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1、第二讲 圆的方程与位置关系【套路秘籍】-始于足下始于足下一求圆的方程1圆的定义：在破体内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆2圆的标准方程(1)假设圆的圆心为C(a,b),半径为r，那么该圆的标准方程为：(2)方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆3圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：.谁人方程就叫做圆的一般方程(2)对方程：.假设，那么方程表示以，为圆心,为半径的圆；假设，那么方程只表示一个点，；假设，那么方程不表示任何图形4.点与C的位置关系(1)|AC|r点A在圆外.二圆与圆的位置关系设两圆的圆心分不为、，圆心距为，半径分不为、().(1)两圆相离：无大年夜众点；，方程组无解
2、.(2)两圆外切：有一个大年夜众点；，方程组有一组差异的解.(3)两圆订交：有两个大年夜众点；，方程组有两组差异的解.(4)两圆内切：有一大年夜众点；，方程组有一组差异的解.(5)两圆内含：无大年夜众点；，方程组无解.特不地，时，为两个同心圆.【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一圆的方程【例1】1圆心在y轴上，半径为1，且过点1，3的圆的方程为。2求经过点A(2，4)，且与直线l：x3y260相切于点B(8,6)的圆的方程【答案】1x2+y32=1222.【分析】1x2+y32=1由题意，可设圆心坐标为0，a圆的半径为1，圆的标准方程为x2+ya2=1，又圆过点1，3，12+3a
3、2=1，解得a=3，所求圆的方程为x2+y32=12方法一设圆心为C，所求圆的方程为x2y2DxEyF0，那么圆心C，kCB.圆C与直线l相切，kCBkl1，即1.又有(2)2(4)22D4EF0，又82628D6EF0.联破，可得D11，E3，F30，所求圆的方程为x2y211x3y300.方法二设圆的圆心为C，那么CBl，可得CB所在直线的方程为y63(x8)，即3xy180.由A(2，4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)又kAB1，AB的垂直平分线的方程为y1(x3)，即xy40.由联破，解得即圆心坐标为.所求圆的半径r，所求圆的方程为22.【套路总结】求圆方程的方法及思路1
4、.开门见山法：开门见山求出圆心坐标跟半径，写出方程2.待定系数法假设已经清楚条件与圆心(a，b)跟半径r有关，那么设圆的标准方程，求出a，b，r的值；选择圆的一般方程，按照已经清楚条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值【举一反三】1.已经清楚圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,那么圆C的方程为()Ax2+y2-4x+6y+8=0Bx2+y2-4x+6y-8=0Cx2+y2-4x-6y=0Dx2+y2-4x+6y=0【答案】D【分析】由于圆C的圆心坐标为(2,-3),因此设圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=r2，由于圆过点(-1,-1)，因此(-1-2)
5、2+(-1+3)2=r2r2=13，即(x-2)2+(y+3)2=13，展开得x2+y2-4x+6y=0，选D.2.已经清楚圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，那么圆C的方程为_.【答案】【分析】设，那么，故圆C的方程为3.已经清楚圆心为的圆经过点跟,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程【答案】【分析】1法一待定系数法、设圆的标准方程为：，那么由题意得：.得：得：，代入得：.将代入得：.因此所求圆的标准方程为：.来源:学+科+网法二、由点歪式可得线段的垂直平分线的方程为：.由于圆心在上，因此线段的垂直平分线与直线的交点的确是圆心.解方程组得，因此圆心为.圆的半径，因此所
6、求圆的标准方程为：.4.的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程【答案】考向二点与圆的位置关系【例2】已经清楚点P(3,2)跟圆的方程(x2)2(y3)24，那么它们的位置关系为。【答案】圆内。【分析】将P(3,2)代入圆方程得(32)2(23)224，因此点在圆内。【套路总结】点与圆的位置关系解题思路1. 点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外，2. 几多何法：是求出点到圆心的距离然后与半径比较3. 代数法：开门见山代入圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，点为(x0,y0)，那么点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2【举一反三】1已经清楚点A(1,2)不在圆C：(xa)
7、2(ya)22a2的内部，那么实数a的取值范围为_【答案】-52,00,+【分析】由题意(1-a)2+(2+a)22a2，解得a-52，又a0，a-52且a0考向三圆与圆的位置关系【例3】两圆C1:x2+y2=1跟C2:x2+y2-4x-5=0的位置关系是A订交B内切C外切D外离【答案】B【分析】由圆C1:x2+y2=5的圆心为(0,0)，半径为1，圆C2:x2+y2-4x-5=0圆心为(2,0)半径为3，因此圆心距为2，现在2=3-1，即圆心距等于半径的差，因此两个圆相内切，应选B.【套路总结】揣摸圆与圆的位置关系时，一般用几多何法，其步伐为(1)判定两圆的圆心坐标跟半径长(2)使用破体内两
8、点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|.(3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论【举一反三】1圆C1:x2+y2+2x-3=0跟圆C2:x2+y2-4y+3=0的位置关系为().A相离B订交C外切D内含【答案】B【分析】分不求出两个圆的标准方程为C1：x+12+y2=4，圆心C1：-1，0，半径r=2C2：x2+y-22=1，圆心C2：0，2，半径R=1，那么|C1C2|=(-1)2+221+45，r-R=2-1=1，R+r=1+2=3，1|C1C2|3，两个圆订交应选：B2.已经清楚圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，那么圆M与圆N：(x1
9、)2(y1)21的位置关系是_【答案】订交【分析】圆M：x2(ya)2a2(a0)，圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线xy0的距离d，由几多何知识得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圆N的圆心为N(1,1)，半径r21，MN，r1r23，r1r21.r1r2MNr1r2，两圆订交考向四两圆的订交弦【例4】圆x2y22x6y60与圆x2y26x10y300的大年夜众弦所在的直线方程是_【答案】x+y-6=0【分析】两圆相减得xy60因此两圆大年夜众弦所在直线方程为xy60.故答案为：xy60【套路总结】一. 圆与圆的关系分析思路1. 打算两个圆心之间的距离，即圆心距
10、d2. 圆心距d与两个半径之跟、两个半径之差的绝对值二 圆与圆订交时一大年夜众弦直线的方程：两个交点所在的直线即大年夜众弦，其方程等于两个圆方程相减二圆与圆订交时，求交点坐标时1. 联破两个圆的方程，相减掉掉落大年夜众弦的直线2. 大年夜众弦直线与其中一个圆的方程再停顿联破，解出交点的坐标（三） 求大年夜众弦的弦长方法一：求出交点，使用两点间的距离方法二：求出大年夜众弦直线方程，使用其中一个圆的圆心，求其圆心到大年夜众弦直线的距离d，再使用弦长公式【举一反三】1.已经清楚圆C：x2y210x10y0与圆M：x2y26x2y400订交于A，B两点(1)求圆C与圆M的大年夜众弦所在直线的方程；(2
11、)求AB的长【答案】14x3y100.210【分析】(1)直线AB的方程为x2y210x10y(x2y26x2y40)0，即4x3y100.(2)由题意知，圆C的标准方程为(x5)2(y5)250，由于C(5,5)，因此圆C到直线AB的距离为d5，圆C的半径r5，因此AB210.2.圆C1：x2y22x80与圆C2：x2y22x4y40的大年夜众弦长为_【答案】2【分析】由圆C1与圆C2的大年夜众弦所在的直线l的方程为xy10，得点C1(1,0)到直线l的距离为d，圆C1的半径为r13，因此圆C1与圆C2的大年夜众弦长为222.3.已经清楚圆C1：x2y26x60，圆C2：x2y24y60，那
12、么大年夜众弦所在直线的方程为_【答案】3x2y0【分析】圆C1：x2y26x60，即(x3)2y215，圆心坐标为(3,0)，半径r1；圆C2：x2y24y60，即x2(y2)210，圆心坐标为(0,2)，半径r2.C1C2(，)，圆C1与圆C2订交由圆C1：x2y26x60，圆C2：x2y24y60，得6x4y0，即3x2y0.两圆大年夜众弦所在直线的方程为3x2y0.考向五与圆有关的最值征询题【例5】已经清楚点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上1求xy的最大年夜值跟最小值2求的最大年夜值跟最小值3求的最大年夜值跟最小值【答案】看法析【分析】1设txy，那么yxt，t可视为直线yxt在y
13、轴上的截距，xy的最大年夜值跟最小值的确是直线与圆有大年夜众点时直线在y轴上的截距的最大年夜值跟最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得t1或t1.xy的最大年夜值为1，最小值为1.2可视为点(x，y)与原点连线的歪率，的最大年夜值跟最小值的确是与该圆有大年夜众点的过原点的直线歪率的最大年夜值跟最小值，即直线与圆相切时的歪率设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得k2或k2，的最大年夜值为2，最小值为2.3，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，3)到定点(1,
14、2)的距离与半径的跟或差又圆心到定点(1,2)的距离为，的最大年夜值为1，最小值为1.【套路总结】与圆有关的最值征询题的稀有典范及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值征询题的解法一般按照长度或距离的几多何意思，使用圆的几多何性质数形结合求解(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的稀有典范及解法形如u型的最值征询题，可转化为过点(a，b)跟点(x，y)的直线的歪率的最值征询题；形如taxby型的最值征询题，可转化为动直线的截距的最值征询题；形如(xa)2(yb)2型的最值征询题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值征询题【举一反三】1.已经清楚实数x，y称心方程x2y24x10.
15、求：(1)的最大年夜值跟最小值；(2)yx的最大年夜值跟最小值；(3)x2y2的最大年夜值跟最小值【答案】看法析【分析】原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几多何意思是圆上一点与原点连线的歪率，因此设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时(如图)，歪率k取最大年夜值跟最小值，现在，解得k.因此的最大年夜值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如以下列图，当直线yxb与圆相切时，其在y轴上的截距b取得最大年夜值跟最小值，现在，解得b2.因此yx的最大年夜值为2，最小值为2.(3)如以下列图，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由破体几多何
16、知识知，在原点跟圆心连线与圆的两个交点处取得最大年夜值跟最小值又圆心到原点的距离为2，因此x2y2的最大年夜值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.考向六与圆有关的轨迹征询题【例6】已经清楚RtABC的歪边为AB，且A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程【答案】1x2y22x30(y0)2(x2)2y21(y0)【分析】(1)方法一设C(x，y)，由于A，B，C三点不共线，因此y0.由于ACBC，且BC，AC歪率均存在，因此kACkBC1，又kAC，kBC，因此1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x3
17、0(y0)方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知CDAB2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，因此应拆除与x轴的交点)因此直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，由于B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，因此x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)【套路总结】求与圆有关的轨迹征询题时，
18、按照题设条件的差异常采用以下方法：开门见山法：开门见山按照题目供应的条件列出方程定义法：按照圆、直线等定义列方程几多何法：使用圆的几多何性质列方程相关点代入法：寻到恳求点与已经清楚点的关系，代入已经清楚点称心的关系式【举一反三】1.设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为单方作平行四边形MONP，求点P的轨迹【答案】(x3)2(y4)24，拆除两点跟.【分析】如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，那么线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，因此，拾掇得又点N(x0，y0)在圆x2y24上，因此(x3)2(y4)24.因此点P的轨迹是以
19、(3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与轨迹订交于两点跟，不符合题意，舍去，因此点P的轨迹为(x3)2(y4)24，拆除两点跟.考向七求参数例1(1)已经清楚点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.假设点P的坐标为(2,0)，那么|的最大年夜值为_(2)过点(，0)引直线l与曲线y订交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大年夜值时，直线l的歪率为_【答案】(1)7(2)【分析】(1)A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，AC为圆的直径，故2(4,0)，设B(x，y)，那么x2y21且x1,1，(x2，y)，(x6，y)故|，当x1时有最大年夜值7.(2)SAOBOAOBsi
20、nAOBsinAOB.当AOB时，AOB的面积最大年夜现在O到AB的距离d.设AB的方程为yk(x)(k0)，即kxyk0.由d，得k.【举一反三】在破体直角坐标系xOy中，假设与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，那么实数m的取值范围是_【答案】(22，2)(2,22)【分析】由题意以A(2,2)为圆心，1为半径的圆与以B(m,0)为圆心，3为半径的圆订交，因此4(m2)2416，因此22m0.那么圆心C到直线2xy0的距离d，解得a2.圆C的半径r|CM|3，因此圆C的方程为(x2)2y29.3圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为_【答案
21、】订交【分析】两圆圆心距d.又r12，r23，r2r11d0，b0)对称，那么的最小值是_【答案】【分析】由圆x2y24x12y10知，其标准方程为(x2)2(y6)239，圆x2y24x12y10关于直线axby60(a0，b0)对称，该直线经过圆心(2,6)，即2a6b60，a3b3(a0，b0)，(a3b)，当且仅当，即ab时取等号12已经清楚动点P(x，y)称心x2y22|x|2|y|0，O为坐标原点，的最大年夜值【答案】2.【分析】表示曲线上的任意一点(x，y)到原点的距离当x0，y0时，x2y22x2y0化为222，曲线上的点到原点的距离的最大年夜值为22，当x0，y0时，x2y2
22、2x2y0化为222，曲线上的点到原点的距离的最大年夜值为22，当x0，y0时，x2y22x2y0化为222，曲线上的点到原点的距离的最大年夜值为22，当x0)且b5.解得b1，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可设l的方程为y2xm，即2xym0.又BCOA2.由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d2.即2，解得m5或m15.直线l的方程为y2x5或y2x15.(3)由，那么四边形AQPT为平行四边形，又P，Q为圆M上的两点，PQ2r10.TAPQ10，即10，解得22t22.故所求t的取值范围为22，2215.已经清楚圆O1：x2y28x8y480，圆O2过
23、点A(0，4)(1)假设圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，求圆O2的方程；(2)假设圆O2过点C(4,0)，圆O1，O2订交于点M，N，且两圆在点M处的切线互相垂直，求直线MN的方程【答案】看法析【分析】(1)由已经清楚得圆O1的圆心坐标为(4，4)，圆O2与圆O1相切于点(2，2)，圆O2的圆心在直线yx上，不妨设其圆心为(a，a)，圆O2过点(2，2)，(0，4)，a2(a4)22(a2)2，a0，a2(a4)216，圆O2的方程为x2y216.(2)圆O2过点(0，4)，(4,0)，圆O2的圆心肠点的直线为yx，不妨设圆心坐标为(m，m)，两圆在交点处的切线互相垂直，且圆O1的圆心坐标
24、为(4，4)，半径为4，(m4)2(m4)242m2(m4)2，m4，圆O2的方程为(x4)2(y4)280，圆O1与圆O2的方程相减拾掇得直线MN的方程为x(32)y12(1)0.16.已经清楚动直线l与圆O：x2y24订交于A，B两点，且称心AB2，点C为直线l上一点，且称心，假设M是线段AB的中点，那么的值_【答案】3【分析】动直线l与圆O：x2y24订交于A，B两点，且称心AB2，那么OAB为等边三角形，因此可设动直线l的方程为y(x2)，按照题意可得B(2,0)，A(1，)，M是线段AB的中点，M，设C(x，y)，(2x，y)(1x，y)，解得C，3.17已经清楚点P(x，y)在圆C
25、：x2y26x6y140上，(1)求的最大年夜值跟最小值；(2)求xy的最大年夜值跟最小值【答案】看法析【分析】方程x2y26x6y140可变形为(x3)2(y3)24，那么圆C的半径为2.(1)(转化为歪率的最值征询题求解)表示圆上的点P与原点连线的歪率，显然当PO(O为原点)与圆C相切时，歪率最大年夜或最小，如以下列图设切线方程为ykx，即kxy0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于圆C的半径，可得2，解得k.因此的最大年夜值为，最小值为.(2)(转化为截距的最值征询题求解)设xyb，那么b表示动直线yxb在y轴上的截距，显然当动直线yxb与圆C相切时，b取得最大年夜值或最小值，如以下列图由圆心C(3,3)到切线xyb的距离等于圆C的半径，可得2，即|b6|2，解得b62，因此xy的最大年夜值为62，最小值为62.