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1、计数原理复习卷（1）一、选择题：1.某人计划按“石家庄青岛广东”的路线旅游,从石家庄到青岛可乘坐汽车、火车、飞机3种交通工具,从青岛到广东可乘坐汽车、火车、飞机、轮船4种交通工具,问此人可选择的旅行方式有 ( )A.7种 B.8种 C.10种 D.12种2.从A地到B地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一天内从A地到B地乘坐这三种交通工具的不同走法为 ( )A.1+1+1=3 B.3+4+2=9 C.342=24 D.以上都不对3.若,则的不同值有 ( )A.2个 B.6个 C.9个 D.3个4.展开后共有不同的项数为 ( )A.9 B.12
2、 C.18 D.245.某城市的电话号码,由六位升为七位(首位数字均不为零),则该城市可增加的电话部数是 ( )A、. B. C. D.6.由数字0、1、2、3、4可组成不同的三位数的个数是 ( )A.100 B.125 C.64 D.807.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5个电子邮件,有 种发送方法 ( )A.8 B.15 C. D.8.已知集合,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是 ( )A.18 B.16 C.14 D.109.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5位同学只会用综合法证明,有3位同学只会用分析法证明,现任选1名同学证
3、明这个问题,不同的选法种数有 种 ( )A.8 B.15 C.18 D.3010.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回甲,则不同的传递方式共有 ( )A.6种 B.8种 C.10种 D.16种11.有5位同学想参加语文、数学、外语三种课外兴趣小组,每人只能报一项,则有 种不同的报名方式. ( )A.8种 B.15种 C.种 D.种12.从集合中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有 ( )A.30个 B.36个 C.42个 D.35个13.已知A、B是两个非空集合,定义为集合A、B的“和集”,若,则中元素的个数是 ( )A.4 B.
4、5 C.6 D.16二、填空题：1.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,共有_种行车路线.2.某班新年联欢原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这2个节目插入原节目单中,那么不同的插法的种类为_.3.从1到10的所有自然数中任取两个相加,所得的和为奇数的不同情形有_ 种.4.设集合,则方程表示焦点位于y轴上的椭圆有_个.5.函数共有_个零点.6.人们习惯把最后一位是6的多位数叫做“吉祥数”,则无重复数字的4位吉祥数(首位不能是零)共有_个.7.已知三角形的三边长均为整数,其中一边长是5,但它不是最短边.这样的三角形的个数是_.三、解答题：1.有一项活动,需在3名老师,8名
5、男同学和5名女同学中选人参加.(1)若只需一人参加,有多少种不同的选法?(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同的选法?(3)若需一名老师,一名同学参加,有多少种不同的选法?2.由数字1,2,3,4(1)可组成多少个三位数(2)可组成多少个没有重复数字的三位数(3)可组成多少个没有重复数字的三位数,且百位数字大于十位数字,十位数字大于个位数字.3.有0,1,2,3,8这9个数字,用这9个数字组成四位的密码,共可组成多少个这样的密码?4.学校举行运动会,有四位同学参加三项不同的比赛(1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果?(2)每项比赛只许一位学生参加,有多少种不同的结果
6、?5.某学校高二年级有12名语文教师、13名数学教师、15名英语教师,市教育局拟召开一个新课程研讨会.(1)若选派1名教师参会,有多少种派法?(2)若三个学科各派1名教师参会,有多少种派法?(3)若选派2名不同学科的教师参会,有多少种派法?6.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数(1)若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”,求上述四位数中的“渐降数”和四位数总个数的比值；(2)最小的“渐降数”有多少个正约数(包括1和它本身)。计数原理复习卷（1）参考答案一、选择题：1.D 解析:第一步从石家庄到青岛有3种不同方法;第二步从青岛到广东有4种不同的方法.共有34=12种不
7、同的方法. 2.B 3.C 解析:33=9 4.D 解析:423=245.D 解析:可增加的电话数为部.6.A 解析:根据分步计数原理共有455=100个.(首位不能为0)7.C 解析:每个邮件都有3种不同的发法,由乘法原理可得共有个.8.C 解析:分两类:第一类M中取横坐标,N中取纵坐标,共有32=6个第一、二象限的点; 第二类M中取纵坐标,N中取横坐标,共有24=8个第一、二象限的点.共有6+8=14个不同的坐标.9.A 解析:由加法原理可得有5+3=8种.10.A解析:若甲先传给乙,则有:甲乙甲乙甲；甲乙甲丙甲甲乙丙乙甲3种不同的传法,同理甲先传给丙,也有3种不同的传法,共有6种不同的传
8、法.11.C 12.B 解析:第一步选虚部,除0外有6种不同的选法,第二步选实部,除去选的虚部外,连同0在内共有6种不同的选法,共有66=36个不同的虚数.13.C 解析:a,b的选择共有34=12种不同的选法,但计算的结果只有1,2,3,4,5,6共6个不同的值.二、填空题：1.12 解析:每个路口出来的车都有三种走法,共有34=12种2. 42 解析:5个节目排好后,有6个空可插入第一个节目,共6种不同的插法,再插第二个节目时有7个空,共有67=42种.3. 25 解析:由已知可知,两个数一个为奇数,有5种不同的选法;另一个为偶数,有5种不同的选法.共有55=25种不同的选法.4. 10
9、解析:若表示焦点在y轴上的椭圆,则有ba, 故b有2,3,4,5四种不同的选法,当b=2时,a只有1种选法; 当b=3时,a只有2种选法; 当b=4时,a只有3种选法; 当b=5时,a只有4种选法.共有1+2+3+4=10个.5. 5个 解析:分3类:;.共5个零点.6. 448 解析:第一步确定千位除去0和6有8种不同的选法;第二步确定百位,除去6和千位数字外有8种不同的选法;第三步确定十位,除去6和千位、百位上的数字外还有7种不同的选法.共有887=448个不同的吉祥数.7. 14个 解析:设最短边为a,则a可取1,2,3,4这4个值,当a=1时,则第三边可取5;当a=2时,则第三边可取4
10、,5,6; 当a=3时,则第三边可取3,4,5,6,7;当a=4时,则第三边可取4,5,6,7,8，所以满足题意的三角形共有1+3+5+5=14个三、解答题：1.解:(1)需一人参加,有三类:第一类选老师,有3种不同的选法;第二类选男生,有8种不同的选法;第三类选女生,有5种不同的选法.共有3+8+5=16种不同的选法.(2)需老师、男同学、女同学各一人,则分3步, 第一步选老师,有3种不同的选法;第二步选男生,有8种不同的选法;第三步选女生,有5种不同的选法.共有385=120种不同的选法.(3)第一步选老师有3种不同的选法,第二步选学生有8+5=13种不同的选法,共有313=39种不同的选
11、法.2. 解(1)由乘法原理有444=64种(2)有432=24种.(3)只需从4个数字中去掉一个,即可得到结果,有432,431,421,321共4种.3.解:由已知可知每位密码都有9种不同的选法,每确定一位密码只是完成了一步,根据分步乘法计数原理共有9999=6561个.名师点金:本题与原题相比,从条件上有所改变,更加贴近大家的生活.在现实问题中,也要注意所分的步数,区分分步还是分类的依据是看能否将事件完成. 步与步之间应使用乘法原理.4.解:(1)因每位同学都有3种不同的选法,由乘法原理共有种不同的选法;(2)因每项比赛都有3种不同的参加方法,由乘法原理共有种不同的选法.5.解:(1)分
12、三类:第一类选语文老师,有12种不同选法; 第二类选数学老师,有13种不同选法; 第三类选英语老师,有15种不同选法.共有12+13+15=40种不同的选法.(2)分三步: 第一步选语文老师,有12种不同选法; 第二步选数学老师,有13种不同选法; 第三步选英语老师,有15种不同选法.共有121315=2340种不同的选法.(3)分三类:选一位语文老师和一位数学老师共有1213种不同的选法; 选一位语文老师和一位英语老师共有1215种不同的选法; 选一位英语老师和一位数学老师共有1513种不同的选法.共有1213+1215+1315=531种不同的选法.6.解:(1)由已知可知,只需找出组成“
13、渐降数”的四个数字即可,等价于六个数字中取掉两个不同的数字的不同方法:从前向后先取0有:,0与1, 0与2, 0与3, 0与4, 0与5共5种情况;再取1有:1于2,1与3,1与4 ,1与5共4种情况;一次向后分别有3,2,1种情况,共有1+2+3+4+5=15个“渐降数”.又因四位数的总个数有5543=300个 所以“渐降数”和四位数的总个数的比值为.(2)最小的“渐降数”即为由最小的四个数字组成的3210,因为3210=235107所以它的正约数应该从四个质因数2,3,5,107种选取,每个质因数的选取都有它本身和1两种选法,共有2222=16个不同的结果,因此,3210一共有16个正约数.