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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一讲 极坐标与直角坐标的简洁互换学问运用 1 平面直角坐标系中的伸缩变换x x 0类型一 依据变换 : 求出变化前或后的点或曲线方程y y 0x 3x,【例 1】1在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换 ：求2y y.点 A 1, 2 经过 变换所得的点 A 的坐标322022 秋.南关区校级月考曲线 x 2+y 2=1 经过 ：变换后,得到的新曲线的方程为32022 秋.花垣县校级期中曲线 C经过伸缩变换 后,对应曲线的方程为： x 2+y 2=1,就曲线 C的方程为ABCD4x 2+9y 2=1 【解题思路提示】记住区分1、点：变换前的点
2、P 的坐标 x,y 与变换后的点 P 的坐标 X,Y 2、曲线：变换前 x、y 的曲线与变换后x ,y的曲线,3. 最终结果要用 x 、y 写出答案,题目一般变换后也是用书写需要写成x ,y【变式实践 1】x、y 表示,但是在解题过程1 2022 春.浮山县校级期中曲线x2+y 2=1经过伸缩变换后,变成1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 曲线方程是A25x 2+9y 2=1 B9x2+25y 2=1 C25x+9y=1 D+=1 2=36 经过2 2022 春.泰山区校级期末在平面直角坐标系中,曲线C：x2 y
3、伸缩变换后,所得曲线的焦点坐标为D,0A 0,B,0C 0,类型二 依据变化前后的方程求出变化2 4x【例 2】1. 在同始终角坐标系中,求满意以下图形变换的伸缩变换：由曲线9y236 变成曲线 x2y21【解题思路提示】求满意图形变换的伸缩变换,实际上是求其变换 方法一：将新旧坐标分清, 代入对应的曲线方程, 然后比较系数就可得到伸缩变 换式；方法二：直接将一个曲线方程变形, 配凑成另一个方程的形式, 然后比较对应项 得出伸缩变换一般有一边变成一样的, 另外一边相同项相等, 例 2【变式实践 2】2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 28 页精选学习资料 - - - -
4、 - - - - - 1. 2022 春.大庆校级期中可以将椭圆+=1 变为圆 x2+y2=4 的伸缩变换为ABCD2 2x y2 将 圆 x 2 y 2 1 变 换 为 椭 圆 94 1 的 一 个 伸 缩 变 换 公 式 为 ：Xax a0,求 a,b 的值Yby b0,学问运用 2 将点的极坐标与直角坐标的互换【例 3】将以下点的极坐标与直角坐标进行互化1将点 M的极坐标 4,14 3 化成直角坐标；2将点 N的直角坐标 4 , 4 3 化成极坐标 0,0 r, 直线与圆相离；当 d=r, 直线与圆相切；当 d0,求曲线 C的一般ty1t方程3 2022 西安质检 假设直线 3x4ym0
5、 与圆 相切,求实数 m的值4x1sin 2 ,ysin cos .化为一般方程【变式实践 1】x1cos ,y 2sin 为参数 12022 春. 保定校级月考已知直线 l 的参数方程为t 为参数,就其直角坐标方程为Ax+y+2=0 Bx y+2=0 Cxy+2=0 D x+ y+2=0 2 2022 春. 邯郸校级月考与参数方程为 通方程为t 为参数等价的普Ax2+=1 Bx2+=10x1Cx2+=10y2Dx2+=10x1,0y23、将参数方程为参数化为一般方程为13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - Ay
6、=x 2 By=x 20y1 Cy=x+2 2x 1Dy=x+2 4 2022 春. 邢台校级月考参数方程 为参数的普通方程为Ay 2 x 2=1 Bx 2 y 2=1 C D52022 春. 七里河区校级期末 已知曲线的参数方程为为参数,就曲线的一般方程为Ax 2=y+1xBx 2=y+1 1x1Cx 2=1 yxDx 2=1 y 1x1学问运用二 直线与圆的综合运用【例 2】1 2022. 蓟县校级一模圆,为参数的圆心到直线, t 为参数的距离是A1 BCD3 （2） 2022. 海淀区模拟假设直线,为参数相切,就b=,t 为参数与圆A 4 或 6 B 6 或 4 C 1 或 9 D 9
7、或 1 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 32022. 黄山三模假设以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位长度,已知直线 l 参数方程为t 为参数,曲线 C的极坐标方程为 =4sin ,就直线 l 被曲线 C截得的弦长为 A BC D【变式实践 2】1 2022. 安徽三模直角坐标系xoy 中,以原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆 C的极坐标方程为 =2sin ,直线 l 的参数方程为t 为参数,就圆 C截直线 l 所得的弦长为A1 BC
8、2 D22直线t 为参数被圆x 32+y+12=25 所截得的弦长为 AB40C D 32022. 赣州二模直线t 为参数被曲线所截的弦长为ABCD42022 秋. 辽源校级期末设直线 l ：t 为参数,曲线 C1：为参数,直线l 与曲线 C1交于 A,B两点,就 |AB|= A2 B1 CD15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 2022. 岳阳校级一模已知曲线C的参数方程为为参数,以直角坐标系原点为极点,1求曲线 c 的极坐标方程Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系2假设直线 l 的极坐标方程为 sin +co
9、s =1,求直线 l 被曲线 c 截 得的弦长6 2022. 大庆一模在平面直角坐标系t 为参数以原点为极点,线 C的极坐标方程是 =2 sin xOy中,直线 l 的参数方程为x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲I 求出直线 l 的一般方程与曲线 C的直角坐标方程；II 设直线 l 与曲线 C的交点为 A,B,求 |AB| 的值16 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、设直线 l 的参数方程为x3t cos , t 为参数, 为倾斜角 ,圆 Cy4t sin 的参数方程为x12cos , 为参数 y 12sin
10、 1 假设直线 l 经过圆 C的圆心,求直线 l 的斜率；2 假设直线 l 与圆 C交于两个不同的点,求直线l 的斜率的取值范畴8. 2022 重庆巴蜀中学模拟 已知曲线 C的参数方程是xcos ,ymsin 为参数 ,直线l的参数方程为x15 5 t , t为参数 ,y425 5 t17 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 求曲线C与直线l的一般方程；2 假设直线 l 与曲线 C相交于 P,Q两点,且 | PQ| 4 5,求实数 m的值5学问运用三 直线参数几何方程的意义利用直线参数方程中参数的几何意义求解问
11、题的方法xx0t cos ,经过点 P x0,y0 ,倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 t yy0t sin 为参数 假设 A,B 为直线 l 上两点,其对应的参数分别为 t 1,t 2,线段 AB的中点为 M,点 M所对应的参数为1 t 0t 1t 2；2t 1t 2 2；2| PM| | t0| 3| AB| | t 2t 1| ；t 0,就以下结论在解题中常常用到：4| PA| |PB| | t1t 2|. 18 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 提示 直线的参数方程中,参数t 的系数的平方和为1 时,t
12、才有几何意义且其几何意义为： | t | 是直线上任一点 M x,y 到 M0 x0,y0 的距离,即 | M0M| | t |. 【例 3】.2022 东北三校联考 已知在直角坐标系xOy 中,曲线 C 的参数方程为 x14cos y24sin 为参数 ,直线 l 经过定点 P3 ,5 ,倾斜角为 3 . 1 写出直线 l 的参数方程和曲线 C的标准方程；2 设直线 l 与曲线 C相交于 A,B 两点,求 | PA| | PB| 的值【解题方法提示】1. 将直线的参数方程代入曲线一般方程就可以整理出来关于t 的一元二次方程at2btc019 名师归纳总结 - - - - - - -第 19
13、页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - t1t2b,t1 t2c,t 1t22t1t22）-4 t 1t2aa【例 4】2022 河北唐山模拟 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴, 两种坐标系中的长度单位相同, 已知曲线 C的极坐标方程为 2cos sin 1 求 C的直角坐标方程；2 直线 l ：x1 2t , t 为参数 与曲线 C交于 A,B 两点,与 y 轴交于 E,求y13 2 t的值【解题方法提示】一：具备以下特点可以考虑用直线参数方程的几何意义1. 三点：肯定点两交点,交点必需是定点所在直线跟一曲线两个交点2. 始终一曲：
14、适用于始终线一曲线3. 求值：三点间的距离之间的值4. 为 1：直线的参数方程中,参数 t 的系数的平方和为 1 时二：肯定点到两动点距离之和例如例题的 | EA| | EB| t 1 t 2 t 1 t 2 或2t 1 t 2 t 1 t 2 是由关于 t 的一元二次方程 at bt c 0 的系数 a、c 的正负决定的,当 a、c 同号时 t 1 t 2 t 1 t 2,当当 a、c 异号时 t 1 t 2 t 1 t 2；【变式实践 3】1、2022 哈师大附中模拟 已知在直角坐标系xOy 中,曲线 C 的参数方程为x14cos y24sin 为参数 ,直线 l 经过定点 P3,5 ,倾
15、斜角为 3 . 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 写出直线l的参数方程和曲线 C的标准方程；2 设直线 l 与曲线 C相交于 A,B 两点,求 | PA| |PB| 的值2. 已知直线 l ：xy10 与抛物线 yx 2 相交于 A,B 两点,求线段 AB的长度和点 M 1,2 到 A,B两点的距离之积3在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C： sin2 2acos a0 ,过点P 2, 4 的直线l ：x 22 2 t , t 为参数 与曲线 C相交于 M,N两点y
16、 42 2 t1 求曲线 C的直角坐标方程和直线l 的一般方程；2 假设 | PM| ,| MN| ,| PN| 成等比数列,求实数a 的值21 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【强化练习】1 2022. 永州二模在平面直角坐标系xOy中,直线 l 的参数方程是x 1 1 t2t 为参数,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,y 3 t2曲线 C的极坐标方程为： =4cos 1把直线 l 的参数方程化为极坐标方程,把曲线 程；C的极坐标方程化为一般方2已知点 P1,0,直线 l 与曲线 C交于 M
17、、N两点,求 |PM|. |PN| 的值22 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 2022. 锦州一模已知直线1 的参数方程为t 为参数,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为 =2sin 1求圆 C的直角坐标方程；2设圆 C与直线 l 交于点 A、B,假设点 P 的坐标为3,求 |PA|+|PB| 32022. 太原校级模拟【坐标系与参数方程】 设直线 l 的参数方程为t 为参数,假设以直角坐标系xOy的 O点为极点, Ox轴为极轴,挑选相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极
18、坐标方程为 =1将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线；2假设直线 l 与曲线 C交于 A、B 两点,求 |AB| 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4 2022. 鹰潭一模已知曲线C的极坐标方程是 =4cos 以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直 l 的参数方程是t 是参数1将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程；2假设直线 l 与曲线 C相交于 A、B 两点,且 |AB|=,求直线的倾斜角的值24 名师归纳总结 - - - - - - -第
19、24 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 2022. 湖南模拟在平面直角坐标系xOy中,以原点 O为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点A 的极坐标为,直线 l 的极坐标方程为 cos =a,且点 A在直线 l 上1求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；2假设圆 C的参数方程为为参数,试判定直线l 与圆 C的位置关系62022. 平果县模拟圆 C的极坐标方程为,极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的非负半轴重合,且长度单位相同,直线 l 的参数方程为t 为参数1求 C的直角坐标方程及圆心的极坐标2l 与 C交于 A,B两点,求
20、|AB| 25 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7. 2022. 大庆一模在平面直角坐标系t 为参数以原点为极点,线 C的极坐标方程是 =2 sin xOy中,直线 l 的参数方程为x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲I 求出直线 l 的一般方程与曲线 C的直角坐标方程；II 设直线 l 与曲线 C的交点为 A,B,求 |AB| 的值26 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8 2022. 广州模拟在平面直角坐标系xOy中,已知曲线
21、C1：t为参数与曲线 C2：为参数, a0假设曲线 C1 与曲线 C2有一个公共点在x 轴上,求 a 的值；当 a=3 时,曲线 C1 与曲线 C2交于 A,B两点,求 A,B两点的距离9 2022. 重庆校级模拟已知曲线C的参数方程为：为参数,直线 l 的参数方程为：与曲线 C交于 A,B 两点t 为参数,点 P2,1,直线 l1写出曲线 C和直线 l 在直角坐标系下的标准方程；2求 |PA| . |PB| 的值27 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10、2022 大庆模拟 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线 l 经过点P11,2倾斜角 6 . 在极坐标系 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,以原点 O为极点,以 x 轴正半轴为极轴 中,圆 C的极坐标方程为 2 2cos 4 . 1 写出直线 l 的参数方程,并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；2 设 l 与圆 C相交于 A,B 两点,求 | PA| | PB| 的值28 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 28 页