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1、直线跟圆的位置关系【考大年夜纲求】1.能按照给定直线、圆的方程，揣摸直线与圆、圆与圆的位置关系；2.能用直线跟圆的方程处理一些庞杂的征询题；3.逐步体会用代数方法处理几多何征询题的思想；4.直线与圆的方程的综合运用.【知识搜集】直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系判定代数方法处了分析几多何征询题的思想直线与圆的位置关系判定知识的综合运用【考点梳理】【高清课堂：直线跟圆的位置关系404994知识要点】考点一：点与圆的位置关系1点与圆的位置关系：1点P在圆C外；2点P在圆C上；3点P在圆C内。考点二：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆订交，有两个大年夜众点；(2)直线与圆相切，
2、只需一个大年夜众点；(3)直线与圆相离，不大年夜众点.2.直线与圆的位置关系的判定方法：(1)代数法：揣摸直线与圆C的方程形成的方程组是否有解.假设有解，直线与圆C有大年夜众点；有两组实数解时，直线与圆C订交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离.(2)几多何法：设直线，圆，圆心到直线的距离记为，那么:事前，直线与圆C订交；事前，直线与圆C相切；事前，直线与圆C相离.要点说明：(1)当直线跟圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线形成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线跟圆订交时，有关弦长的征询
3、题，要用到弦心距、半径跟半弦形成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，偶尔还用到垂径定理.(3)当直线跟圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离征询题，素日画图，运用数形结合来处理.考点三：圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆订交，有两个大年夜众点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个大年夜众点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，不大年夜众点.2.圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：揣摸两圆的方程形成的方程组是否有解.有两组差异的实数解时，两圆订交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离.(2)几多何法：圆与圆，两圆圆心距，那么：事前，两圆订交；事前，两圆外切；事前，两圆外
4、离；事前，两圆内切；事前，两圆内含.要点说明：判定圆与圆的位置关系要紧是运用几多何法，通过比较两圆的圆心距跟两圆的半径的关系来判定，这种方法运算量小.也可运用代数法，但是运用代数法处理时，一是运算量大年夜，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不清楚，还要比较两圆的圆心距跟两圆半径的关系来判定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.考点四：直线与圆的方程的运用在处理理论征询题跟破体几多何征询题方面的运用时，常常运用破体几多何知识，先用坐标跟方程表示呼应的几多何元素，把直线与圆、圆与圆的位置关系的结论转化为呼应的代数征询题.要点说明：坐标法的实质的确是借助于点的坐标，运用分析货色(
5、即有关公式)将破体图形的假设干性质翻译成假设干数量关系.在这里，代数是货色，是方法，这是笛卡儿分析几多何的精髓所在.考点四：有关直线与圆的常用方法1.求圆的切线方程的常用方法：(1)开门见山法：运用稀有结论，开门见山写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线歪率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线歪率，写出点歪式，最后将点歪式化为一般式；(3)定义法：按照直线方程的定义求出切线方程.稀有圆的切线方程：过圆上一点的切线方程是；过圆上一点的切线方程是：.2.用坐标法处理几多何征询题时，先用坐标跟方程表示呼应的几多何元素：点、直线、圆；然后对坐标跟方程停顿代数运算；最后再把代数运算结果“
6、翻译成呼应的几多何结论.这的确是用坐标法处理破体几多何征询题的“三部曲.第一步：树破适当的破体直角坐标系，用坐标跟方程表示征询题中涉及的几多何元素，将破体几多何征询题转化为代数征询题；第二步：通过代数运算，处理代数征询题；第三步：把代数运算结果“翻译成几多何结论.【模典范题】典范一：直线与圆的位置关系【高清课堂：直线跟圆的位置关系404994模典范题一】例1(1)过点向圆C:所引切线的方程为；(2)已经清楚直线l:ax+by+c=0跟圆O:x2+y2=1,那么a2+b2c2是直线l跟圆O订交的()条件？A充分非需求B需求非充分C充要D既非充分也非需求【思路点拨】起首判定点与圆的位置关系，进一步
7、判定切线方程的条数。1假设点在圆上，那么只需一条切线，可以开门见山用点歪式求；2假设点在圆外，可以判定有两条切线两个方程，再结合图形具体求解。运用点歪式求直线方程时，应留心歪率不存在的情况【分析】1点在圆C:外，当切线垂直于轴时如图，直线显然与圆C相切当切线不垂直于轴时，设所求切线方程为,即又圆心到切线的距离，即，解得.代入方程得.故所求切线方程为或2答案：B按照题意，条件：a2+b2c2，结论：“订交，显然，a2+b2c2“订交。举一反三：【变式1】求过点向圆C:所引切线的方程【答案】：点在圆C:外直线显然与圆C相切设所求切线方程为,即*又圆心到切线的距离，即，解得.代入方程*得.故所求切线
8、方程为或例2直线:被圆C:所截得的弦的长【思路点拨】在处理有关圆的一类征询题时，应先留心运用与圆有关的几多何性质【分析】圆C方程化为，故圆心,半径圆心到直线的距离：,由垂径定理得弦长。举一反三：【变式1】直线被圆C:所截得的弦的中点是，求直线的方程。【答案】：【变式2】已经清楚直线：跟圆：.1时，证明与总订交。2取何值时，被截得弦长最短，求此弦长。【答案】：1将直线拾掇成点歪式方程，那么直线过定点，歪率为.将圆拾掇为标准方程，那么圆心，半径.点在圆内，故时，与总订交。2由，当与垂直时，被截得弦长最短，破即时，弦长最短，设弦端点为、，那么，即最短弦长为。典范二：圆与圆的位置关系例3.已经清楚圆，
9、圆，m为何值时，(1)圆与圆相外切；(2)圆与圆内含.【分析】对于圆与圆的方程，经配方后，(1)假设与外切，那么有，解得，(2)假设与内含，那么有，得，当或时，与外切；事前，与内含【总结升华】按照两圆位置关系的判定方法停顿呼应地打算例4.已经清楚圆与圆.(1)求证：圆与圆订交；(2)求两圆大年夜众弦所在直线的方程.【分析】(1)由于圆的半径为，圆心为(0，0)，圆的半径为4，圆心为，因此，因此，因此两圆订交(2)设两圆交于点、，那么A、B坐标均称心圆的方程，即两式相减，得，即同理故、均称心，因此过A、B的直线方程为【总结升华】(2)中用到了“设而不求的思想，把两个订交圆的方程相减即为大年夜众弦
10、所在直线的方程举一反三：【变式1】过点M(2，4)向圆C：(x-1)2+(y+3)2=1引两条切线，切点为P、Q，求P、Q所在的直线方程.【思路点拨】画出如图的表示图，按照对称性知P、Q在以M点为圆心，MP为半径的圆上.直线PQ为两圆的大年夜众弦，两圆方程相减即得大年夜众弦方程.解：因设P为切点，故有CP2+PM2=CM2，解得PM=7，易知P、Q在以M点为圆心，MP为半径的圆上，它的方程是(x-2)2+(y-4)2=49，即x2+y2-4x-8y-29=0.又P、Q为圆C上的点，因此它们称心方程(x-1)2+(y+3)2=1，即x2+y2-2x+6y+9=0.-，得2x+14y+38=0，即
11、x+7y+19=0.这的确是两圆所有大年夜众点都称心的方程，且易知其为不时线方程.又因P、Q两点是两圆仅有的两个大年夜众点，那么它们判定的直线方程也的确是两圆的大年夜众弦直线方程，即x+7y+19=0.【总结升华】在处理征询题时要想到圆的有关性质，如斯可以避免繁杂的打算，上述解答躲避了求切点征询题，思路繁复清楚.典范三：直线与圆征询题的综合运用例5已经清楚圆:,点为圆上一动点，求的最大年夜值与最小值；【思路点拨】处理与圆有关的最值征询题，数形结合或运用圆的参数方程停顿求解是两种特不要紧跟稀有的方法。【分析】方法一：设，那么直线：与圆相切时，取得最大年夜值与最小值。由圆心到直线的距离得故，。方法
12、二：由，三角换元得，为参数故，。【总结升华】处理最值征询题肯定要留心结合所求最值代数式的几多何含义，数形结合，把代数征询题转化为聚拢征询题加以处理，或者偶尔运用圆锥曲线的参数方程，也能使征询题瓜熟蒂落，同学们肯定要留心对这两种方法的操纵。举一反三：【变式】已经清楚圆:,点为圆上一动点。1求的最大年夜值与最小值；2假设，求的最大年夜值与最小值。【答案】：1设，那么.*点P(x,y)既在直线l:kx-y=0上，又在圆C上，即l与圆C有大年夜众点dC-l=2，解得k.,.(2)令u=|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2)+2=2|PO|2+2欲求u最大年夜小
13、值，需求出|PO|的最大年夜小值，而|PO|max=|CO|+2=+2=7,|PO|min=|CO|-2=5-2=3，umax=272+2=100,umin=232+2=20.例6.河南二模在破体直角坐标系xoy中，已经清楚圆C1：x+32+y12=4跟圆C2：x42+y52=41假设直线l过点A4，0，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程2设P为破体上的点，称心：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1跟l2，它们分不与圆C1跟C2订交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相当，求所有称心条件的点P的坐标【分析】1由于直线x=4与圆C1不订交；直线l的歪率存在，设l方程
14、为：y=kx4圆C1的圆心到直线l的距离为d，l被C1截得的弦长为2d=1d=从而k24k+7=0即k=0或k=直线l的方程为：y=0或7x+24y28=02设点Pa，b称心条件，由题意分析可得直线l1、l2的歪率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为yb=kxa，k0那么直线l2方程为：yb=xaC1跟C2的半径相当，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相当，C1的圆心到直线l1的距离跟圆C2的圆心到直线l2的距离相当即=拾掇得|1+3k+akb|=|5k+4abk|1+3k+akb=5k+4abk即a+b2k=ba+3或ab+8k=a+b5因k的取值有无穷多个，因此或解
15、得或如斯的点只可以是点P1，或点P2，经检验点P1跟P2称心题目条件举一反三：【变式】闸北区二模已经清楚圆c1：x+12+y2=8，点c21，0，点Q在圆C1上运动，QC2的垂直一部分线交QC1于点PI求动点P的轨迹W的方程；II过点S0，且歪率为k的动直线l交曲线W于A、B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过谁人点？假设存在，求出D的坐标，假设不存在，说明因由【分析】IQC2的垂直平分线交QC1于P，|PQ|=|PC2|，|PC2|+|PC1|=|PC1|+|PQ|=，动点P的轨迹是点C1，C2为中心的椭圆设谁人椭圆的标准方程是，b2=1，椭圆的标准方程是II直线l的方程为y=kx，联破直线跟椭圆方程，得，91+2k2x212kx16=0，由题意知，点S0，在直线上，动直线l交曲线W于A、B两点，设Ax1，y1，Bx2，y2，那么，假设在y轴上存在定点D0，m，使以AB为直径的圆恒过谁人点，那么，x1x2+y1my2m=x1x2+y1y2my1+y2+m2=0，m=1，因此，在y轴上存在称心条件的定点D，点D的坐标为0，1【变式2】已经清楚圆x2+y2=16,A2，0，假设P,Q是圆上的动点，且，求的中点的轨迹方程【答案】：设中点，如图，为的中点，由垂径定理得，而，化简得，这的确是动圆圆心的轨迹方程。