其次节换元法（第一讲）名师归纳总结 目的要求用换元法运算不定积分第 2 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 重点难点学习必备欢迎下载用两类换元法被积函数的特点；复习 x3 分钟其次节换元法（第一讲）一、第一类换元法分析：设Fx 是fx的原函数,就FxuxFuxfuxfxfx x dxFx dxF fx Cfu du ux注：说明何时加C；定理：设fu具有原函数,ux可导,就由换元公式fx x dxf udu ux称为第一类换元法；注：所谓换元, 即设xdxdxdu；这里fx x dx是一个整体符号,由于第一类换元法,用“ 换元” 方法
5、懂得并运算其结果是对的；所以第一类换元法 也称为“ 凑微分法”；利用第一类换元法时,关键是“ 凑微分；积分结果不是唯独的,这是由于Fx的选取不一样而导致的,结果的正确与否可对结果进行求导来验算；名师归纳总结 例1 求2cos2xdx42 分钟第 3 页,共 11 页例2 求31xdx2例3 求2xe x2dx例4 求tanx dx例5 求a21x2dx 例6 求x21xdx 3a02例7 求x21a2dx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例8 求a21x2dx学习必备欢迎下载例9 求x 11lnxdx42 分钟2例10 求sin3x dx例11 求si
6、n2x5 cosx dx例12 求2 cosx dx例13 求4 cosx dx例14 求cscx dx例15 求cos 3xcos2 x dx提示：cosAcosB1cosAcosB2 内容小结：用换元法运算不定积分摸索题：换元法在引入积分变量时应留意什么作业： P205 21 28 单数备注： 分钟授课章节第四章不定积分其次节换元法（其次讲）名师归纳总结 目的要求用换元法运算不定积分第 4 页,共 11 页重点难点用两类换元法被积函数的特点；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载复习 3 分钟二、其次类换元法其次节换元法（其次讲）回忆
7、第一类换元法,fx x dxf udu ux反过来,即f u dufx x dx x1 u称为其次类换元法；定理：设ftt具有原函数,且xt是单调可导的,t0（以保证反函数的存在） ,就fx dxf t tdtt1 x 注：无论是第几类换元,最终都要把结果换成积分变量所表示；利用其次类换元时,一般被积函数是无理函数；例 16 求a2x2dxa0 42 分钟例 17 求x21a2dxa0 例 18 求x21a2dxa0 提示：争论当xa和xa时两种情形；例 19 求a24x2dxa0 x例 20 求419dxx2例 21 求11x2dxx做几道作业题； 42 分钟内容小结：用换元法运算不定积分摸
8、索题：换元法在引入积分变量时应留意什么作业： P205 229 40名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载备注： 分钟授课章节第四章不定积分第三节分部积分法第四节有理函数积分法目的要求利用分部积分法求积分u,v得设法；重点难点利用分部积分法时被积函数的特点及把握待定系数法分解有理函数为最简真分式的和名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载复习 3 分钟第三节分部积分法uvv du）回忆：uvuvuvuvuvuv
9、得：u vdxuvuv dx,称为分部积分法； （也可写成u dv例1 求x cosx dx例2 求xexdx例3 求xlnx dx例4 求arccos x dx例5 求ex sinx dx整理利用分部积分法被积函数的特点及u,v得设法（共五种） ；pnx exdxvexpnxcosxdxvcosxpnxlnx dxvpnxpnx arccos xdxvpnxx e sinx dxvex（利用两次分部积分法）“v ” 的规律：x esinxpnxlnxarccos x例6 求lnx dx例7 求arctanx dx例8 求x2exdx例9 求exdx提示：exdxxtt tedt另：做几道作业
10、题；名师归纳总结 42 分钟第 7 页,共 11 页第四节有理函数积分法一、有理函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 有理函数形式p nx nm假分式化成真分式加上多项式形式mx nm真分式2 假分式化成真分式如x3x22x1x213 把真分式化成最简真分式的和由于任意一个多项式都可因时分解成如干个一次和二次多项式的乘积,即m x c x a x b x 2 px q x 2 rx s 其中二次多项式是不在可再因式分解的, , , 都是正整数； 用待定系数法把有理函数 p n x 分解成如干最简真分式的和；m x p n x A
11、1 A 2 A M 1 x N 1 M 2 N 2 M x N2 2 2 2 2m x x a x a x a x px q x px q x px q 如 2 x 3 5 6x 5 x 6 x 2 x 31 1 1 12 2x x 1 x x 1 x 14 2 11 5 5 52 21 2 x 1 x 1 2 x 1 x 42 分钟内容小结：利用分部积分法时被积函数的特点及 u, v 得设法；把握待定系数法分解有理函数为最简真分式的和摸索题：使用分部积分所要留意那些问题作业： P210 单数备注： 分钟名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - -
12、- - - - - - 授课章节第四章不定积分学习必备欢迎下载第五节积分表的使用第四节有理函数积分法（续）名师归纳总结 目的要求把握简洁的几种有理函数类型的积分方法3 分钟第 9 页,共 11 页重点难点有理函数假分式化成真分式及简洁的几种有理函数类型的积分方法复习 二、有理函数的不定积分（共三种类型,举例说明）1x112dx2x21xdx 31arctanx1c222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3x2x22dx 31lnx22x学习必备欢迎下载1c3 3 2arctanxx22举例例 1求x2x536dx,就u2；dx2dux例 2求xx11
13、2dx例 3求 12x11x2dx三、可化为有理函数的积分举例1.三角函数的有理化万能公式：设utanxx2sinx12u2；cosx1u1u2u2例求sin1sinxxdxx 1cos提示：名师归纳总结 sin1sinxx dx1u21du1tan2xtanx1lntanxc42 分钟第 10 页,共 11 页x 1cos2u42222 2.无理函数的有理化（举例说明）例 5求x1dxx提示：x1dx2 x1arctanx1x例 6求1312dxx提示：1312dx33x223 3x23ln13x2cx2例 7求131xdxx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 提示： 131xdx66xarctan6学习必备欢迎下载xcx例 8求x11xxdxxx2ln1xx1 lnxcx提示：1 x1xdx21第五节积分表的使用看书讲 42 分钟 内容小结：把握简洁的几种有理函数类型的积分方法 摸索题：什么叫假分式 作业： P221 单数 备注： 分钟名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页