多边形及其内角和讲义老师用.pdf

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1、-1-/5 多边形内角和第一部分知识点回顾定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。凸多边形分类 1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。分类 2：多边形非正多边形：1、n 边形的内角和等于180（n-2）。多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360。3、n 边形的对角线条数等于1/2 n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6/。镶嵌拼成 360 度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在同一平面内。多边形的分类：不叫三边形2、镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类

2、问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。实 现 镶 嵌 的 条 件：拼 接 在 同 一 点 的 各 个 角 的 和 恰 好 等 于360 ；相 邻 的 多 边 形 有 公 共 边。3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360。(2)只 用 一 种 正 多 边 形 镶 嵌 地 面：只 有 正 三 角 形、正 方 形、正 六 边 形 的 地 砖 可 以 用。注意：任意四边形的内角和都等于360。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相

3、同的三角形也可以铺满地面。(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360。规律方法指导1内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少.每增加一条边，内角的和就增加180（反过来也成立），且多边形的内角和必须是180的整数倍.2多边形外角和恒等于36

4、0，与边数的多少无关.3多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角.4在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法.5在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用.第二部分 经典习题类型一：多边形内角和及外角和定理应用1一个多边形的内角和等于它的外角和的5 倍，它是几边形？总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用.只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解

5、题思路.第 1 页，共 5 页-2-/5 举一反三：【变 式1】若 一 个 多 边 形 的 内 角 和 与 外 角 和 的 总 度 数 为1800 ，求 这 个 多 边 形 的 边 数.【变 式2】一 个 多 边 形 除 了 一 个 内 角 外，其 余 各 内 角 和 为2750，求 这 个 多 边 形 的 内 角 和 是 多 少？【答 案】设 这 个 多 边 形 的 边 数 为，这 个 内 角 为，.【变式 3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350，求这个多边形的边数。类型二：多边形对角线公式的运用2某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.你

6、能算出一共需要进行多少场比赛吗？思路点拨：本题体现与体育学科的综合，解题方法参照多边形对角线条数的求法，即多边形的对角线条数加上边数.如图：总 结 升 华：对 于 其 他 学 科 问 题 要 善 于 把 它 与 数 学 知 识 联 系 在 一 起，便 于 解 决.举一反三：【变式1】一个多边形共有20条对角 线，则多边形的边 数是（）.A6 B7C8 D9【变式2】一个十二边形有几条对角线。总结升华：对于一个n 边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的 n 的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。类型三：可转化为多边形内角和问

7、题3如图，求ABCDEF的度数.思 路 点 拨:设 法 将 这 几 个 角 转 移 到 一 个 多 边 形 中，然 后 利 用 多 边 形 内 角 和 公 式 求 解.总结升华：本题通过作辅助线，把A 与 G 的和转化为1 与 2 的和，从而把问题变为求五边形的内角和运算，“转化思想”是解决本题的关键.举一反三：【变 式1】如 图 所 示，1+2+3+4+5+6=_.第 2 页，共 5 页文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF

8、4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M

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11、Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档

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14、0Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1-3-/5 类型四：实际应用题4如图，一辆小汽车从P市出发，先到B 市，再到C 市，再到A 市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？思 路 点 拨：根 据 多 边 形 的 外 角 和 定 理 解 决.解读：如图，总结升华：旋转的角度是指原来前进的方向与转弯后的方向的夹角.小汽车沿任意多边形行驶一周回到原处，转过的角度都是360 举一反三：【变式1】如图所示，小亮从A 点

15、出发前进10m，向右转15，再前进10m，又向右转15，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了_m.【变式 2】小华从点A 出发向前走10M，向右转36，然后继续向前走10M，再向右转36，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A 吗？若能，当他走回点A时共走了多少M？若不能，写出理由。【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边ABCF，CDAE.按规定 AB、CD 的延长线相交成80角，因交点不在模板上，不便测量.这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD 的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由.思路点拨：本题中将AB、CD 延长后会得到一个五边形

16、，根据五边形内角和为540，又由AB CF，CDAE，可知 BAE+AEF+EFC=360，从540中减去80再减去360，剩下 C 的度数为100，所以只需测C的度数即可，同理还可直接测A的度数.总 结升 华：本题 实 际上 是 多边 形 内角 和 的逆 运 算，关 键 在于 正 确添 加辅 助 线.类型五：镶嵌问题5分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。(1)正方形和正八边形；(2)正三角形和正十二边形；(3)正三角形、正方形和正六边形。思 路 点 拨：只 要 在 拼 接 处 各 多 边 形 的 内 角 的 和 能 构 成 一 个 周 角，那 么 这 些 多 边 形 就 能

17、 作 平 面 镶 嵌。解读：正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是60、90、120、135、150。(1)因 为90 2 135 360，所 以 一 个 顶 点 处 有1 个 正 方 形、2 个 正 八 边 形，如 图(1)所 示。(2)因 为60 2 150 360，所 以 一 个 顶 点 处 有1 个 正 三 角 形、2 个 正 十 二 边 形，如 图(2)所 示。(3)因为60 2 90120 360，所以一个顶点处有1 个正三角形、1 个正六边形和2 个正方形，如图(3)所示。总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交接

18、处各角之和能否拼成一 个 周 角”的 问 题。举 一 反 三：【变式1】分别用形状、大小完全相同的三角形木板；四边形木板；正五边形木板；正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是()A、B、C、D、解读：用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用，不能用正五边形木板，故【变式2】用三块正多边形的木板铺地，拼 在 一 起 并 相 交 于 一 点 的 各 边 完 全 吻 合，其 中 两 块 木 板 的 边 数 都 是8，则 第 三 块 木 板 的 边 数 应 是()A、4B、5C、6D、8【答案】A（提示：先算出正八边形一个内角的度数，再乘以2，然后用 360减去刚才

19、得到的积，便得到第三块木板一个内角的度数，进而得到第三块木板的边数）第 3 页，共 5 页文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编

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23、U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3

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25、0J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1-4-/5 7.3 多边形及其内角和(请在 50 分钟内完成，按考试要求自己)

26、一、选择题:(每小题 3 分,共 24 分)1.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.不能作为正多边形的内角的度数的是()A.120 B.(108)C.144 D.1453.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是()A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:4 4.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有()A.3个 B.4 个 C.5个 D.6个5.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能()A.都是钝角。B.都是锐角 C.是一个锐角、一个钝角 D.是一个锐角、一个直角6.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可

27、以引10 条对角线,则它是()A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形7.若一个多边形共有十四条对角线,则它是()A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形8.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570,则这个内角的度数为()A.90 B.105C.130 D.120二、填空题:(每小题 3 分,共 15 分)1.多边形的内角中,最多有 _个直角.2.从 n 边形的一个顶点出发,最多可以引 _条对角线,这些对角线可以将这个多边形分成_个三角形.3.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135,那么这个多边形的边数最少为_.4.已知一个多边形的每一个外角都

28、相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为_.5.每个内角都为144的多边形为_边形.三、基础训练:(每小题 12 分,共 24 分)1.如图所示,用火柴杆摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当摆到 20 层(n=20)时,需要多少根火柴?2.一个多边形的每一个外角都等于24,求这个多边形的边数.四、提高训练:(共 15 分)一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中 m,n 是互质的正整数,求这个多边形的边数(用 m,n 表示)及 n 的值.五、探索发现:(共 18 分)从 n 边形的一个顶点出发,最多可以引多少条条对角线?请你总结一下

29、n 边形共有多少条对角线.六、中考题与竞赛题:(共 4 分)(2002湖南)若一个多边形的内角和等于1080,则这个多边形的边数是()A.9 B.8 C.7 D.6 答案:一、1.D 2.D 3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.C 二、1.4 2.(n-3)(n-2)3.9 4.11 5.十三、1.630 根 2.15 n=3n=2n=1第 4 页，共 5 页文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 ZO10J1L7Q4J1文档编码:CE4J7X1P10Q1 HF4U2I3M3W3 Z

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