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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载数形结合在中学数学教学中的应用案例争论周矶学校杨利中学数学新课程标准中,支配了“ 数与代数”“ 空间与图形” “ 统计与概率”“ 实践与综合应用” 四个学习领域,在每一个学习领域,都离不开两要素-数与形；三千多年前,我国古代数学家赵爽最先在周髀算经作注时给出“ 弦图” ,他通过几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,赵爽的“ 弦图” 证明可谓别具匠心, 表达了“ 数形结合”的思想；现代中学数学教材中,如平方差公式、 完全平方等公式的推导都采纳了几何图形验证方式,这是代数问题几何化的代表性问题； “ 数形结合” ,
2、直观性强、形象详细 , 在平常的学习中更简洁被同学们所认可；近观数学中考压轴题,都是代数、几何高度综合,“ 数形结合” 作用突显；在数形结合问题中,主要有三个方面：一是“ 以形助数”,二是“ 以数助形” ,三是“ 数形互化” ；本文仅针对如下几个问题进行争论课堂教学的“ 数形结合” ；一、以形助数,简化易解解决数学上数量关系的问题主要表达在把抽象的理论学问转化为适当的几何图形,奇妙地用图形来表达抽象的数学学问,构建出清楚的数学学问体系,促进学问的“ 消化” ；有些繁难的代数题,如我们借助于图形的性质,可以使很多抽象的概念及复杂的数量关系直观化、简洁化,从而探究出奇妙的解法；中学数学中, 如有理
3、数中数轴的引入、 不等式及不等式组的解集在数轴上表示,使抽象的概念、性质得到直观的懂得；解二元一次方程组、解不等式时,利用平面直角坐标系, 通过转化成一次函数图像图解,问题变得简化易懂； 统计部分三类统计图应用后即可使啰嗦文字语言变成简洁明白；用“ 树形图”分析大事的概率,可使大事简洁而明确；以上均属于“ 以形助数” 代表性内容,是课堂教学中必需性基础内容； 同学在画图中整理信息分析信息,用时不多找到解决问题的方法,同学在老师的引领下, 领会到了一种有效解决问题的方法-图解法；1、有理数教学中,初识图解法数轴的引入是有理数表达 “ 数形结合”思想的力气源泉； 由于对每一个有理名师归纳总结 -
4、- - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载数,数轴上都有唯独确定的点与它对应,因此,两个有理数大小的比较,是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此） ；相反数、肯定值概念就是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的 4 ；尽管我们学习的是（有理）数,但要时刻牢记它的形（数轴上的点）,通过渗透“ 数形结合” 的思想方法,帮忙同学正确懂得有理数的性质及其运算法就；案例 1：在有理数一章中,数轴就是把数和形结合在一起的内容；这样,在争论相反数、肯定值、倒数的几何意义时, 形象易记；下面详细
5、分析一下；（1）利用图象,制造学习负数情境；初一同学通过温度计引出数轴概念,能够详细、 直观地把握负数的意义； 利用数轴把点与数的对应关系揭示出来,这样数量关系常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述；（2）相反数 在数轴上 , 相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表 示的数；零的相反数是它本身即原点；如图：（3） 肯定值 在数轴上 , 一个数的肯定值表示这个数的点离开原点的距离；在下图中, A点到原点的距离比 B点到原点的距离大；（4） 倒数在数轴上表示a 与 1 的位置关系；可以结合数轴来加以分析,把0、+1、-1 作为分界点,然后再作争论；2、求解不等式（组）,运用图解法教学时,
6、为了加深同学对不等式解集的懂得,老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来, 使同学形象地看到, 不等式有无限多个解, 这里隐藏着数形结合的思想方法4 ；在数轴上表示数是“ 数形结合” 思想的详细表达,而在数轴上表示数集, 就比在数轴上表示数又前进了一步；确定一元一次不等式组的解集时,利用数轴更直观、更为有效；案例 2：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2x学习好资料欢迎下载0,解不等式组5x112x1并把解集在数轴上表示出来,23解：解不等式,得x2解不等式,得x1不等式组的解集在数轴上表示如下：所以,不等
7、式组的解集是1x23、方程组、不等式,巧用“ 图解法”“ 图解法” 解二元一次方程组, 详细方法是先把每个二元一次方程变形成一次函数解析式,然后画出图像,两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解,利用两条图像线的交点位置, 可快捷求出相关不等式的解集；这充分表达了 “ 数形结合” 的思想,构建了数与形的和谐美；在解题方面,通过把问题转化成图形的方法,直观得出问题结论,躲开了相对复杂的运算；案例 3：二元一次方程组a x 1b y 1c 10的解有三种情形：a,b 的值,再代入不a x 2b y 2c 20 无解；很多个解；只有一个解；一种解法： 把交点的横纵坐标代入两直线的解析式求出与等式求解
8、,这种方法明显很复杂,但也是大部分同学的解法；另一种解法：由两个一次函数的图象的交点直接得出不等式的解；这三种情形可以转化为两条直线a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0 的三种位置关系：平行；重合；相交；方程组的解转化为两条直线的交点；当a1：a2=b1：b2 c1：c2 时,两条直线的斜率相同,y 轴上的截距不同；此时两条直线平行,无交点,因而方程组无解；当a1：a2=b1：b2=c1：c2 时,两条直线的斜率相同,y轴上的截距相同；此时两条直线重合, 有很多个公共点,因而方程组有很多个解；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - -
9、 - - - - - - 学习好资料 欢迎下载当 a1：a2 b1：b2 时,两条直线的斜率不相同,两条直线相交,只有一个交点,因而方程组只有一个解；例：2xy30,方程组无解；两条直线2x+y+3=0、4x+2y+1=0的位置关4x4y10系如图：平行；2 x2y10,方程组只有一个解；两条直线2x+y+1=0、x+2y=0 的位置关系xy0如图：相交；2 x4y0,方程组有很多个解；两条直线2x+4y=0、x+2y=0 的位置关系如x2y0图：重合；y x y x y x （1）（2）（3）4、函数应用教学,凸显“ 图解法”一般来说,代数问题不依靠于几何都是可以解决的,然而由于代数关系比较
10、抽象,因此,如能结合问题中代数关系给予几何意义,那么往往就能借助直观形象对问题做出了透彻分析, 从而探求出解决问题的途径； 很多应用性问题的分 析,如传统的“ 鸡兔同笼” 问题,它的数量关系,比较抽象而隐藏,解决这类问题有相当难度, 但假如有图形帮助便可使隐含问题直观化；解帮忙,优化解题；案例 4：函数应用题更需要图某宾馆有客房 90 间,当每间客房的定价为每天 140 元时,客房会全部住满；当每间客房每天的定价每涨10 元时,就会有 5 间客房闲暇,假如旅客居住客房,名师归纳总结 馆需对每间客房每天支出60 元的各种费用；第 4 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - -
11、 - - - - - - - 学习好资料欢迎下载x（元）之间的函数（1） 请写出该宾馆每天的利润y 与（元）每间客房涨价关系式；（2） 设某天的利润为8000 元,8000 元的利润是否为该天的最大利润,并指出此时客房定价应为多少元？（3） 请回答客房定价在什么范畴内宾馆就可获得利润？依据第一步解题分析可知, 利润 Y 关于涨价 X是呈二次函数关系； 其次步是求利润最值问题, 利用最值公式可求出相应结果；第三步求定价范畴, 按常规思路是建立不等式来解题； 但目前同学求解不等式只限于会解一元一次不等式,解一元二次不等式仍是一个数学难题；怎样才能做到有效解题目的呢？方案是：教学中引导同学把数转化成
12、形,利用五点法画出图像Y 518X 8450 Y 50 18X 8450 -8-8观看图像可知, 这是一条开口向下的抛物线, 当涨价了 50 元时,利润最大值为 8450 元,因而 8000 元并非最大利润, 顺当解决其次题； 如何解决第三个问题呢？有效方法仍是要借助图像进行,同学发觉抛物线在横轴上半方就表示获得利润大于零, 图像所对应 X 轴上两个界点数据是 -80 元和 +180元,这就得出在原 价每间客房出租 140 元基础上,租金只要大于 （140-80）元少于（140+180）元,即客房定价 60 元以上而 320 以内的范畴内宾馆就可获得利润；此题教学借助图形,通过“ 以形助数”
13、方法,将形象思维与抽象思维相结 合；借助于“ 形” 的几何直观性来阐明“ 数” 的大小关系,思维有冲击,更好帮 助同学懂得题意,用同学看图便知道了答案；用一种直观而有效的策略、简化易懂的方法,找到了问题的结论,同学耳 目一新,激发了爱好, 这比老师苦口婆心帮忙同学分析数量关系更有数学学习价 值；体验“ 数形结合” 在解决问题中的使用价值,让同学清楚而明确熟悉“ 数形名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载结合” 的妙处,感知数学思想之睿智；二、“ 以数助形” ,精化解题方法 数学的进展使很多几何问题不
14、再是单纯的图形争论,人们在透过形的外表,触及其内在的数量特点, 探究由图形到数量的联系与规律,即“ 以数助形” 就是 将图形信息转化为代数信息, 使要解决的几何问题化为数量关系来实现“ 数形结 合” ；（一）“ 以数助形” ,在“ 数与式” 教学中的应用在“ 数与式” 这一部分,常常会遇到一些探究规律题,在教学中图形规律题 的探究也是常见一种形式, 遇到这一类问题, 我们必需学会分析图形位置序号与 图形本身一种联系,将几何图形变化情形进行数字化、代数化,这就是“ 以数解 形” ；案例五、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下的规律,拼成如干个图案：（1）第四个图案中有白色地砖块；（2）第 n 个
15、图案中有白色地砖块；分析：此题是借助于图形中的数量关系来解决问题, 第一个图案中有白色地砖 6 块,其次个图案中有白色地砖10 块,第三个图案中有白色地砖14 块,依据前面的分析,很快就能判定出第四个图案中有白色地砖18 块,并且每个图案比前一个图案增加 4 个白色地砖,所以第 n 个图案中有白色地砖 4n+2 块第一个 其次个名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载第三个人教版七年级数学上册第三章“ 字母表示数”,本章的不少小节的内容是探索几何图形（或几何图案）的数量关系,教学中,老师指导同学会用代
16、数式表示 几何图形（或几何图案）的数量关系,老师如留意了数形结合思想方法的渗透,会使同学很快领会几何图形（或几何图案）的规律,从而找出其中的数量关系；图形规律探究题,重在考查同学的观看、分析、归纳的才能,要使同学具备 这些才能, 需要老师在平常教学中多引导； 教学中引导同学观看分析各个图形之 间变化情形是其一, 另一点是此类问题仍要懂得将图形变化情形数字化,找到数 字与序号间一种隐性关系, 从而将一个在不断变化中几何图形代数化,达到精化 解题目的；（二）“ 以数助形” ,在平面几何教学中的应用假如在一个几何问题中, 条件和结论都简洁用代数中的式子表示出来,那么,我们就可以把解决这个问题的过程转
17、化为代数中的演算来完成；把一个几何问题 转化成数运算性的问题,这是数学解题课堂教学常用的一种方法；1、“ 以数助形” ,在三角形中的应用在直角三角形这一部分,面对不同变异的几何问题,在运算时有多种方法 , 其中比较突出的方法是仍可以与几何图形本身特点相结合进行解题；抓住几何图 形本身的特别性： 线段之间、角与线段之间特别的位置关系与数量关系,实现“ 形 到数” 的转化,形可以是正方形也可以为三角形等；通过“ 数形结合” 的方法从 深层的角度挖掘数学之美； 让同学观赏到数学中问题中的风格美、形式之美, 吸 引同学的眼球,让课堂更具活力；案例 6：将如图的五个边长为1 的正方形组成的十字形剪拼成一
18、个正方形【分析】这是一类很常见的问题 假如单单从“ 形”的角度来摸索,唯恐除了试验,没有其它更好的方法名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载了但是假如我们先不忙考虑怎样剪裁,而是先从“ 数” 的角度来算一下,我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应当是5 现在我们只需要在图中找出来一段边长为 5 的线段,以此为一边作一个正方形 （如图）,我们就不难设计出各种剪裁方法了【说明】有人把这种方法叫做“ 面积法”,其实“ 面积法” 这个名字并没有揭示这类方法的全部本质 “ 面积” 是剪拼问题中的一个“ 不
19、变量”,几乎全部的 剪拼问题,都可以先抓住“ 面积” 这个不变量来进行“ 数” 的运算另一方面,“ 面积” 本身就是从“ 数” 的角度来刻画 “ 图形” 的大小特点的一个概念 因此,所谓“ 面积法” ,实际上就是“ 数形结合” 这种数学思想的一种详细表达2、“ 以数助形” ,在多边形中的应用利用此题图形的特别性, 通过“ 数形结合” ,挖掘特别几何位置的代数意义,演绎数量关系描述的几何属性,这是几何运算题常用一种方法；案例 7：在长为am,宽为 b m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路,就余下草坪的面积可表示为2 m ；现为了增加美感, 把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图）,就此时余下
20、草坪的面积为2 m 如下图所示：（分析）通过把下半部分草地向上平移方法,就草地部分的面积均形成一个新矩形,其中矩形宽为（b-1 ）m,长为 am,就草坪面积为 ab-1 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载把草坪所在矩形向上平移如上问题,实质考查是特别四边形 -矩形面积问题, 同学立刻回忆起矩形的面积公式 =长 宽；解决如上问题,第一要紧抓图形本身一种特别性,引导 同学发觉这样一个结论, 无论道路笔直仍是弯曲, 不管弯曲程度如何, 只要确保道路宽相同, 那么可通过平移把图形平移形成一个新的矩形；即
21、先用了 “ 以形促 形” 方法形成一个新的图形；再用代数式表示长和宽,依据图形面积间的关系,把一个几何图形边的关系转化成数学语言,方法得出相应结论；通过代数算式关系, 即用“ 以数解形”3、“ 以数助形” ,在函数教学中的应用中学数学函数主要学习正比例、 一次函数、反比例函数及二次函数这四块内 容,函数部分学问突出的重点与特色就是数学建模与“ 数形结合” 思想 4 ；函数 问题大都不是纯代数运算问题, 很多是依据图像再提出相应的问题或者是函数图 像结合直线（线段、射线） 、三角形、四边形、圆等几何图形的综合问题；对于 很多的函数问题在课堂教学中, 我们往往抓住形的特点通过直角坐标系将几何图 形
22、数字化,查找解题途径,这一种解题方法是同学必需有的一种常见的方法 ；案例 8：某物流公司的快递车和货车每天来回于A、B 两地,快递车比货车多来回一名师归纳总结 趟；下图表示快递车距离A地的路程 y（单位：千米）与所用时间 x（单位：时）第 9 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载的函数图象；已知货车比快递车早 1 小时动身,到达 B 地后用 2 小时装卸货物,然后按原路、原速返回,结果比快递车最终一次返回A 地晚 1 小时；1 请在下图中画出货车距离A 地的路程 y （千米）与所用时间x 时 的函数图象；2 求两车在途
23、中相遇的次数（直接写出答案）；3 求两车最终一次相遇时,距离 A 地的路程和货车从 A 地动身了几小时；（1）问中的图象如下列图；（2）4 次；利用一次函数的思想进行求解对第（3）问进行求解；（3）如下列图,设直线 EF名师归纳总结 的解析式为yk 1xb 1,图象过 , ,（5 ,200）,y 千米 200 4 E C x 时 第 10 页,共 13 页2005 k1b 1k 150,150 G 09 k 1b 1b 1450100 y50x450；50 D F yk2xb 2-1 O 1 2 3 5 6 7 8 9 设直线 CD 的解析式为- - - - - - -精选学习资料 - - -
24、 - - - - - - 图象过8 ,0, ,200学习好资料欢迎下载,2006 k2b 2k2100y100x800；08 k2b 2b 2800解由,组成的方程组得x7y100最终一次相遇时距离A地的路程为 100km,货车从 A 地动身 8 小时 ；像这种利用函数图象解决相关代数问题的题型在人教版八年级下册第 19 章中比较多, 另外像中学代数中的一元一次不等式,在函数中可以利用函数图象来看这样的一元一次不等式； 对于有些可以比较繁琐的不等式利用函数观点求解可 以使得求解的过程得到简化；评注：解从“ 数” 到“ 形” 的问题时,应留意观看函数图象的外形特点（包括分段函数）,充分挖掘图象中
25、的已知条件,从而确定函数的解析式,再利用函 数的图象性质来解三、 “ 数形互变” ,优化解题方法 就是依据“ 数” 与“ 形” 既对立,又统一的特性,观看图形的外形,分析数 与式的结构, 引起联想, 适时将它们相互转换, 化抽象为直观并揭示隐含的数量 关系；数形结合的基本思想方法, 就是在争论问题的过程中, 留意把数和形结合起 来考察,斟酌问题的详细情形, 把图形的性质问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,化难为易,获得简便易行的胜利方案；使复杂问题简洁化, 抽象问题详细化,案例 9、在一次数学活动中,小明为了求 1 1 1 1n 的值,他设计2 4 8 2了如下
26、图边长为 1 的正方形纸片,并用不同的标记标出了正方形面积的 1 ,1 ,2 41 , 请你依据把握的数形结合的思想, 推出当 n 为正整数时,1 1 1 1n8 2 4 8 2的结果；（用 n 表示）名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料11欢迎下载分析：为了求出假如直接去求出1 21482n的值,对于中学的同学来说仍是特别难的,我们可以考虑用数形结合思想来解决；1我们可以这样懂得,用剪刀去剪这个正方形纸片,1 16第一次剪去正方形纸片的一半, 正方形剩余面积是 81 ,其次次剪去剩余图形的一半, 得到的
27、图形面积2 1是 1 ,第三次剪去其次次剪剩的图形的一半,得到 24 1的图形面积是 1 ,即每次剪去前一次剩余图形面积 48的一半, 那么当第 n次剪后得到的图形面积是 1 n,把每次剪下来的图形2面积相加,即得到 1 1 1 1n1 1n2 4 8 2 2案例 10、等腰三角形的面积为 2,腰长为 5 ,底角为,求 tan；分析：此题是斜三角形问题, 因此要作高化斜三角形为解直角三角形；但是此题又没有给出三角形的外形, 所以在画高时就要考虑高在三角形内、三角形上和三角形外三种情形, 这是一种解题方法, 但特别麻烦, 我们可以考虑用数形结合的思想来解决此题,用数学中的方程或方程组来解；解：
28、过 A 点作 ADBC于 D,如右图 ABC是等腰三角形,面积为2,腰长为5A BD=DC 设 BD=x,AD=y 名师归纳总结 在 Rt ABD中,x2y252B D C 第 12 页,共 13 页在 ABC中,1 22xy2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由 、得：学习好资料欢迎下载x2y25xy2该方程组可化为如下两个方程组：1xy3或xy23xy2xy分别解之得：x 11x 22x 3x42y 12y 21y 32y41BD、AD均为正数取x 11x 22y 12y21 tany1 或 22x此题应用了数形结合思想, “ 形题数解” 往往可以
29、使求解思路新奇,而且几 何中的多解问题可以转化为方程或方程组的多解问题；总而言之, “ 数无形不直观, 形很多难入微” ； 见到数量就要考虑它的几何 意义,见到图形就应考虑它的代数关系,运用数形结合的思想解决数学问题；数学家华罗庚说得好： “ 数形结合百般好 , 隔离分家万事休 , 几何代数统一体 , 永久联系莫分别；” 通过数与形有机结合,使同学的思维完成从“ 形象” 到“ 抽 象” 的概括,从“ 抽象” 到“ 形象” 的再现；数学思想方法既是数学的基础学问,是学问的精髓, 又是将学问转化为才能的桥梁,用好了就是才能； 因此我们数学老师在教学中要留意数学思想方法的渗透、概括和总结, 要重视数学思想方法在解题中的应用；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页