《知识讲解_空间向量在立体几何中的应用(基础).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知识讲解_空间向量在立体几何中的应用(基础).doc（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、空间向量在立体几多何中的运用编稿：孙永钊审稿:张林娟【考大年夜纲求】1.了解空间向量的不雅念，了解空间向量的全然定理及其意思，操纵空间向量的正交分析及其坐标表示.2.操纵空间向量的线性运算及其坐标表示.3.操纵空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积揣摸向量的共线与垂直.4.能用向量语言表述直线与直线、直线与立体、立体与立体的垂直、平行关系.5.能用向量方法证明有关直线和立体位置关系的一些定理.6.能用向量方法处置直线与直线、直线与立体、立体与立体的夹角的打算征询题，了解向量方法在研究几多何征询题中的感染.【知识搜集】【考点梳理】要点一、空间向量1.空间向量的不雅念在空间，我们把存在大
2、小跟倾向的量叫做向量。要点说明：空间的一个平移的确是一个向量。向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示一致或相当的向量。相当向量只考虑其定义要素：倾向，大小。空间的两个向量可用一致立体内的两条有向线段来表示。2.共线向量1定义：假设表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作当我们说向量、共线或/时，表示、的有向线段所在的直线可以是同不时线，也可以是平行直线2共线向量定理：空间任意两个向量、，/的充要条件是存在实数，使。3.向量的数量积1定义：已经清楚向量，那么叫做的数量积，记作，即。2空间向量数量积的性质：；3空间向量数量积运算律：；交换
3、律；分配律。4.空间向量全然定理假设三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。假设三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。5.空间直角坐标系：1假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，谁人基底叫单位正交基底，用表示；2在空间选定一点跟一个单位正交基底，以点为原点，分不以的倾向为正倾向树破三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称树破了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量通过每两个坐标轴的立体叫坐标立体，分不称为立体，立体，立体；6.空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在
4、唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标7.空间向量的直角坐标运算律：1假设，那么一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示谁人向量的有向线段的起点的坐标减去起点的坐标。2假设，那么，；，夹角公式：3两点间的距离公式：假设，那么或。要点二、空间向量在立体几多何中的运用1.立体几多何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明对于垂直征询题，一般是运用停顿证明；对于平行征询题，一般是运用共线向量跟共面向量定理停顿证明2.运用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)偶尔也特别便当其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两
5、个向量的夹角那么可以运用向量的夹角公式。要点说明：立体的法向量的求法：设n=(x,y,z)，运用n与立体内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联破后取其一组解，即掉掉落立体的一个法向量如图。线线角的求法：设直线AB、CD对应的倾向向量分不为a、b，那么直线AB与CD所成的角为。留心：线线角的范围00,900线面角的求法：设n是立体的法向量，是直线的倾向向量，那么直线与立体所成的角为如图。二面角的求法：设n1，n2分不是二面角的两个面，的法向量，那么的确是二面角的立体角或其补角的大小如图3.用向量法求距离的公式设n是立体的法向量，AB是立体的一条歪线，那么点B到立体的
6、距离为如图。要点说明：点A到立体的距离：，其中，是立体的法向量。直线与立体之间的距离：，其中，是立体的法向量。两平行立体之间的距离：，其中，是立体的法向量。【模典范题】典范一、空间向量的运算【例1】已经清楚=2，2，1，=4，5，3，求立体ABC的单位法向量。【答案】单位法向量=，.【分析】设面ABC的法向量，那么且，即，即，解得，令，那么单位法向量=，.【总结升华】一般情况下求法向量用待定系数法。由于法向量没规那么长度，仅规那么了倾向，因此有一个自由度，可把的某个坐标设为1，再求另两个坐标。立体法向量是垂直于立体的向量，故法向量的相反向量也是法向量，因此此题的单位法向量应有两解。典范二：向量
7、法证明平行或垂直【例2】如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,为的中点，为的中点证明：直线；求异面直线AB与MD所成角的大小；求点B到立体OCD的距离。【分析】作于点P,如图,分不以AB,AP,AO所在直线为轴树破坐标系,(1)设立体OCD的法向量为,那么即取,解得(2)设与所成的角为,与所成角的大小为(3)设点B到立体OCD的距离为,那么为在向量上的投影的绝对值,由,得.因此点B到立体OCD的距离为【总结升华】1.用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的倾向向量与立体的某一法向量垂直；(2)证明该直线的倾向向量与立体内某直线的倾向向量平行；(3)证明该直线的倾向向量可以用立体内的两
8、个不共线的向量线性表示2.用向量法证垂直征询题：(1)证明线线垂直，只需证明两直线的倾向向量数量积为0；(2)证明线面垂直，只需证明直线的倾向向量与立体的法向量共线，或运用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直；(3)证明面面垂直，只需证明两立体的法向量的数量积为0，或运用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直举一反三：【变式】ID401056【高清视频空间向量在立体几多何中的运用例题1】如图，已经清楚直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分不为B1A、C1C、BC的中点求证：(1)DE立体ABC；(2)B1F立体AEF.【分析】如图树破空间直角
9、坐标系Axyz，令ABAA14，那么A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)(1)取AB中点为N，那么N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，(2，4，0)，(2，4，0)，.DENC，又NC在立体ABC内，DE不在立体ABC内，故DE立体ABC.(2)(2，2，4)，(2，2，2)，(2，2，0)，(2)22(2)(4)(2)0，那么，B1FEF，(2)222(4)00.，即B1FAF，又AFFEF，B1F立体AEF.典范三：异面直线所成的角例3春淄博期末如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、
10、F、G分不是DD1、AB、CC1的中点，那么异面直线A1E与GF所成角的余弦值是ABCD0【答案】D【分析】以DA，DC，DD1所在直线倾向x，y，z轴，树破空间直角坐标系，那么可得A11，0，2，E0，0，1，G0，2，1，F1，1，0=1，0，1，=1，1，1设异面直线A1E与GF所成角的为，那么cos=|cos，|=0，应选D举一反三：【变式】春清远期末如图，立体PAD立体ABCD，ABCD为正方形，PAD=90，且PA=AD，E、F分不是线段PA、CD的中点求证：PA立体ABCD；求EF和立体ABCD所成的角的正切；求异面直线EF与BD所成的角的余弦【分析】证明：由于立体PAD立体AB
11、CD，且AD是立体ABCD和立体PAD的交线，PA在立体PAD内，PAD=90，按照两个立体垂直的性质定理可得PA立体ABCD连接AF，那么AFE即为直角三角形EAF中，tan=设正方形的边长为2，以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，树破空间坐标系，可得A0，0，0、B2，0，0、D0，2，0、F1，2，0、E0，0，1，=1，2，1、=2，2，0，cos=，故异面直线EF与BD所成的角的余弦为典范四：直线与立体所成的角【例4】如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。试判定，使直线与立体所成角的正切值为；【分析】树破如以下列图的空间直角坐标系
12、，那么A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).因此又由的一个法向量.设与所成的角为，那么依题意有，解得.故事前，直线。举一反三：【变式】如图，三棱锥P-ABC中，ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA面ABC(1)求直线AB跟直线PC所成角的余弦值；(2)求PC跟面ABC所成角的正弦值；【答案】(1)以A为坐标原点，分不以AB、AP所在直线为y轴、z轴,以过A点且平行于BC直线为x轴树破空间直角坐标系.在直角ABC中,AB=，AC=2，BC=1A(0,0,0)，B(0,0)，C(1,0)，P(0,0,1
13、).(0,0)，(1,),cos=直线AB与直线PC所成的角余弦为.(2)取立体ABC的一个法向量=(0，0，1)，设PC跟面ABC所成的角为，那么sin=|cos|=.PC跟面ABC所成的角的正弦值为典范五：二面角【例5】ID401056【高清视频空间向量在立体几多何中的运用例题2】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H立体AA1B1B，且C1H.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在立体AA1B1B内，且MN立体A1B1C1，求线段BM的长【分析】如以下列图，树破空
14、间直角坐标系，点B为坐标原点，依题意得A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(，)，A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，C1(，)(1)易得(，)，(2，0，0)，因此cos，因此异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.(2)易知(0，2，0)，(，)设立体AA1C1的一个法向量m(x，y，z)，那么即不妨令x，可得m(，0，)设立体A1B1C1的一个法向量n(x，y，z)，那么即不妨令y，可得n(0，)那么cosm，n，从而sinm，n，因此二面角AA1C1B1的正弦值为.(3)由N为棱B1C1的中点，得N(，)设M(a，b，0)，那么(a，b，)由于MN立体A1B1C1，由(2)知立体
15、A1B1C1的一个法向量为n(0，)，因此n，因此a0，解得.故M(，0)因此(，0)，因此线段BM的长|.【总结升华】求两异面直线所成的角，用向量法的确是求两直线上的两倾向向量的夹角，但需留心二者范围的区不异常地，运用向量法求二面角的大小，的确是求两个半立体的法向量的夹角(或夹角的补角)，在具体求解中应适中拔取或求解直线的倾向向量及立体的法向量在空间直角坐标系中，常采用待定系数法求立体的法向量举一反三：【变式】在如以下列图的几多何体中,四边形是等腰梯形,立体.()求证:立体;()求二面角的余弦值.【分析】()在等腰梯形ABCD中,ABCD,DAB=60,CB=CD,由余弦定理可知,即,在中,
16、DAB=60,那么为直角三角形,且.又AEBD,立体AED,立体AED,且,故BD立体AED;()由()可知,设,那么,树破如以下列图的空间直角坐标系,向量为立体的一个法向量.设向量为立体的法向量,那么,即,取,那么,那么为立体的一个法向量.,而二面角F-BD-C的立体角为锐角,那么二面角F-BD-C的余弦值为.解法二:取的中点,连接,由于,因此,又立体,立体,因此由于立体,因此立体故,因此为二面角的立体角.在等腰三角形中,由于,由于,又,因此,故,因此二面角的余弦值为.典范六：空间距离【例5】已经清楚正三棱柱,，,是侧棱的中点。1求二面角的正切值；2求点到立体的距离【答案】如图，树破空间直角
17、坐标系那么1设为立体的法向量由得取又立体的一个法向量结合图形可知，二面角的正切值为32由1知：点到立体的距离【总结升华】运用向量法求点到立体的距离的步伐如下：(1)求出该立体的一个法向量n；(2)寻出以该点及立体内的某点为端点的线段对应的向量a；(3)运用公式d求距离举一反三：【变式】设A2,3,1，B4,1,2，C6,3,，D,4,8，求D到立体ABC的距离。【分析】A2,3,1，B4,1,2，C6,3,，D,4,8，设立体ABC的法向量=x，y，z，那么，即令z=2，那么=3，2，2由点到立体的距离公式：=，点D到立体ABC的距离为。典范七、运用空间向量处置立体几多何中的探求征询题【例6】
18、如图，四棱锥中，底面是直角梯形，正面，是等边三角形，是线段的中点1求证：；2求四棱锥的体积；3试征询线段上是否存在点，使二面角的余弦值为?假设存在，判定点的位置；假设不存在，说明因由.【证明】1由于正面，立体，因此又由于是等边三角形，是线段的中点，因此由于，因此立体而立体，因此2由1知立体，因此是四棱锥的高由，可得由于是等边三角形，可求得因此3以为原点，树破如以下列图的空间直角坐标系设,那么.设为立体的法向量,.设立体的法向量为.化简得.解得.因此存在点，且.【总结升华】空间向量最适宜于处置这类立体几多何中的探求性征询题，它无需停顿复杂浅易的作图、论证、推理，只需通过坐标运算停顿揣摸。在解题过程上中，屡屡把“是否存在征询题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规那么范围的解等，因此使征询题的处置更复杂、有效，在立体几多何二轮复习中，我们要善于运用这一方法。