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1、第八讲三角函数与其他知识的综合运用【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一解三角形与三角函数综合【例1】设ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，abtanA，且B为钝角。(1)证明：BA；(2)求sinAsinC的取值范围。【答案】看法析【分析】(1)证明：由abtanA及正弦定理，得，因此sinBcosA，即sinBsin。由于B为钝角，因此A为锐角，因此A，那么BA，即BA。(2)由(1)知，C(AB)2A0，因此A。因此sinAsinCsinAsinsinAcos2A2sin2AsinA122。由于0A，因此0sinA，因此0，c0，因此1，那么4ac(4ac)5529
2、，当且仅当c2a时取等号，故4ac的最小值为9。2.在ABC中，内角A，B，C的对边分不为a，b，c，外接圆的半径为1，且，那么ABC面积的最大年夜值为_。【答案】【分析】由于，因此(2cb)，由正弦定理得sinBsinAcosB(2sinCsinB)sinBcosA，又sinB0，因此sinAcosB(2sinCsinB)cosA，因此sinAcosBsinBcosA2sinCcosA，sin(AB)2sinCcosA，即sinC2sinCcosA，又sinC0，因此cosA，sinA。设外接圆的半径为r，那么r1，由余弦定理得bcb2c2a2b2c2(2rsinA)2b2c232bc3(当
3、且仅当bc时，等号成破)，因此bc3，因此SABCbcsinAbc。3.在ABC中，a2c2b2ac。(1)求B的大小；(2)求cosAcosC的最大年夜值。【答案】(1)由余弦定理跟已经清楚条件可得cosB，又由于0B，因此B。(2)由(1)知AC，因此cosAcosCcosAcoscosAcosAsinAcosAsinAcos。由于0A0.(I)证明：CD为ABC的内角平分线；()假设CD=3，求cosC.【答案】()看法析.cosC=18.【分析】I由于cosACD-cosBCD=CDCACDCA-CDCBCDCB=CA+2CBCACDCA-CA+2CBCBCDCB=CA2+2CBCA6
4、CD-CACB+2CB23CD=6CDCA2+2CBCA-2CACB-4CB2=0因此cosACD=cosBCD，又由于0ACD90，0BCDMF1.由于M为椭圆上一点，因此a-cMF2a+c，即a-c2a2a+c0，因此e2+2e-10，解得2-1e0，0，|1,显然不成破，因此假设差错，即C差错；方程gx-2，那么22cos(x+12)2，cos(x+12)=22，x+12=4+2k或x+12=-4+2k,kZ；即x=2k+6或x=2k-3,kZ故方程的两个差异的解分不为x1，x2，那么|x1-x2|最小值为2|x1-x2|的最小值为2，D精确应选：D考向六古书中三角函数【例6】我国古代数
5、学家刘徽于公元263年在九章算术注中提出“割圆术：割之弥细，所失落弥少，割之又割，致使于弗成割，那么与圆合体，而无所失落矣.即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限濒临圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.假设用圆的内接正n边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值2n可表示成Ancos180nBncos360nCnsin360nDncos90n【答案】A【分析】令圆的半径为1，那么圆内接正n边形的面积为n1212sin360n=n2sin360n=nsin180ncos180n，圆内接正2n边形的面积为2n1212sin3602n=ns
6、in180n，用圆的内接正n边形逼近圆，可得S圆=nsin180ncos180n=n；用圆的内接正2n边形逼近圆，可得S圆=nsin180n=2n；因此2n=ncos180n.应选A【举一反三】1我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三歪求积，设的三个内角所对的边分不为，面积为，那么“三歪求积公式为，假设，那么用“三歪求积公式求得的面积为ABCD【答案】A【分析】,由于，因此，从而的面积为，应选A.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1ABC中，A-5,0，B5,0，点C在双曲线x216-y29=1上，那么sinA-sinBsinC=A35B35C45D45【答案】
7、D【分析】ABC中，A-5,0，B5,0，点C在双曲线x216-y29=1上，A与B为双曲线的两中心，按照双曲线的定义得：AC-BC=2a=8，AB=2c=10，那么sinA-sinBsinC=BC-ACAB=810=45应选：D2在数学解题中，常会碰到形如“的结构，这时可类比正切的跟角公式.如：设是非零实数，且称心，那么A4BC2D【答案】D【分析】不等于零，令=tan，因此，故此题选D。3记函数,假设曲线上存在点使得,那么的取值范围是ABCD【答案】C【分析】，因此，假设有解，等价于在上有解，即，也就有在上有解，设，那么，由，得为增函数，由，得为减函数，即事前，函数取得极小值同时也取得最小
8、值，那么为最大年夜，即，要使在上有解，只需，因此的取值范围是，故此题选C.4将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原本的2倍(纵坐标波动),失落失落函数的图象,假设对任意的均有成破,那么的最小值为ABCD【答案】D【分析】由于函数的图象向左平移个单位长度,因此失落失落函数，再将图象上各点的横坐标伸长到原本的2倍(纵坐标波动),失落失落函数的图象,因此，对任意的均有成破，因此在时，取得最大年夜值，因此有而，因此的最小值为.5假设存在唯一的实数，使得曲线关于点对称，那么的取值范围是ABCD【答案】B【分析】由题意，由于，因此，由于存在唯一的实数，使得曲线关于点对称，那么，解得
9、，应选B.6我国古代数学家僧一行运用“九服晷gu影算法在大年夜衍历中树破了晷影长l与太阳天顶距080的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表按照三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即l=htan已经清楚昼顶距=1时，晷影长l0.14现测得午中晷影长度l0.42，那么天顶距为参考数据：tan10.0175，tan20.0349，tan30.0524，tan22.80.4204A2B3C11D22.8【答案】B【分析】l=htan，且顶距=1时，晷影长l0.14h=ltan=0.140.0175=8，当晷影长度l0.42，tan=lh=0.428=0.0524=3
10、应选：B7.海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个征询题：今有望海岛，破两表齐高三丈，前后相去千步，当前表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，征询岛高几多何？用古代语言来阐明，其意思为：破两个三丈高的标杆BC跟DE，之间距离为BD=1000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同不时线上，从第一个标杆B处行进123步，人眼贴空中，从地上F处俯视岛峰，A、C、F三点共线；从前面的一个标杆D处行进127步，从地上G处俯视岛峰，A、E、G三点也共线，那么海岛的高为(古制：1步=6尺，1里=
11、180丈=1800尺=300步)A1255步B1250步C1230步D1200步【答案】A【分析】由于AHBC，因此BCFHAF，因此BFHF=BCAH；又AHDE，因此DEGHAG，因此DGHG=DEAH；又BC=DE，因此BFHF=DGHG，即123123+HB=127127+1000+HB，因此HB=30750步，又BFHF=BCAH，因此AH=5(30750+123)123=1255步.应选A8已经清楚函数f(x)=Acos(x+)A0，0，|1,显然不成破，因此假设差错，即C差错；方程gx-2，那么22cos(x+12)2，cos(x+12)=22，x+12=4+2k或x+12=-4
12、+2k,kZ；即x=2k+6或x=2k-3,kZ故方程的两个差异的解分不为x1，x2，那么|x1-x2|最小值为2|x1-x2|的最小值为2，D精确应选：D9假设函数fx=12cosx+sinxcosx-sinx-4a+4a-3x在0，2上单调递增，那么实数a的取值范围为Aa32B32a3Ca1D1a3【答案】A【分析】函数f(x)=12cos2x-2a(sinx+cosx)+(4a-3)x，那么fxsin2x2acosxsinx+4a3函数fx在0，2上单调递增，可得fx0，令tcosxsinx=2cosx+41，1，那么sin2x=1t2即t22at+4a40在1，1恒成破，a4-t24-
13、2t=t+22，不等式右边的最大年夜值为32，a32应选：A10已经清楚函数y=f(x)为R上的偶函数，事前x0,1)f(x)0且f(x)-m2+2m对mR恒成破，函数g(x)=sin(x+)(0)的一个周期内的图像与函数f(|x|)的图像偏偏有两个大年夜众点，那么g(x)=A-cosxB-sinxC-cosx2D-sinx2【答案】A【分析】由于f(x)-m2+2m对mR恒成破，且-m2+2m的最大年夜值为1因此f(x)1恒成破又事前x0,1)，f(x)0因此函数f(x)在0,1)上单调递减，在(1,+)单调递增又由于函数f(|x|)为R上的偶函数，且x0,+)时，fx=fx因此函数f(|x
14、|)在0,1)上单调递减，在(1,+)单调递增，且图像关于y轴对称因此函数f(|x|)的最小值为f1=f(-1) 1由于函数g(x)=sin(x+)(0)最大年夜值为1且g(x)与f(|x|)的图像偏偏有两个大年夜众点，那么这两个大年夜众点必在x=1跟x=-1处因此函数g(x)的最小正周期T=2，因此=又g(x)过点(1,1)，即sin+=1,因此=-2+2k,kZ因此gx=sinx-2=-cosx应选：A11已经清楚函数f(x)=sinx+3cosx，把函数f(x)的图象向右平移6个单位，再把图象上各点的横坐标增加到原本的一半，纵坐标波动，失落失落函数g(x)的图象，事前x0,2，方程g(x
15、)-k=0恰有两个差异的实根，那么实数k的取值范围为A1,3B1,2)C(-2,0)(0,2)D3,2)【答案】B【分析】由题意，按照辅助角公式，可得函数f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+3)，把函数f(x)的图象向右平移6个单位，失落失落f1(x)=2sin(x+6)，再把函数f1(x)图象上各点的横坐标增加到原本的一半，失落失落函数g(x)=2sin(2x+6)，由于x0,2，那么2x+66,76，令62x+62，解得0x6，即函数g(x)在0,6上单调递增，令22x+676，解得6x2，即函数g(x)在6,2上单调递减，且g(0)=2sin6=1,g(6)=2sin2=2,g
16、(2)=2sin76=-1，要使得方程g(x)-k=0偏偏有两个差异的实数解，即y=g(x)与y=k有两个差异的交点，结合图象，可得实数k的取值范围是1k2，即1,2).12已经清楚函数fx2x1，gx=acosx+2,x0x2+2a,x0aR，假设对任意x11，总存在x2R，使fx1gx2，那么实数a的取值范围是A-,12B23,+C-,121,2D1,3274,2【答案】C【分析】当a=0时，函数fx2x1的值域为1,+，函数gx的值域为0,+称心题意.当a0时，y=x2+2a(x0,因此a+22a,因此现在函数g(x)的值域为2a,+,由题得2a1，即a12，即a0.当a0时，y=x2+
17、2a(x0,00,0)的周期为4，=2，即f(x)=sin2x+.将函数fx的图象向右平移13个单位后得：y=sin2x-6+，由其图象关于原点中心对称，故sin-6=0.0，=6，故fx=sin2x+6.x0,1，2x+66,23.f(x)12,1，即函数y=fx在0,1上的值域为12,1.18函数fx+12=x3+2019x-2019-x+1，假设f(sin+cos)+f(sin2-t)2对R恒成破，那么实数t的取值范围是_【答案】(2,+)【分析】fx+12x3+2019x2019x+1，可得f12-xx3+2019x2019x+1，那么f12+x+f12-x2，fsin+cos+fsi
18、n2t2，即为fsin+cos+fsin2t2f12+x+f12-x，fsin+cos+fsin2t2对R恒成破，可令xsin+cos-12，那么fsin+cos+fsin2tfsin+cos+f1sincos，可得fsin2tf1sincos恒成破，由于fx+12在R上递增，fx+12的图象向右平移12个单位可得fx的图象，那么fx在R上递增，可得sin2t1sincos恒成破，即有tsin2+sin+cos1，设gsin2+sin+cos1sin+cos2+sin+cos2再令sin+cosm，那么m=2sin+4，那么-2m2，那么gmm2+m2，其对称轴m=-12，故当m=2时，gm取
19、的最大年夜值，最大年夜值为2+2-2=2那么t2，故答案为：2，+19已经清楚f(x)是定义在R上的奇函数，假设f(x)的图象向左平移2个单位后关于y轴对称，且f(1)=1，那么f(4)+f(5)=_【答案】-1【分析】fx是定义在R上的奇函数，f00，将f(x)的图象向左平移2个单位后，失落失落gxfx+2为偶函数，那么gxgx，即fx+2fx+2又f(x)是定义在R上的奇函数，-fx2fx+2即fxfx+4，f4+f5=f0+4+f1+4=-f0-f1=0-1=-1，故答案为：-120如图，在边长为2的正方形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以2为半径作圆弧，交边AD,BC于点M,N，从正
20、方形ABCD中任取一点，那么该点落在扇形OMN中的概率为_【答案】8【分析】如图，正方形面积S=22=4，因OM=2,OA=1，故AM=1，因此AOM=4，同理NOB=4，因此MON=2，又OM=2，S扇形MON=122(2)2=2从正方形ABCD中任取一点，那么该点落在扇形OMN中的概率为P=24=8故答案为：821已经清楚函数fx=cosxcosx-3-14,xR.(1)求函数fx的单调递增区间；(2)在ABC中，内角A,B,C的对边分不为a,b,c,fA=12,c=2,且ABAC=32，求a的值【答案】(1)k-3,k+6(kZ)；(2)72.【分析】1fx=cosx12cosx+32s
21、inx-14=12cos2x+32cosxsinx-14=121+cos2x2+32sin2x2-14=1212cos2x+32sin2x=12sin2x+6，由2k-22x+62k+2，kZ，解得；k-3xk+6，kZ，fx的单调增区间为k-3,k+6kZ.2fA=12sin2A+6=12，即sin2A+6=1，A0,，2A+66,136，2A+6=2，即A=6，又ABAC=2bcos6=32，b=32，a2=4+34-223232=74，a=72.22.在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c.假设，成等差数列，那么cosC的最小值为【答案】【分析】，成等差数列，即，可得，cosC
22、，那么，化简得2(a2b2)3c2，cosC(当且仅当a2b2时等号成破)23.已经清楚ABC的内角A，B，C所对的边分不为a，b，c，且acosCccosAbsinB，A，如图，假设点D是ABC外一点，DC2，DA3，那么当四边形ABCD面积最大年夜时，sinD_。【答案】【分析】由acosCccosAbsinB及余弦定理得acbsinB，即bbsinBsinB1B，又CAB，因此ACB。BCa，那么ABa，AC2a，那么SABCaaa2。在ACD中，cosD，因此a2。又SACDADCDsinD3sinD，因此S四边形ABCDSABCSACDa23sinD3sinD3sinDcosDsin(D)，因此当D，即D时，S四边形ABCD最大年夜，现在sinDsincos。