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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点解三角形学问点总结及典型例题一、学问点复习 1、正弦定理及其变形aAbBcC2RR 为三角形外接圆半径）sinBsinsinsin（）a2RsinA b2RsinB c2RsinC边化角公式）（ ）2 sinAa,sinBb,sinCc角化边公式）2R2R2R（ ）a b csinA:sinB:sinC4asinA a ,B csinA b ,C cbsinsinsinC2、正弦定理适用情形：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判定三角形解的情形）已知 a,b 和 A,求 B 时的解的情形 : 假如sinA
2、sinB,就 B 有唯独解；假如sinAsinB1,就 B有两解；假如sin B1,就 B 有唯独解；假如sin B1,就 B 无解 . 3、余弦定理及其推论a2b22 c2bccosAcosA2 bc2a22 bccos B2 ac2b2b2a22 c2accosB2 acc2a22 b2abcosCcos Ca22 cb24、余弦定理适用情形：2 ab（1）已知两边及夹角； （2）已知三边 . 5、常用的三角形面积公式（1）SABC1底高；ABtanC. 第 1 页,共 5 页2（2）S ABC1absinC1bcsinA1casinB（两边夹一角）. 2226、三角形中常用结论（1）ab
3、c bca acb 即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边）（2）在ABC 中,ABabsinAsinB 即大边对大角,大角对大边）. （3）在ABC中,ABC,所以sinABsinC；cosABcosC；tansinA2BcosC,cosA2BsinC. 22名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点二、典型例题 题型 1 边角互化 例 1 在ABC中,如sinA:sinB:sinC3:5:7,就角 C 的度数为f x的图象与x轴 【解析】由正弦定理可得a:b:c3:5:7, 令a、b、c依次为3 、,就cos C=a2b
4、22 c=325272=12ab23 52由于0C,所以 C23 例 2 如 a 、 b 、 c 是ABC 的三边,fxb2x2b2c2a2xc2,就函数A、有两个交点 B 、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点c2c22 cosA0,因此【解析】由余弦定理得b2c2a22 bccosA ,所以f x 2 b x22bccosA x2 c =bxccosA2c2c22 cosA ,由于2 cos A1, 所以f x 0 恒成立,所以其图像与x 轴没有交点；题型 2 三角形解的个数 例 3 在ABC 中,分别依据以下条件解三角形,其中有两解的是 A、a7,b14,A30；B、b25,c3
5、0,C150；C、b4,c5,B30；D、a6,b3,B60；题型 3 面积问题 例 4 ABC 的一个内角为1200,并且三边构成公差为4 的等差数列,就0ABC 的面积为,【解析】设ABC的三边分别：x4 ,x ,x4,2xx4cos 120,解得：x10C=120 ,由余弦定理得：x4 2x42x2ABC三边分别为6、10、14,SABC1absinC16 10315 3. 222题型 4 判定三角形外形 例 5 在ABC 中,已知a2b2 sinABa2b2 sinAB , 判定该三角形的外形；【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式；方法一：a2sinABsinABb2sin
6、ABsinAB 第 2 页,共 5 页2a2cosAsinB2b2cosBsinA2BcosBsinA由正弦定理,即知sin2AcosAsinBsinsinAsinB sinAcosAsinBcosB02 B , sin 2Asin2B由02A2,B2,得 2A2B或 2A即ABC 为等腰三角形或直角三角形. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方法二： 同上可得2a2cosAsinB2b2cosBsin名师总结优秀学问点A由正、余弦定理,即得：2 a bb2c2a22 b aa2c2b22 bc2aca22 bc2a2b2a2c2b2即a
7、2b2c2a22 b0ab或c2a22 b , 即ABC 为等腰三角形或直角三角形. 【点拨】 判定三角形外形问题,一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系,通过因式分解等 方法化简得到边与边关系式,从而判定出三角形的外形；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以及三角形内角和定 理得到内角之间的关系,从而判定出三角形的外形；（边化角）题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用 例 6 在ABC 中,a b c 分别为角A .B,C的对边,且 sinAsinCpsinB pR 且ac1b2cosB4（1）当p5 , 4b1时
8、,求a c 的值；1或a1 , 4c1b2（2）如角 B 为锐角,求p 的取值范畴；1【解析】（1）由题设并由正弦定理,得ac5,ac1,解得,a1,c444b2B2 p b21（2）由余弦定理,b2a2c22 accosB =ac22 ac2accos22即p231 cos 2B ,由于0cosB1,所以p23,2,由题设知p0,22所以6p2.2三、课堂练习：1、满意A45,c36,a2的ABC 的个数为 m ,就am为 . 第 3 页,共 5 页2、已知5,Aa5 b30,解三角形；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、在ABC中,
9、已知a4cm ,bxcm ,A名师总结优秀学问点就 x 的取值范畴是 60,假如利用正弦定懂得三角形有两解,A、x4B、0x4C、4x . 8332aD、4Bx8334、在ABC中,如S1a2b2c2,就角 C45、设 R 是ABC 外接圆的半径,且2Rsin2Asin2Cbsin,试求ABC 面积的最大值；6、在ABC中, D 为边 BC上一点,BD33,sin B5,cosADC3,求 AD .1357、在ABC 中,已知a b c 分别为角A ,B,C的对边,如acosB,试确定ABC 外形；bcosA名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - -
10、 - - - - - - 8、在ABC中,名师总结优秀学问点C2caa b c 分别为角A,B,C的对边,已知cosA2coscosBb,b2,求ABC 的面积；（1）求sin sinC；A（2）如cosB14四、课后作业1、在 ABC中,如 a b c b c a 3 bc,且 sin A 2 sin B cos C,就 ABC是A、等边三角形 B、钝角三角形C、直角三角形 D、等腰直角三角形2、ABC 中如面积 S= 1 a 2b 2c 2 就角 C43、清源山是国家级风景名胜区,山顶有一铁塔 AB,在塔顶A处测得山下水平面上一点 C的俯角为,在塔底 B 处测得点 C 的俯角为,如铁塔的高为 hm ,就清源山的高度为 m ；A、h sin cos B、h cos sinsin sin C、h sin sin D、h cos cossin sin 4、ABC 的三个内角为 A、 、C,求当 A 为何值时, cos A 2cos B C取得最大值,并求出这个最大值；25、在 ABC 中,a b c 分别为角 A、 、C 的对边,且满意 c sin A a cos C（1）求角 C 的大小（2）求3 sinAcosB4的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小；第 5 页,共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -